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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,决胜高考,专案突破,名师诊断,对点集训,【考情报告】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【考向预测】,纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可以看出:此 部分内容占1522分左右.在解答题中对平面向量的考查,都不是以 独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题的工具,渗透于解答 题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角函数的解答题一般 都为基础题,而三角函数与平面向量的小题一般都属于中低档题,不 会太难.,三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征 分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式 求值和简单
2、的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.,预测在2013年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量部分的题为 两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运 用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函数的 图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒 等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需 要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.,【知能诊断】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.(2012年江西)若tan + =4,则s
3、in 2= ( ),(A) . (B) . (C) . (D) .,【解析】tan + = =44tan =1+tan2,sin 2=2sin cos = = = = .,【答案】D,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.若,(0,),cos =- ,tan =- ,则+2= .,【解析】,(0,),cos =- ,tan =- (- ,0),tan =- (- ,0),( ,),+2( ,3),又tan 2= =- ,tan(+2)= =-1,+2= .,【答案】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2= bc,sin
4、 C=2 sin B,则A等于 ( ),(A)30. (B)60. (C)120. (D)150.,【解析】由sin C=2 sin B及正弦定理,得c=2 b,代入a2-b2= bc,得 a2-b2= b2 b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cos A= = = = ,所以A=30.,【答案】A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.已知关于x的方程: x2+ 2x+ =0(xR),其中点C为直线AB上 一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是 ( ),(A)点C在线段AB上.,(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.,(C)点C在线段AB的反
5、向延长线上且点A为线段BC的中点.,(D)以上情况均有可能.,【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由 =- x2- 2x,可得-x 2-2x=1,解之得x=-1,即 =- +2 ,化简整理可得: - = - = ,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.,【答案】B,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,5.(2012年江西)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A= , bsin( +C)-csin( +B)=a.,(1)求证:B-C= ;,(2)若a= ,求ABC的面积.,【解析】(1)由bsin( +C)-csin( +B)=a,应用正弦定理,得,sin
6、 Bsin( +C)-sin Csin( +B)=sin A,即sin B( sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)= ,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,即sin(B-C)=1,由于0B,C ,从而B-C= .,(2)B+C=-A= ,因此B= ,C= .,由a= ,A= ,得b= =2sin ,c=,=2sin ,所以ABC的面积S= bcsin A= sin sin,= cos sin = .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.第1题容易想到是先通过条件tan + =4求出正切值,此时一方
7、面 解方程繁琐,另一方面又要讨论函数值的符号,此法不可取,显然必须 切化弦,因此需利用公式tan = 转化;sin2+cos2在转化过程中常 与“1”互相代换,从而达到化简的目的.,2.第2题最困难的地方在于确定+2的范围,一般地,根据已知条件, 把角的范围限制得越精确,结果也越准确.否则角的范围容易被放大, 导致错误.,3.第3题中,记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造 成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是,【诊断参考】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,正确的,如果选用正弦定理求角就不合理,一是出现两个角,二是要讨 论舍弃一个角,更容易出错.,4.第
8、4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,此 题学生最大的思维障碍是向量的三点共线的条件的转化,即由A,B,C 三点共线,O为直线AB外一点,若 = + ,则 +=1,从而可解决 本题.,5.第5题是考试说明中“考查考生对数学本质的理解”的典范,很多 考生拿到三角题的定势思维就是看能不能利用条件整体化去凑角, 这样一来出现一些平时成绩好的学生走入死“胡同”,真是“弄巧 成拙”.其实本题的解法就是最简单地把角拆开,整理就可以了.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【核心知识】,一、三角函数及解三角形,1.y=Asin(x+)(A0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小
9、值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或 对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差 四分之一个周期.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由y=Asin(x+)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin (x+)的题型中,有时从寻找“五点”中的第一零点(- ,0)作为突 破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.,2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析, 常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化 同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主 要依据,注意其变形:1+
10、cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2= , sin2= .,3.正弦定理,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则 = = =2R(R为三角形外接圆的半径).,4.余弦定理,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则a2=b2+c2-2 bccos A,cos A= ,另外两个同样.,5.面积公式,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(1)三角形的面积等于底乘以高的 ;,(2)S= absin C= bcsin A= acsin B= (其
11、中R为该三角形外接圆的 半径);,(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S= (a+b+c)r;,(4)若p= ,则三角形的面积S= .,6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.,二、平面向量,1.平面向量的基本概念,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.共线向量定理,向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使b=a. 如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab 的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1 =0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之 积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写 为 = ,
12、即对应坐标的比值相等.,3.平面向量基本定理,对于任意向量a,若以不共线的向量e1,e2作为基底,则存在唯一的一组 实数对,使a=e1+e2.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.向量的坐标运算,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).,5.数量积,(1)已知a,b的夹角为=(0,),则它们的数量积为ab=|a|b| cos ,其中|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交 换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a(bc)(ab)c;,(2)若a=(x1,y1),b=(
13、x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;,(3)两非零向量a,b的夹角公式为cos = = ;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(4)|a|2=aa.,(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.,【考点突破】,热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换,(1) 若0 ,- 0,cos( +)= ,cos( - )= ,则cos( + )等于 ( ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A) . (B)- . (C) . (D)- .,(2)(2011年重庆) 已知sin = +cos ,且(0, ),则 的值为 .,【分析】(1)角的变换:+ =( +)-( - );(
14、2)先化简,再求解.,【解析】 (1)cos( +)= ,0 ,sin( +)= .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,又cos( - )= ,- 0,sin( - )= .,cos(+ )=cos( +)-( - ),=cos( +)cos( - )+sin( +)sin( - )= + = .,(2)(法一) =,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=,=- (cos +sin ),sin = +cos ,cos -sin =- ,两边平方得1-2sin cos = ,2sin cos = .,(0, ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,cos +sin = = = ,
15、=- .,(法二)由条件得cos -sin =- ,两边平方得1-2sin cos = ,所以sin 2 = .所以由(0, ),且cos sin ,知( , ),所以2( ,),所以 cos 2=- =- .于是 = =- .,【答案】(1)C (2)-,【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的 变换,把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用已,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,知的三角函数表示出来,常见的角的变换有: +2=2( +),=(+)- =(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2 , =(- )-( -) 等.在进行三角函数化简
16、或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先 要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条件.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练1 (1)已知 = ,则tan + 的值为 ( ),(A)-8. (B)8. (C)- . (D) .,(2)若sin +2cos =0,则 的值为 ( ),(A)- . (B) . (C) . (D)- .,【解析】 (1) = ,即cos -sin = ,即sin cos =- ,所以 tan + = =-8.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由已知sin +2cos =0得tan =-2,所以 = = = =- .,【答案】(1
17、)A (2)A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于A、B两点.,(1)如果tan = ,B点的横坐标为 ,求cos(+)的值;,【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.,【解析】(1)已知是锐角,根据三角函数的定义,得sin = ,cos = ,又cos = ,且是锐角,所以sin = .,所以cos(+)=cos cos -sin sin = - =- .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)依题意得MA=sin ,NB=sin ,PC=sin(+),因为,(0, ),所以cos (0,1),cos (0,1),
18、于是有sin(+)=sin cos +cos sin sin +sin . ,又+(0,),-1cos(+)1,sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin sin(+)+sin . ,同理,sin sin(+)+sin . ,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由可得,线段MA、NB、PC能构成一个三角形.,【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解 决例2的关键.,近几年的高考试题对三角函数基本关系考查常以选择题、填空题 的形式出现,分值在5分左右.其考查重点是基础知识,考查要点是三 角函数值的计算、三角函数符号的判断、角的象限的判断等.,名师诊断,
19、专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练2 已知向量a=(sin ,-2)与b=(1,cos )互相垂直,其中(0, ).,(1)求sin 和cos 的值;,(2)若sin(-)= ,0 ,求cos 的值.,【解析】(1)a与b互相垂直,ab=sin -2cos =0,即sin =2cos ,代 入sin2+cos2=1得sin = ,cos = ,又(0, ),sin = ,cos = .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)0 ,0 ,- - ,cos(-)= = ,cos =cos-(-),=cos cos(-)+sin sin(-)= .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考
20、,热点二:三角函数的图象与性质,此类题型在高考中主要以小题形式出现,考查三角公式中的和(差) 角公式、倍角公式的应用,三角函数的单调性、周期性、对称轴、 对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容.考题一般属中低档 题,熟记并灵活运用相关公式和性质是解决此题型的关键.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(1)函数f(x)=2sin(x+)(其中0,- )的图象如图所示,若点A是函数f(x)的图象与x轴的交点,点B、D分别是函数f(x)的图象的最高点和最低点,点C( ,0)是点B在x轴上的射影,则 = .,(2)函数f(x)=xcos x2在区间0,4上的零点个数为 ( ),(A)4. (B
21、)5. (C)6. (D)7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(3)若函数f(x)=sin x(0)在区间0, 上单调递增,在区间 , 上单 调递减,则等于 ( ),(A)3. (B) 2. (C) . (D) .,【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各个参数中,与T有关,与平移或 对称轴等有关.能够由图得出与,然后利用数量积公式.,(2)利用零点转化为解方程即可.,(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+ ),则得A(- ,0),B( ,2),D( ,-2), =( ,2)( ,
22、-4)= -8.,(2)f(x)=0,则x=0或cos x2=0,x2=k+ ,kZ,又x0,4,k=0,1,2,3,4,所有 共有6个解,选C.,(3)函数f(x)=sin x(0)在区间0, 上单调递增,在区间 , 上 单调递减,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,则 = ,即= ,答案应选C.,(另解一)令x2k- ,2k+ (kZ)得函数f(x)在x - , + (kZ)为增函数,同理可得函数f(x)在x + , + (kZ) 为减函数,则当k=0, = 时符合题意,即= ,答案应选C.,(另解二)由题意可知当x= 时,函数f(x)=sin x(0)取得极大值,则f ( )=0,即
23、cos =0,即 =k+ (kZ),结合选择项即可得答案应选 C.,(另解三)由题意可知当x= 时,函数f(x)=sin x(0)取得最大值,则,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=2k+ (kZ),=6k+ (kZ),结合选择项即可得答案应选C.,【答案】(1) -8 (2)C (3)C,【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称 中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象 平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的 图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练3 (1)
24、设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函 数”的 ( ),(A)充分而不必要条件.,(B)必要而不充分条件.,(C)充分必要条件.,(D)既不充分也不必要条件.,(2)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的部分图象如图所示, 则f( )= .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】(1)函数f(x)=cos(x+)若为偶函数,则有=k,kZ,所以“= 0”是“f(x)=cos(x+)为偶函数”的充分不必要条件,选A.,(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4( - )=,故= =2. 将点( ,2)代入f(x)的解析式得sin( +)
25、=1,又| ,= ,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+ ),故f( )=-2.,(法二)已知函数最大值为2,最小正周期T=4( - )=,而 = + (x= 与x= 相差半个周期),故f( )=-2.,【答案】(1)A (2)-2,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,已知函数f(x)=2sin(x+)(0, )的部分图象如图所示.,(1)求f(x)的表达式;,(2)求函数f(x)在区间 ,2上的最大值和最小值.,【分析】先结合图象确定和,再求最值.,【解析】(1)由题意可得 = -(- ),= ,因此f(x)=2sin( x+),又f ( )=2,名师诊断,专案突破,对点集
26、训,决胜高考,即sin( +)=1,而 ,故= ,故f(x)=2sin( x+ ).,(2)由(1)可知f(x)=2sin( x+ )=-2sin( x+ ),由x ,2,则 x+ , ,最大值为 ,最小值为-2.,【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能 够借助三角函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结 合去解决问题.,(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通过以下几个步 骤实现:根据振幅求出A;根据图象的最高点、最低点或与x轴的,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,交点求周期,再求出;根据特殊值求出初相,或者利用正弦函数 对称轴与对
27、称中心之间的关系直接求解.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练4 已知函数f(x)=cos2x+2 sin xcos x-sin2x.,(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;,(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cos x 的图象?,(3)在ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,若a= ,f(A)= 1,求b+c的最大值.,【解析】(1)f(x)=cos2x+2 sin xcos x-sin2x= sin 2x+cos 2x=2sin(2x+ ),最小正周期为T= =,由- +2k2x+ +2k(kZ)可得- +k x +k
28、(kZ).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,即函数的单调递增区间为 (kZ).,(2)要得到函数g(x)=cos x的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变 换得到:把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函 数y=2sin(x+ )的图象;再把函数y=2sin(x+ )的图象纵坐标缩短为 原来的 ,横坐标不变,得到函数y=sin(x+ )的图象;再把函数y=sin (x+ )的图象向左平移 个单位得到y=g(x)=sin(x+ + )=cos x的图 象.,(3)由f(A)=1可得2sin(2A+ )=1,即sin(2A+ )= ,又0A,所以A= .由 余弦定理
29、可得a2=b2+c2-2bccos A,即3=b2+c2-bc,即3=(b+c)2-3bc.又bc,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,( )2,所以3=(b+c)2-3bc(b+c)2-3( )2,故b+c2 ,当且仅当 即b=c= 时,b+c取得最大值2 .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点三:向量的基本运算、数量积,运用坐标对向量的加、减、数乘、数量积进行运算是基本考查内 容.向量的共线问题及垂直问题,求模长及夹角问题是考查重点.解三 角形问题也是考查的重点之一,此题型难度中等,一般是小题.综合解 三角形问题常为解答题.,(1)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y
30、),c=(2,-4),且ac,bc, 则|a+b|等于 ( ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A) . (B) . (C)2 . (D)10.,(2)(2011年湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设 =2 , =3 , 则 = .,(3)给出下列命题:,已知向量a,b,c均为单位向量,若a+b+c=0,则ab= ;,ABC中,必有 + + =0;,四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 = ;,已知P为ABC的外心,若 + + =0,则ABC为正三角形.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,其中正确的命题为 .,【分析】(1)能够利用向量平行与垂直进行转化,从而计算出模的大
31、小.,(2)把向量 与 用正三角形ABC的三条边所在的向量表示,再对数 量积 进行运算.,(3)应该掌握向量的基本知识、基本概念.,【解析】(1)因为ac,bc,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即 a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),|a+b|= ,选B.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由题 = - = - ,= - = - ,所以 =( - )( - )=- - + =- .,(3)命题错误,ab=- ;命题都是正确的.,【答案】(1)B (2)- (3),【归纳拓展】(1)能够掌握向量的基本概念、平面向量线性运算,即 加法、减
32、法运算以及数量积的运算.,(2)能够利用向量垂直条件得到相应的三角函数间关系,借助正余弦,定理进行解题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练5 (1)已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(b-2,a-2),且mn,c=2,C= ,则ABC的周长的最小值是 .,(2)在ABC中,AB=2,AC=3, =1,则BC等于 ( ),(A) . (B) . (C)2 . (D) .,(3)(2012年广东)对任意两个非零的平面向量和,定义 = .若 平面向量a,b满足|a|b|0,a与b的夹角(0, ),且a b和b a都在集合 |nZ中,则a b
33、等于 ( ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A) . (B)1. (C) . (D) .,【解析】(1)由题意可知mn=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab,由余弦 定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0, 解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+22 +2=6.,(2)由右图知 =| | |cos(-B)=2| |(-cos B)=1.,cos B= .又由余弦定理知cos B= ,解得BC= .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(3)由定义 = 可得b a=
34、 = = ,由于|a|b|0及 (0, )得0 1,从而 = |a|=2|b|cos ,a b= = = =2cos2.由(0, ) cos 1 cos211 2cos22,故答案为C.,【答案】(1)6 (2)A (3)C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点四:三角函数图象的应用,考查y=Asin(x+)的图象和性质(值域、单调性、周期性),辅助角公 式asin +bcos = sin(+)及三角函数的恒等变形,难度中等.,已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2 cos x),设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,其中
35、,为 常数,且( ,1).,(1)求函数f(x)的最小正周期;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0),求函数f(x)在区间0, 上的取值范围.,【分析】求周期问题同样应该把f(x)化为Asin(x+)的形式,然后再 进行解题.,【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x+2 sin xcos x+=-cos 2x+ sin 2 x+=2sin(2x- )+.,由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得,sin(2- )=1,所以2- =k+ (kZ),即= + (kZ).,又( ,1),kZ,所以k=1,故= .,所以f(x)的最小正周期是
36、 .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由y=f(x)的图象过点( ,0),得f( )=0,即=-2sin( - )=-2sin =- ,故f(x)=2sin( x- )- .,由0x ,有- x- ,所以- sin( x- )1,得-1- 2sin( x- )- 2- ,故函数f(x)在0, 上的取值范围为-1- ,2- .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【归纳拓展】解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的 核心,把三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切型 函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜
37、高考,变式训练6,如图是函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0 )的部分图象,M,N是它 与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段 MD的中点,SCDM= .,(1)求函数f(x)的解析式;,(2)在CDM中,记DMN=,CMN=,证明:sin C=2cos sin .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】 (1)由已知点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.SDMN= SCDM= = ,T= ,=3.,f(x)=2sin(3x+),由M(- ,0),sin(- +)=0,又0 ,= ,f(x)=2sin(3x+ ).,(2)在CDM中,tan
38、 =3tan ,得sin cos =3cos sin .,而sin C= sinDMC= sin(+)=2cos sin .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点五:三角变换与解三角形,三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考 试题中的,一般是先进行三角变换,后解三角形,题型往往是解答题, 难度中等.当然,也经常出现独立的考查三角变换和解三角形的试题.,(1)在ABC中,B=60,AC= ,则AB+2BC的最大值为 .,(2)(2012年四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1, 连结EC、ED,则sin CED= ( ),(A) . (B) .,
39、(C) . (D) .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】(1)先通过解三角形把边的关系转化为三角函数关系,再求 其最值.,(2)充分利用图形以及正、余弦定理进行解题.,【解析】(1)A+C=120C=120-A,A(0,120), = =2BC=2 sin A,= =2AB=2sin C=2sin(120-A)= cos A+sin A,AB+2BC= cos A+5sin A= sin(A+)=2 sin(A+),故最大值是2 .,(2)根据题意可知EC= ,DE= ,DC=1,在三角形CDE中由余弦定理 有cosCED= = ,所以sinCED= = .,名师诊断,专案突破
40、,对点集训,决胜高考,【答案】(1)2 (2)B,【归纳拓展】(1)求n条边的和的最值问题,一般是要用正弦定理,把 边的关系转化为三角函数的和,再用辅助角公式求出最值;,(2)在一个三角形中,已知三条边可求任意角的正弦、余弦、正切值.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练7 (1)已知等腰三角形的顶角的余弦值为 ,则一个底角的 余弦值为 .,(2)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,A= ,c = ,则ABC的面积为 ( ),(A) . (B) .,(C) . (D) .,【解析】(1)设顶角为A,底角分别为B、C,则B=C,由条件可知cos A= ,cos
41、 2B=cos(-A)=-cos A=- ,即2cos2B-1=- ,由条件cos B0,故cos B=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,.,(2)由正弦定理可得 = ,故sin C= = ,于是cos C= = ,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ,ABC的面积为 acsin B= .,【答案】(1) (2)A,(1)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知 sin C+cos C=1-sin .,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,求sin C的值;,若a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.,(2)(2012年大纲全国
42、)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.,【分析】(1)由于有 ,要先用二倍角公式化简求值.,(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关 系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.,【解析】(1)由已知得2sin cos +1-2sin2 =1-sin ,即sin (2cos - 2sin +1)=0,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由sin 0得2cos -2sin +1=0,即sin -cos = ,两边平方得:sin C= .,由sin -cos = 0知sin cos ,则
43、,即 C,则由sin C= 得cos C=- ,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8+2 ,所以c= +1.,(2)由B=-(A+C),得cos B=-cos(A+C).,于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C),=2sin Asin C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由已知得sin Asin C= .,由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.,由、得sin2C= ,于是sin C=- (舍去)或sin C= .,又a=2c,所以C= .,【归纳拓展】(1)已知a,b边的关系结合第问的结论很容易想到用 余弦定理求c边.,(2)本试题主
44、要考查了解三角形的运用,通过边角的转换,结合了三角,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的 角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关 系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a=2c,得到两角正弦值的二元 一次方程组,自然很容易得到C角的值.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练8 在ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c.,(1)若sin(A+ )=2cos A, 求A的值;,(2)若cos A= ,b=3c,求sin C的值.,【解析】(1)sin(A+ )=2cos A,sin A= co
45、s A,cos A0,tan A= ,又0A,A= .,(2)在三角形ABC中,cos A= ,b=3c,a2=b2+c2-2bccos A=8c2,a=2 c,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由正弦定理得: = ,而sin A= = ,sin C= .(也能根据 余弦定理得到cos C= ,0Csin C= ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点六:向量的应用,向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平行与垂直)、求最值 、求值等问题上.常用的解题知识有:向量共线的充要条件、向量垂 直的充要条件、平面向量的基本定理以及向量数量积的运算公式 等.,(1)已知ABC为等边三角形
46、,AB=2,设点P,Q满足 = , =(1-) ,R,若 =- ,则等于 ( ),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A) . (B) .,(C) . (D) .,(2)若|a|= ,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),则a与b的夹角余弦是 ( ),(A) . (B) . (C)- . (D)- .,【分析】(1)向量的计算“基底”是相当重要的,如果随心所欲地计 算则是无济于事的,本题把 = + =-b+(1-)c, = + =-c+b用 b,c表示出来是关键.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)利用向量的夹角公式cos= 即可.,【解析】(1)如图,设 =b, =c,则|b|=|c|=2,bc=2,又 = + =-b+(1 -)c, = + =-c+b,由 =- 得-b+(1-)c(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+ (-2+1)bc=- ,即4(-1)-4+2(-2+1)=- ,整理得42-4+1=0,即(2-1)2 =0,解得= ,选A.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由(a-2b)(2a+b)得(a-2b)(2a+b)=0,3ab=2a2-2b2=2,即ab= ,cos=