应用题的本质是数学建模.ppt

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1、应用题的本质是数学建模,问：浙江杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌 答：华东师范大学数学系 张奠宙 教授 http:/.,引言与现状,“船长的年龄问题”：“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？” 有多少学生把两个数直接相加减？ 20年前，90； 20年后，？ 62,背景说明 ,10道应用题的测试结果 ,10道应用题的测试结果 ,应用题的教学现状,“中国数学教育在实践上肯定比美国好”,数学大家陈省身。,张奠宙，王善平著,报告提纲,2,引言与现状,什么是数学应用题,数学应用题的本质是什么,“问题解决”与应用题教学什么关系,应用题要不要讲类型,应用题教学与学生生活什么关系,小学数学中

2、的模型有哪些,4,6,什么是小学数学应用题,应用题的渊源,应用题的出现渊远流长。 古埃及的纸草书、中国的算数书等古代数学典籍， 都是应用题的汇编。 数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学。,数学分为 纯粹数学和应用数学,哥德巴赫猜想 汉字排版技术,陈景润作出“1+2”的领先成果,王选将数学和计算机结合引发印刷革命,小学数学中的纯数学问题和应用数学问题,小学的纯粹数学问题： 数与运算规则。交换律、分配律， 通分 质数与合数； 无限循环小数； 平行线； 小学应用性数学问题: 现实

3、的应用：买卖中的货币计算 科学的应用：路程、速度、时间的关系 模拟的应用： 鸡兔同笼,纯数学问题与应用问题之间的联系,小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用数学的范围。 数学是由问题驱动的。小学数学应用题教学， 体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式。,应用数学是永存的,如果说，应用数学是永存的， 那么数学应用题教学也是永存的。 只不过要“与时俱进”， 不断改革而已。 “谁用的好， 谁就赢了”（姜伯驹语）。 20世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，计算机技术出现之后，应用数学的一个进展， 是对一个个的具

4、体问题建立一个个的数学模型。 因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点,什么是小学数学应用题？,1. 算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想。 2. 用自然语言表达， 即用文字叙述的问题。西方有时把小学应用题称作“文字题 （word problem）”， 即用自然语言表达的数学问题。 文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式”， 然后再用数学方法求解。,什么是小学数学应用题？,3. 具有比较复杂的情景。 应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生

5、动的具体情境，不能是纯粹的数学问题。 情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用。作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景。,数学应用题的本质是什么,什么是数学模型？,数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学应用的基本模式。 数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的实际特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。,数学内容本身就是一种数学模型,自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型。 加法是“合并”、“

6、添加”等活动的数学模型 分数是平均分派物品的数学模型； 元角分的计算模型是小数的运算。 鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；,模式应用：,问：你们学校每个年级几个班？ 答：2个班； 问：每个班大约多少学生？ 答：40人 问：你们学校一共有多少人？ 答：400多人； 问：你们学校有没有两个人是同一天生日的？ 答：我们班里好像没有的，我要到其他班问一问。 数学老师：有，一定有。,应用数学的数学建模， 是在狭义的意义下进行的。 数学建模，专指对一个个比较复杂的具体情境， 建立一个特定的专用数学模型， 并用模型来解决非常具体问题。,应用题对应的数学建模,应用题求解与数学模型比较,应用题求解：对于

7、一种相对比较复杂的情境， 采用形式化的符号语言， 概括地或近似地表述出来的一种数学结构。 建立数学模型的步骤： 了解情境 分析数量关系 形式化符号化的结构 用数学方法求解结构中的未知数 验证。,实际情景,实际问题,数学问题（模型）,数学结果,检验数学结果,实际结果,观察、加工、整理,分析抽象，作数学化处理,求解数学问题,结合实际,（5）数学结果合乎实际,数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。,审题,列式,解答,检验,应用题与数学建模的步骤对照,应用题与数学建模的步骤对照,应用题学习是数学建模的基础,每一道小学数学应用题的教育价值， 在于能将情境“数学化”； 将文字的表述， 转换为数学符

8、号或图像的表示； 将蕴藏在情景内的数量关系列为算式； 用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。 这些数学活动， 为日后学习更复杂的 “数学建模”，做好必要的准备,“问题解决”与应用题教学,成功需要基础,问题解决,回到基础,新数运动,2008,1980,1970,1960,美国式的折腾：,美国数学教育界提出的所谓“问题解决”，专指解决“非常规问题”。 目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考， 通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。 是一个时期数学教育的导向性口

9、号，并非针对应用题改革而提出。,“问题解决”的提出,我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得也很不错。 但是，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点。 在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是，总体上较窄、较难，较偏。,“问题解决”的借鉴与启示,问题解决教学是应用题教学的上位概念。彼此是包含关系。 “用问题”的共性， 取代了“应用题”的特性 问题解决是数学教学全局性理念； 应用

10、题教学是数学教学的部分课题。,问题解决,应用题教学,问题解决不能代替应用题教学,问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思是强调“探究”、“发现”、“创新”。 美国又提出“成功需要基础”， 又强调其基础了。 所以，应用题教学， 不能只强调“探究创新”， 还要注意“打好基础”。 没有基础怎么创新？,问题解决不能代替应用题教学,应用题要不要讲类型？,小学数学应用题可以有三种分类。 1. 按数学模型分类； 随机模型， 统计模型；四则运算模型； 分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程等等。 2. 按情景熟悉程度分类。 如日常生活情景模型， 模拟现实情景模型，科学技术模型等等 3. 按特定

11、情境的数量关系分类。如行程问题， 工程问题， 流水问题，折扣问题等等，,应用题的分类,是否少了图形与几何的内容？,微积分课程里要讨论瞬时速度问题， 切线问题，曲边梯形问题； 微分方程课程里有热传导方程， 电磁波方程； 中学数学也要研究抛物问题、单摆问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等 ； 小学数学应用按照情境内容分类，也是情理之中。,按情境内容分类,不是我们要不要分类的主观决定。数学应用题分类是客观世界不同数量关系的反应。 行程问题 路程 = 速度时间 工程问题 工作量 = 工作时间 工作效率 价格问题 总价格 = 单价 数量 利息问题 利息 = 本金 利率 利润问题 利润 = 成本 利润率

12、 折扣问题 金额 = 价格 折扣率 百分数问题 数量 = 总量 百分比 这些内容不属于数学范围， 但是数学课要教！,应用题的分类与数量关系,科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本？ 看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。 科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本 ？ 以情境中的字词为特征来分类是表面的。,要类型，但不要类型化。,按步数分：一步，两步和多步应用题； 按内容和难易来分，可分为一般应用题、复合应用题和典型应用题。 典型应用题中就有和差问题、和倍、差倍问题；追及问题、盈亏问题、相遇问题,传统应用题的分类,这些分类， 都是从教学需要出发的。 由易

13、到难， 循序前进， 总要按部就班地排除一个次序来。 因此是教学需要的， 有必要的。 不过，这种分类不涉及数学应用题的数学本质，学生并不需要知道。 对于数学的困难生，为了辨别各种不同的算式，可能起一定的作用。 如果试图通过题型的类别训练达到“机械自动化”的程度，并不能反映数学的思想与方法，也并能真正解决数学问题。,传统应用题的分类,只有被广泛承认和使用的分类才有“知识性”价值。否则只是在小范围使用， 不过是一种临时使用“标签”而已， 不需要长期记住。 打个比方， 作为地理学知识，中国，分为省（山东）， 省分为市（烟台），就为止了。 至于烟台下面分为各个区， 就不是大众需要的知识， 是地方的标签，

14、 大众不需要长期记忆。,传统应用题的分类,应用题与现实生活的关系,紧密联系学生的日常生活,小学生的日常生活内容十分有限。 主要围绕“买东西”活动展开。单价、总数，折扣，差额，比例“卖”的意识也很少。 所以成本、利润、效率， 都不是日常生活实际能够接近的。 国际上有一种“现实数学”，实验失败告终。 不能除了超市，就是商场，需要拓展情境内容。 应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时路程之间的关系，乃是物体运动的在物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题， 完全是一种假想的模拟情景。,关于虚拟的“真实”,儿童的思维情境， 包括客观现实反映和虚拟想象两大部分。 虚拟想象中

15、有一部分成为“虚拟真实”。 孙悟空， 黑猫警长，圣诞老人， 白雪公主， 魔法石， 变形金刚。 利用虚拟的真实：外星巨人的手印。,过于真实，不利于教学。,路程问题： 想象在一条直线上， 自始至终一一种速度在奔跑。 有这样笔直的道路吗？ 怎样能够使得起跑时速度和到终点的速度一样？ 鸡兔同笼好？ 还是三条腿凳子和四条腿椅子好？ 退位减法，被减数个位不够减，向十位借一，有学生就很贴近生活地说“十位不肯借怎么办？” 数学是需要抽象概括的。,有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放出整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？,被曲解的经典题,飞机的能源消耗与补充、

16、 排队进场与出场、 草场里草的生长与割去、 人体的新陈代谢、 社会人口的增减、 湖泊的污染与治理， 家庭的收入与支出； 动态平衡的问题。,数学模型客观存在,争论：相遇问题在现实生活中并不多见； 杨乐院士：导弹防御系统里面蕴含着相遇问题； 道路建设，工程问题。,现实与数学模型,30年代， 小学数学教材里都有和尚馒头问题： “一共有100个和尚和100个馒头。 大和尚一人吃三个馒头， 小和尚三个人吃一个馒头， 问各有大小和尚几人”。 现在不见了， 如果是因为不能联系学生的实际，那太遗憾了。,充满童趣的素材,小学数学中的模型有哪些,算术和代数,算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关

17、系、数的运算等。 算术模型是一串“数字”的运算流程。 代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。 代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系或其他结构。,从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段 学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。 代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率，就像人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。,算术和代数,有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？,典型问题为例,算术建模，是给出一种算法：( “计算表征”) 实际每月完成数是(6606)

18、+22，于是有答案： 完成时间 = 660 (6606)+22 = 5 这是通过一串已知数字的运算组合，最后得到结果。,解法一,代数建模。 是给出一个算式。(“数量关系表征”) 设实际完成月数是， 那么（660 ）是每月实际完成数。 110 = 每月计划完成数 = （660 ）- 22 于是得到有符号的算式 代数模型： （660 ）- 22 = 110 （1） 无法直接计算出， 但可以进行“式 ”的运算： （660 ）= 110 +22 = 132 （2） （660 132）= = 5 （3）,解法二,用符号的算术模型。 设实际完成月数是，那么 = 660 （实际完成数） = 660 （计划完

19、成数+22） = 660 （110+22） = 5 这里也有符号代表数， 却完全是算术思维， 与代数无关。,解法三,用代数方法启发算术思维。 由（3）式：（660 132）= = 5 可知： = （660 实际每月完成数）=（660 (6606)+22） = 5 最后二者是统一的。,解法四,算术模型和代数模型的区别,算术思维和代数思维思考的方向不一样。 打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。,算术模型和代数模型的区别,很多数学家回忆自己的学习生涯，感觉到小学里用算术方法解决问题培养了自己的能力

20、，尽管这些问题后来用代数变得简单。,“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?” （波利亚）金鸡独立解法的思路是，如果笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地 （张景中）假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚” 还有更多,经典问题：鸡兔同笼,列方程时的数学思维， 主要还得用算术方法过渡。没有算术的第一步， 就难有代数的第二步。 如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。,算术方法与代数方法,数学应用题是否要集中教学？,数学建模是一种特殊思维活动， 有特定

21、内容， 需要单独、集中学习领会。 一些基本的数学模型反映基本的数量关系，是学生发展的必要基础。需要集中演练， 形成技能。 解数学应用题，需要将各种数量关系进行比较。 集中教学， 避免分散割裂。 处处都有，有时也容易变成处处都没有。,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 可能的困难： 不会转化百分数与分数？ 不会计算？ 不会列方程？ 不会分析数量关系？ 还是 就是不会做,从不会到会，需要什么,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图：,怎样让学生学会？,这桶

22、油的20，,12千克,这桶油的1/2,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 第一次这桶油20 第二次12千克 两次一共这桶油1/2 这桶油2012这桶油1/2,怎样让学生学会？,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 对应关系： 1这桶油 20第一次取出 1/2两次取出 ？第二次取出12千克,怎样让学生学会？,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 列方程 设这桶油为x千克； 20x121/2x 1/2x20x12

23、,怎样让学生学会？,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图： 对应关系： 方程； 还有什么方法？,怎样让学生学会？,基本策略,尝试猜想； 画图制表； 实际操作； 应用规律； 等量替换 从简入手； 整理数据； 可逆思考； 用方程解； 逻辑推理,理解题意 做解题计划； 按计划解答； 回答和检验。,一般策略,特殊策略,鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？,策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试；

24、策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。,策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔； 策略5：方程思路：用表示鸡的只数，用表示兔的只数，根据已知条件可以发现8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。,策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。,4只脚,8个头,关于解题策略,线段图不是目的，只是手段。是拐杖，不是棍棒；（新加坡的模型法） 不能为“策略”而策略，应该把策略的习得融入到问题的解决中； 解题的策略也不能是为了实现“刺激反应”的自动化。,重视结果的检验,建立模型的核心是弄清数量关系， 并加

25、以表示。真正解决解决问题必然会检验。 教学是模拟过程，可以把重点放在构作建模型上，但是不能忽视模型的检验。 这既是一种数学素养，也是学生良好的元认知的表现,相关好题推荐,巨人的手印：荷兰，弗莱登塔尔,昨晚外星巨人访问我校， 留下巨大的手印。 今晚他 还要来。 我们请他到教室 里来坐坐。请问： 1.他的椅子要多高？ 2.他看的书要多大？ （测量手印，按比例放大）,荷兰名题,甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？ 如果在一条直线上？ 如果不在一条直线上？,甲,学校,乙,日本名题,设计一花坛， 使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。,数字时代检验码,身份证、书号、超市商品号的最后一位是检

26、验码。 （1)S = Sum(Ai * Wi), i = 0, . , 16 ，先对前17位数字的权求和 Wi: 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 （2）计算用11除所得余数Y：Y = mod(S, 11 （3）通过模得到对应的校验码,瓷砖问题。美国,已经知道游泳池内部的长度L和宽度w, （都是自然数）， 用边长为1的瓷砖围成边， 需要多少块瓷砖？,简单邮路问题（原上海金汇学校）,有三行三列的9个点,左上角为邮局，邮递员自邮局出发,经过9 个点,最后回到邮局，怎样投递为最短路线 它们有多少种？,钟面问题（浙江）,钟面数字问题：钟面上有12个数，请在某些数的前面添上加号或减号，使钟面上所有数之和等于零。 此题解决的思路是：1231278，因此相当于将12个数分成两组，使这两组数的和分别等于39，然后在任意一组的每一个数的前面添上负号。 解题的关键在于从1，2，3， ，12这十二个数中取出 若干个，使其和为39。,源于教材，高于教材； 居高临下，注重本质； 总体把握，心中有数； 与时俱进，精益求精。,为唐彩斌专著思想改变课堂所题勉词（上海教育出版社）,谢谢大家！ 欢迎讨论指正！,