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1、1 二 维 随 机 变 量,二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度,返回主目录,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),1 二 维 随 机 变 量,定义,返回主目录,注 意 事 项,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,二维随机变量的例子,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,二维随机变量的例子,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,1 二 维 随 机 变 量,定 义,返回主目录,二元分布函数的几
2、何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二 维 随 机 变 量,分布函数具有以下的基本性质：,F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2时， 对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，,对于任意固定的 Y , 对于任意固定的 X ,1 二 维 随 机 变 量,2),1),且,返回主目录,3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x ,
3、y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二 维 随 机 变 量,4),说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,n 维随机变量,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,n维随机变量的分布
4、函数,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,二维离散型随机变量,1 二 维 随 机 变 量,二维离散型随机变量的联合分布律,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,二维离散型随机变量联合分布律的性质,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 1,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 1（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 1（续）,1 二 维 随 机 变 量,例 2,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 2（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 2（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,由题意知，X=i，Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4，
5、且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。,1 二 维 随 机 变 量,设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y ) 的分布律。,例 3,解：,返回主目录,1 二 维 随 机 变 量,X,Y,1 2 3 4,1 2 3 4,例 3（续）,返回主目录,二维离散型随机变量的联合分布函数,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,则称 (
6、X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,二维连续型随机变量,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：,1 二 维 随 机 变 量,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,返回主目录,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 4,1 二 维 随
7、机 变 量,返回主目录,例 4（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 4（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 5,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 5（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 5（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 5（续）,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,例 6,1 二 维 随 机 变 量,x+y=1,x=1,y=2,返回主目录,例 6（续）,1 二 维 随 机 变 量,x+y=1,x=1,y=2,返回主目录,二维均匀分布,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,二维均匀分布几何意义,1 二 维 随 机 变
8、量,返回主目录,二元正态分布,1 二 维 随 机 变 量,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,2 边缘分布,边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,边缘分布的定义,2 边缘分布,边缘分布也称为边沿分布或边际分布,已知联合分布函数求边缘分布函数,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,2 边缘分布,例1,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,已知联合分布律求边缘分布律,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,已知联合
9、分布律求边缘分布律,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,已知联合密度函数求边缘密度函数,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库
10、下载,已知联合密度函数求边缘密度函数,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4,2 边缘分布,y,o,y=x,y=x2,1,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,2 边缘分布,y,o,y=x,y=x2,1,x,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,2 边缘分布,y,o,y=x,y=x2,1,x,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,2 边缘分布,y,o,1,x,来自中国最大的资料库下载,例 5,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例5（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例5（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大
11、的资料库下载,例 6,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,2 边缘分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,结 论 （一）,2 边缘分布,结 论 （二）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,2 边缘分布,结 论 （三）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,条件分布律 条件分布函数 条件概率密度,第三章 随机变量及其分布,3 条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料
12、库下载,一 、离散型随机变量的条件分布律,设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,.,(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,由条件概率公式自然地引出如下定义：,定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j , 若PY= yj 0, 则称,为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X= xi |Y= yj 0
13、；,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,同样对于固定的 i, 若PX= xi0, 则称,为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。,例 1,解：,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,来自中国最大的资料库下载,在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为,当 n=2,3, 时，,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主
14、目录,来自中国最大的资料库下载,在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为,当m=1,2,3, 时，,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,二、条件分布函数,设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 PX= xi=0, PY= yj =0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。,定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， Py-0, 若对于任意实数 x，极限,存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P X x |Y= y ，或记为 FX|Y(x|y).,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录
15、,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,称为在条件Y= y下X的条件分布函数，,来自中国最大的资料库下载,三、连续型随机变量的条件密度函数,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,条件密度函数的性质,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机
16、变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章
17、随机变量及其分布,3条件分布,例 4（续）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,例 5,解：,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,例 5（续）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,3条件分布,例 5（续）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,随机变量的独立性,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,
18、返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,离散型随机变量的独立性,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来
19、自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量的独立性,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资
20、料库下载,例 4,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 5,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 5（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 5（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例6（Buff
21、on投针问题）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,说 明,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 7（正态随机变量的独立性
22、）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 7（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 7（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 7（续）,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,n维随机变量的独立性,第三章 随机变量及其分布,4随机变量的独立性,注意 ： 若 X,Y 独立，f(x),g(y) 是连续函数，则 f(X),g(Y) 也独立。,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,一和的分布,第三章
23、 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,例 1,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 1（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国
24、最大的资料库下载,例 2（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量和的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量和的分布,x + y = z,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量和的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量和的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料
25、库下载,连续型随机变量和的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量和的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,来自中国最大的资料库下载,例 3,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 3（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布
26、,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 4（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 5,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 5（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,结 论,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,结 论,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变
27、量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 6（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的
28、分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,二商的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的分布,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,连续型随机变量商的分布,第
29、三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,补充结论：,（1）,（2）,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 7,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例7（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例7（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,本节的解题步骤,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,三其它的分布
30、,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 8,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 8（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 8（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 9,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 9（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 9（续）,第三章 随机变量及其分布,5
31、 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 10,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 10（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 10（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 10（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 11,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,例 11（续）,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,来自中国最大的资料库下载,1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 要理解随机变量的独立性。 5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机 变量的极值分布和函数的分布。,第三章 小 结,返回主目录,作业：,重点：随机变量的独立性、二维随机变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。,