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1、20.3 菱形的判定 大四站中学 杨凤云教学目标1、知识与技能探索菱形判定定理；会利用判定定理进行有关的论证和计算。2、过程与方法培养学生的观察能力，动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力。3、情感、态度与价值观在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点。重点与难点1、重点：菱形的判定定理的掌握和灵活运用。2、难点：菱形的判定定理的灵活运用。教学方法本节课承袭了前两节课的探究方法，这种方法学生已经比较熟悉，所以本节课可以放手让学生去探究，以达到培养学生动手、动脑的习惯，注重学生概括、归纳问题的能力的培养，鼓励学生发现问题、敢于质疑，使学生在探索争鸣中学会合作学习，学会倾听，学
2、会表达，使学生在活动中学习，在学习中活动。教具准备教学用三角板与圆规。第一课时 两条对角线互相垂直的平行四边形教学过程一、复习引入教师讲解：我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形。要判定一个四边形是菱形可以从定义入手，一方面证明它是一个平行四边形；另一方面证明这个四边形有一组邻边相等。除此之外，还能找到其他的判定方法吗？我们借鉴上一节课的探究方法，将菱形性质定理的条件与结论相交换，形成一个逆命题，然后证明这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。所以我们要先复习一下菱形的性质：菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，它具有如下
3、的性质：两条对角线互相垂直平分；四条边都相等；每条对角线平分一组对角。教师分析菱形的性质：“两条对角线互相垂直平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质，由此我们可以得到的逆命题是：如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形。只要我们能证明这个逆命题是真命题，它就成了一个菱形的判定定理。二、探究新知教师作如下演示并提问：如图20.3.11（a），取两个长度不等的木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形，因为这个四边形的对角线互相平分，若转动其中
4、一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90度时，得到的图形是什么图形呢？这时这个图形就如图20.3.11（b）所示，它是一个两条对角线互相垂直的平行四边形。教师要求学生按图20.3.11（b）所示用尺规画一个满足上述条件的平行四边形，再量一下它们的邻边是否相等。作图过程如下：作一条直线m，在m上取一点O，过点O作m的垂线pm；在m上截取线段OA与OC，使OAOC；在p上截取线段OB与OD，使OBOD；连结AB、BC、CD、DA，构成一个平行四边形，如图20.3.12所示，再用直尺测量AB、BC、CD、DA的长度。如果我们的作图是准确的，我们将会发现，这四边是相等的。由此可以得到判定
5、菱形的一种方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。教师要求学生自己用推理的方法证明这个结论，学生证明后教师在黑板上给出证明过程。（见课本第114页）已知：如图20.3.13，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直。求证：四边形ABCD是菱形。证明见课本第114页。（二）应用实例（课本第114页）教师提出问题：如图20.3.14，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形。教师分析证明思路：要证明四边形AFCE是菱形，由已知条件可知，EFAC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，由于EF垂直平分AC，所以只需证OEOF。教师要求
6、学生自己证明，学生自己证明后，教师给出证明过程。（见课本第114页）。（三）应用实例（补充）如图20.3.15，ABC中，ABAC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CFBE交AD于F，连接BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。分析：从已知条件可知四边形BECF的对角线互相垂直，所以只要再证明它是一个平行四边形即可。已知CFBE，所以只要证明CFBE即可。利用等腰三角形顶角平分线的性质（三线合一）很容易证明BDECDF，从而推得BECF。全等的证明步骤简述如下：ABC中，ABAC，AD是角平分线，ADBC，BDCD（三线合一）BECF，FCDEBD，BDECDF（详细证明由学生自己完成）
7、三、随堂练习课本第116页练习第2题。四、课时总结对角线互相垂直的平行四边形是菱形。五、布置作业1、课本第116页习题20.3第1、2题。2、选用课时作业优化设计。六、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容：菱形的对角线互相垂直。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。第一课时作业优化设计1、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条2、在菱形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，且E、F分别是BC、CD的中点，那么EAF等于（ ）A、75 B、55 C、45 D、603、菱形的对角线_，并且_。4、菱形
8、的较短的对角线长为4，两邻角的比为12，则菱形的面积为_，另一条对角线的长为_。5、（2005贵阳）如图1，在ABC中，ABBC，D、E、F分别是AC、AB边上的中点。（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB12cm，求菱形BDEF的周长。6、如图2，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，ABa，求：（1）ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积。第二课时 四条边都相等的四边形教学过程一、复习引入教师讲解：上一节课我们证明了菱形的一个判定定理：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形；或者说对角线互相垂直的平行四边形是菱形。这节课我们将从边的关系来探究菱形的判定
9、定理。二、探究新知（一）菱形判定定理2教师讲解：我们已经知道“菱形的四条边都相等”。此定理的逆命题是：四条边都相等的四边形是菱形。如果我们能证明这个命题是真命题，那么它就成了一个定理。教师要求学生先画四条边都相等的四边形，然后测量它的对角线的夹角，验证一下我们的结论是否成立，即夹角是否是90度。然后要求学生给出证明方法。学生证明后教师给出证明过程。已知：如图20.3.21，四边形ABCD中，ABBCCDDA。求证：四边形ABCD是菱形。证明：ABCD，BCDA，四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）又ABAD，四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
10、于是我们有判定定理2：四条边都相等的四边形是菱形。教师提问：这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的。学生探究后教师画出图形（见图20.3.22）作为反例。（二）判定定理3教师讲解：我们已经知道“菱形的每条对角线平分一组对角”，此定理的逆命题是：每条对角线都平分一组对角的四边形是菱形。如果我们能证明命题是真命题，那么它就成了一个判定定理。教师要求学生先画出每条对角线都平分一组对角的四边形，然后测量它的四条边是否都相等，验证一下我们的结论是否成立，然后要求学生给出证明方法。学生证明后教师给出证明过程
11、。已知：如图20.3.23，四边形ABCD中，12，34，56，78。求证：四边形ABCD是菱形。证明：ABC和ADC中，12，34，ACAC，ABCADC（A.S.A.）ABAD，BCCD（全等三角形的对应边相等）ABD和CBD中，56，78，BDBD，ABDCBD（A.S.A.）ABBC，ADCD（全等三角形的对应边相等）ABBCADCD四边形ABCD是菱形。（三）应用实例已知：如图20.3.24，ABC中，ACB90，BE平分ABC，CDAB于D，EHAB于H，CD交BE于F。求证：四边形CEHF为菱形。教师分析：先证EBCEBH，推得CEEH，易证CFEH，故有四边形ECFH是平行四边
12、形。再证CECF。教师证明并板书：CDAB于D，EHAB于H，CFEH且EHB90。又ACB90，EBEB，EBCEBH，EBCEBH。CEEH。四边形ECFH是平行四边形。在RtBCE中，CBECEB90，在RtBDF中，DBFDFB90，因为CBEDBF，CFEDFB，所以CEBCFE，所以CECF。所以四边形CEHF为菱形。由此，我们还可以得到判定菱形的方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。三、随堂练习1、在中，A的平分线与BC边相交于点E，B的平分线与AD边相交于点F。求证：四边形ABEF是菱形。2、作菱形ABCD，使AC5cm，BAD60。四、课时总结菱形常用的判定方法归纳为（
13、让学生讨论归纳后，由教师小结并板书）： 是菱形注意：2与4的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题设条件都包含有平行四边形的判定条件。如方法4，根据对角线互相平分，就可以首先判定四边形是平行四边形，这样，判定方法4就和判定方法3等同了。五、布置作业1、课本第116页习题20.3第3题。2、选用课时作业优化设计。六、板书设计黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新，左边用于板书以下内容： 是菱形第二课时作业优化设计1、下列图形中，不一定为菱形的是（ ）A、两对角线互相垂直平分的四边形B、有一条对角线平分一个内角的平行四边形C、四条边都相等的四边形D、用两个全等的等边三角形拼成的图形2、如图1，在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F为垂足，且E、F又分别是BC、CD的中点，则EAF的度数为（ ）A、75 B、60 C、45 D、303、对角线_ 的四边形是菱形。4、延长等腰ABC顶角平分线AD到E，使ADDE，连结BE、CE，则四边形ABEC是_形。