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1、,直线和平面的位置关系,直线和平面,在日常生活中，我们可以观察到直线与平面的位置关系共有三种。,即：平行、相交、在平面内。,其中直线在平面内，由基本性质1决定。,对于直线和平面的前两种位置关系，分别给出下面的定义。,定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么称这条直线和这个平面平行。,定义2 如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点。那么称这条直线和这个平面相交。,直线和平面,直线与平面的位置关系,一、直线和平面平行,1、直线和平面平行的判定,直线 和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,例1。已知：空间四边形ABCD，E、F分别是
2、AB、AD的中点,求证：EF平面BCD,证明：连接BD，在 ABD中，,E、F分别是AB、AD的中点，,EF BD,EF 平面BCD,A,B,C,D,E,F,又EF 平面BCD，,3。 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN 面BCE,分析：连接AE,CE 由M、N是中点知： MN CE,所以： MN 面BCE,2、直线和平面平行的性质,直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。,例3：,例3：证,明,证法2,利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质,直
3、线和平面垂直,x,y,o,课件,c,a,b,O,直线与平面有那些位置关系？,a/ /,b,a,b,c,a与c是异面直线,d,如果平面内的直线d 平行于b，那么d与a,垂直,直线a与平面 相交，a与平面 内的直线有几种位置关系？,若直线d不在平面 内，上述结论还成立吗？,仍成立,过一点能作几条与已知直线垂直的直线？,m,O,a,b,c,d,A,所作的垂线是在同一平面内吗？,是,直线m与此平面给我们什么形象？,直线垂直平面的形象,M,直线和平面垂直的定义,如果一条直线（ ）和一个平面（ ）内的任何一条直线都垂直， 则说这条直线（ ）和这个平面（ ）互相垂直,记为 .直线 叫平面 的垂线，平面 叫直
4、线 的垂面， 垂线和垂面的交点叫做垂线足或垂足（Q）。,直线与平面垂直的判定定理,如果直线 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线 垂直平面 。,即：,线不在多，重在相交,1、直线和平面垂直的判定,直线 与平面 相交，但不和平面垂直，叫做直线 与平面 斜交，称直线 是平面 的斜线，交点为斜足。,求证：与三角形的两条边同时垂直的直线 必与第三条边垂直。,A,B,C,a,实际上，这为证明“线线垂直”提供了一种方法,分析:问题的焦点是三角形PBC是不是直角三角形?,故共有四个直角三角形,故共有四个直角三角形,如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点， O是对角线AC与BD的交点，且PA
5、=PC，PB=PD。 求证：PO 平面ABCD,提示,AO=CO，PA=PC， PO AC。 同理PO BD， 又 AC BD=O， PO 平面ABCD。,在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD， 求证：对角线AC BD。,提示,A,B,C,D,E,小结,间接法,直接法,唯一性公理一,m,A,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,唯一性公理二,过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,m,A,B,2、直线和平面垂直的性质,直线与平面垂直的性质定理,如果两条直线同垂直于一个两面，那么这两条直线互相平行。,已知: 求证:,证明：反证法.,A,B,斜线在平面内的射影 直线和平面所成的角,1、斜线
6、在平面内的射影,（1）点在平面内的射影,过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.,（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.,平面的斜线,斜足,点P到平面的斜线段,（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.,斜线在平面内的射影,斜线段在平面内的射影,2、直线和平面所成的
7、角,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.,a,AOB（记为）是a与所成的角,最小角定理,斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角,C,D,进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角,直线和平面垂直：所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内 =00 00 900,00900,小结,（1）点在平面内的射影,（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段,（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的射影.,2、直线和平面所成的角,（4）射影定理,1、斜线在平面内的射影,（3）最小角定理,（1
8、）斜线和平面成角,（2）直线和平面成角,三垂线定理及逆定理,预习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？,PO是平面的斜线, O为斜足;,PA是平面 的垂线, A为垂足;,AO 是PO在平面内的射 影.,三垂线定理,性质定理,判定定理,性质定理,答：aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,为什么呢？,三垂线定理,1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。,2、a与PO可以相交，也可以异面。,3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。,对三垂线定理的说明：,三垂线定理,三垂线
9、逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线逆定理,例题分析：,1、判定下列命题是否正确,(1)若a是平面的斜线、直线b垂直于a在平面 内的射影，则ab。 ( ),2定理的关键找“平面”这个参照学。,强调：1四线是相对同一个平面而言,(2)若a是平面的斜线，b是平面内的直线， 且b垂直于a在内的射影，则ab。 ( ),三垂线定理,关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明ab的一个程序：一垂、 二射、三证。即,第一、找平面(基准面)及平面垂线,第二、找射
10、影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。,例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC,证明： P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：POBD，PCBD,(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M
11、是BC的中点， 求证：BCAM,(1),(2),(3),(1) PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAM,BCAM,证明:, PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3) 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,
12、同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,例3、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,使BC与道边所成水平角等于90，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20cm,三垂线定理,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20cm BC=20m，,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,三垂线定理,例4、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4， PC=6，求点P到平面ABC的距离。,解: 作PH平面ABC，,连AH交BC于
13、E，连PE,PA、PB、PC两两垂直 PA平面PBC PABC,三垂线定理,三垂线（逆）定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影（斜线）垂直，那么它也和这条斜线（斜线的射影）垂直。,小 结,3操作程序分三个步骤“一垂二射三证”,1定理中四条线均针对同一平面而言,2应用定理关键是找“基准面”这个参照系,三垂线定理,2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD 又DD1平面ABCD BD是斜线D1B在平面ABCD上的 射影 AC在平面AC内，BD1AC,而AB1， AC相交于点A且都在平面 AB1C内 BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明D1BAB1,连结A1B,三垂线定理,