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1、抛物线的标准方程,选修2-1 第2章,平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是什么？,A,B,P,(x,y),(x1,y1),(x2,y2),平面内到一定点与到一定直线的距离相等的点的轨迹是什么？,A,B,P,(x,y),K,设点M的坐标为(x, y),化简得 y2=2px (p0),解：取过点且垂直于l 的直线为x轴，x轴与l交于，以线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，,平面内与一个定点F 和一条定直线l (F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点 定直线l 叫做抛物线的准线,抛物线定义,F,M,l,N,即:,方程 y2=2px (p0)叫做抛物线的标准方程,(3)
2、 p的几何意义是:焦点到准线的距离,(1) 它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上, 准线平行于y轴,且在原点的左侧.,对“标准”的理解,一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程. 但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,y,y2 = 2px（p0）,抛物线标准方程的其他形式,(二).四种抛物线的标准方程对比,根据抛物线的标准方程如何判断抛物线的焦点位置、开口方向？,问题：,(1)一次项的变量如果为x(或y),则x轴(或y轴)为 对称轴,焦点就在x轴(或y轴)上。,(2)一次项的系数的符号决定了开口方向。
3、,总结口诀:“一次项字母定轴，一次项符号定向”,三、例题：,例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程， 并求焦点到准线的距离：,（1） y2=4x,(1) 解：2p=4，p=2，,焦点F(1，0)，,准线方程x=-1,焦点到准线的距离是2.,（2）x= - 6y2,(2) 解：原方程化为,焦点F,准线方程,焦点到准线的距离是,四种抛物线的标准方程可合并为两个：,1、焦点在x轴上的标准方程：,y2=2px （p0）,即y2=ax (a0)，,焦点坐标,准线方程,2、焦点在y轴上的标准方程：,x2=2py (p0),即x2=by (b0)，,焦点坐标,准线方程,例2、根据下列条件，求抛物线的标准方程
4、：,（1）焦点坐标是F(0, -2)；,解：焦点坐标是(0, -2)，,设抛物线方程为x2=-2py，,则 =2，p=4，,抛物线方程为x2=-8y.,（2）准线方程是x=,解：准线方程是x=,设抛物线方程为y2=2px.,抛物线方程为y2=x .,求抛物线方程的关键是：,确定形式, 求出p值,(可以画图帮助分析),练习：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）y 2 = 20 x,（2） x 2 = y,（4）,（3） 2y2+5x=0,焦点F ( 5, 0 ),准线：x =5,求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；,小结:,先定位，后定量。,焦点,准线,焦点F(0, 1) 准线：y
5、=-1,例3、已知抛物线y2=4x上有一点A，已知点A到焦点的距离是10，求A到准线的距离，并求A点的坐标.,解：由抛物线的定义知，A到准线的距离等于A到 焦点的距离10.,2p=4，p=2，,设A(x, y)，,x=9，代入y2=4x 得y=6，,A( 9, 6 ).,准线方程是 x= -1.,则x+1=10，,M是抛物线y2=2px( p0)上一点（如图）， 若 点M 的横坐标为x0, 则点M到焦点的距离是,O,y,x,F,M,“焦半径”,小结:,例4.求过点A(-3, 2)的抛物线的标准方程,抛物线的标准方程为x2= y或y2= x,变式1：,抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上，
6、求抛物线标准方程.,解：,由题意，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，即A(4, 0)或 B(0, -3),当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x,当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y,变式2：焦准距为 ?,例5.平面上的动点P到定点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，求点P的轨迹.,变式1：到F(1,0)的距离比到y轴的距离大1?,变式2：动点P的坐标满足, 则点P的轨迹是什么 ?,3、抛物线的标准方程的四种形式.,2、抛物线的标准方程与其焦点、准线.,1、抛物线的定义及方程的推导.,四. 课堂小结,向右,向左,向上,向下,4、数形结合的思想 （画图分析）,形（曲线位置特征）,数（方程形式特征）,已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时， 应先“定位”；后“定量”.,“非标准型”,“标准型”,