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1、张彦劼 高级教师,双曲线,2003年名师课堂辅导讲座高中部分,学习内容,一、双曲线的定义： 1、平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 2、与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（e1）的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。,二、双曲线的标准方程：,三、双曲线的几何性质,B1,四、近线为,的双曲线方程可,设为,当 时，焦点在 轴上； 当 时，焦点在 轴上 。,五、重要结论,1、F1，F2是双曲线,的焦点，,P是双曲线上的点，且,则,，
2、,2、双曲线过焦点的弦，当弦的两端 点在双曲线的同一支上时，过焦 点垂直于实轴的弦最短，当弦的 两端点在双曲线的两支上时，以 实轴长最短。,学习要求,1、掌握双曲线的定义，标准方程及 几何性质 。 2、学会求双曲线的标准方程以及求 双曲线的焦点，顶点、准线、渐 近线等 。,学习指导,1、本讲重点：双曲线的定义，标准方 程及几何性质。 2、本讲难点：求双曲线的标准方程 。 3、剖析：求双曲线的标准方程以及求 双曲线的焦点、准线、渐近线首先 要判断焦点在哪个轴上 。,典型例题解析,例1：填空：,设双曲线与椭圆,有相同的焦点，,曲线的方程为_,且与此椭圆一个交点的纵坐标为4，则这个双,（2）中心在原
3、点，一个焦点是（-4，0），,一条渐近线方程为,的双,曲线方程为_,解：椭圆,已知：双曲线与椭圆有一个交点,的焦点F1（0，-3），由,设双曲线方程为,，,则,，,故双曲线方程为：,由已知,故双曲线方程为,（方法一）,设双曲线方程为,（方法二）,故双曲线方程为,（1）求过（2，-2）点且与双曲线,例2,有相同渐近线的双曲线方程。,（2）已知双曲线的渐近线方程为,，,焦距为10，求它的方程。,（3）双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，,与圆,交于点A（4，-1），,若圆在点A的切线与双曲线的一条渐,近线平行，求双曲线方程。,（方法一）,设双曲线方程为,（2，-2）代入得,曲线方程为,将,，故双,（
4、方法二）,由已知渐近线： ，,（2，-2）在,渐近线,双曲线方程为,下方，设双曲线方程为,（2）渐近线方程为,，故可设双,曲线方程为,即,故双曲线方程为,或,（3）点A（4，-1）在圆,故过点A的切线方程为,上，,双曲,线渐近线方程为,，故设双曲线方程,将（4，-1）代入得,为,故双曲线方程为,已知双曲线,的离心率,例3,左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在,双曲线左支上找到一点P，使|PF1|是P到l的距,离d与|PF2|的比例中项。,解：假设在双曲线左支上存在上点P(x0 , y0)，,满足条件，即,与,矛盾,故不存在满足条件的P,例4：给定椭圆,圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的 交点为顶点的四边形面积最大，求出相 应四边形各顶点的坐标。,求和这椭,解：已知椭圆为 ，焦点F1(0，2), F2(0，-2)，,设双曲线方程为,由椭圆和双曲线关于坐标,轴的对称性知：以它们的交点构成的四边形为矩形，,其面积,由,当且仅当,即 a2=2时等号成立，,双曲线方程为,四边形四个顶点的坐标是,谢谢,