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1、第三章 线性系统的时域分析 1 典型输入信号,一阶跃函数,二斜坡函数（匀速函数）,三抛物线函数（匀加速函数）,R=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(S)=1/S。,R=1时，称为单位斜坡函数。,R=1/2时，称为单位抛物线函数。,四脉冲函数,五正弦函数,当 时，则称为单位脉冲函数。,2.一阶系统的时域分析,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控 制系统。,一单位阶跃响应,标准形式 传递函数,当输入信号为理想单位脉冲函数，系统的输出称为单位脉冲响应。,二单位脉冲响应,三单位斜坡响应,跟踪误差为T。,四单位抛物线响应,五结果分析,输入信号的关系为：,而时间响应间的关系为：,3 二阶系统
2、的时域分析,二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。,微分方程的标准形式：,阻尼比，,无阻尼自振频率。,传递函数及方框图,等效的开环传函及方框图,一单位阶跃响应,1.闭环极点的分布,二阶系统的特征方程为,两根为,位于平面的左半部,的取值不同,特征根不同。,（1） （欠阻尼）有一对共轭复根,（2） （临界阻尼）， ，两相等实根,（3） （过阻尼）， ，两不等实根,（4） （无阻尼）， ，一对纯虚根,（5） ， 位于右半平面,2.二阶系统的单位阶跃响应,一般 在0.40.8间响应曲线较好,二.二阶系统的性能指标,1.定义,超调量 :,上升时间 :,峰值时间 ：单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
3、,振荡次数 ：在调整时间内响应过程穿越其稳态值 次数的一半定义为振荡次数。,调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。,，一般取,单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。,2.性能指标的计算,(1)上升时间,（2）峰值时间,（3）超调量,（4）调整时间,（5） 振荡次数N,三计算举例,四二阶系统的脉冲响应,（1）无阻尼 脉冲响应,（2）欠阻尼 脉冲响应,（3）临界阻尼 脉冲响应,（4）过阻尼 脉冲响应,脉冲响应与阶跃响应的关系,五具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的闭环传函具有如下标准形式,当 时，对欠阻尼情况,对应的性能指标为,说明： 1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶
4、系统的响应过程(起始段)； 2.削弱系统阻尼，超调量大； 3.合理的取值范围为 。,零状态响应,六 初始条件不为零的二阶系统的响应过程,当初始条件不为零时，求拉氏变换得,可见， 具有相同的衰减振荡特性,4 高阶系统的时域分析,在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。,一闭环主导极点的概念,二高阶系统单位阶跃响应的近似分析,由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。 暂态响应分量的合成则有如下结论：,（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决定。系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快
5、。,（2）系数 和 不仅与S平面中的极点位置有关，并且与零点有关。 a.零极点相互靠近，且离虚轴较远， 越小，对 影响越小； b.零极点很靠近，对 几乎没影响； c.零极点重合（偶极子）， 对 无任何影响； d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影响大。,（3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。,5 线性系统的稳定性与稳定判据,一稳定的概念与定义,定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。,二线性系统稳定的充要条件,稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入
6、信号无关。,线性系统稳定的充要条件： 其特征根全部位于S平面的左半部。,三稳定判据 1.Routh稳定判据 系统的特征方程为,必要条件 （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同 的符号。,充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。,劳斯阵列,2.Routh判据的特殊情况,a.某行第一个元素为零，其余均不为零。,方法一:,方法二:,b.劳斯表某行全为零,说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。,3.Routh判据的应用,4.Hurwitz判据,设系统的特征方程为：,则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2
7、,n) 构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即,6 反馈系统的误差与偏差,1.误差的定义,一误差,期望输出cr(t)与实际输出c(t)之差定义为反馈系统响应r(t)的误差信号，即,算子 ， 反映cr(t)与r(t)之间的比例微分或积分等基本函数关系，当系统所要完成的控制任务已确定时， 便是已知的。,2.反馈系统 的确定 一非单位反馈系统如图(a)所示，其等效方框图为图(b)。,3.偏差的定义,说明：,1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。,2）偏差是从系统的输入端
8、来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。,3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。,4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义，但在本书是加以区分的。,4.系统响应扰动信号的误差,crf(t)为系统响应扰动信号f(t)的期望输出，考虑到实际系统应不受扰动信号的影响，故应有 crf(t) = 0，这样,7 反馈系统的稳态误差及计算,稳态误差：反馈系统误差信号e(t)的稳态分量，记作ess(t)。,动态误差：反馈系统误差信号e(t)的暂态分量，记作ets(t)。,一响应控制信号r(t)的稳
9、态误差,对稳定系统，,（1）R(s)仅有单极点时,设si为的 极点， 为R(s)的极点，则,一般认为在 t ts 之后动态误差ets(t)基本消失，这时只含有稳态误差ess(t) ，即,对于稳定系统的闭环极点都具有负实部，所以有,由此可看出，ess(t)不仅和描述系统特性的闭环传函 有关，而且还取决于控制输入的极点 。,（2）R(s)含有重极点时 当控制输入r(t)的拉氏变换R(s)含有r重 的极点，而其余lr个极点各不相同时。,二反馈系统响应扰动信号f(t)的稳态误差,（1）F(s)只含有单根时,（2）当F(s)含有重根时,设F(s)含有 r 重 的极点，其余 kr 重极 点个不相同。,三误
10、差系数,误差传递函数为,这是一个无穷级数，它的收敛域是 s = 0 邻域，这相当于在时间域内 时成立的误差级数。因此在所有初始条件为零的条件下，对上式进行拉氏变换，就得到稳态误差表达:,将 在 s = 0 的邻域内展开成Taylor级数，有,1.一般方法,同理可得,则稳态误差可以写成,这里ci， cfi称为误差系数。,2.系统阶次较高时（这里介绍一种简便算法）,（1）将已知的开环传函按升幂排列成如下形式,（2）写出多项式比值形式的误差传递函数,（3）对上式用长除法得,（4）求E(s),（1）系统型别,四稳态误差终值的计算,设系统的开环传函为,称为零型系统,称为 I 型系统,称为 II 型系统,
11、系统的型别以 来划分,优点：1可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。,2系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且 不影响稳态误差的数值。,2.利用终值定理计算,应用终值定理的条件是sE(s)在s右半平面及虚 轴上解析，或者说sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。,3静态误差系数,已知,定义 速度误差系数,定义 位置误差系数,定义 加速度误差系数,8 顺馈控制的误差分析,一应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响,说明： 1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特性（如稳定性）。 2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否则削弱补偿效果。 3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。,1.原理：,二应用顺馈减小系统控制信号的误差,在反馈基础上引入控制信号的微分作为系统的附加输入从而减小,号的误差。,系统响应控制信,2.对误差和稳定性的影响 a.误差,由上式可见系统型别由I型提高到II型。,系统由I型变为III型，从而使稳定性能大为提高。,b.稳定,