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1、第八章 应力状态分析和强度理论,81 应力状态的概念 82 二向应力状态的解析法 83 二向应力状态的应力圆 84 三向应力状态简介 85 广义虎克定律 86 复杂应力状态下的变形比能 87 强度理论的概述 88 四种常用强度理论,强度条件是指构件不会失效或者处于安全应力状态的条件。从这些条件可以建立材料的工作应力和极限应力之间的关系。,如果构件的危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，可通过试验确定其极限应力，再除以安全系数得许用应力。,正应力强度条件 ：,拉伸和压缩,弯曲,剪应力强度条件 ：,扭转,剪切,研究目的,对于复杂应力状态，试验本身比较复杂，且工作量繁重，很难直接测得极限应力。,必
2、须研究材料或构件在复杂应力状态下的破坏或失效规律。,在静载荷和室温条件下，大多数材料有两种失效形式: 脆性断裂 塑性屈服,强度理论：根据失效规律提出的关于引起材料破坏主要因素的种种假说或学说。,利用简单应力状态的实验结果建立复杂应力状态的强度条件。,一、应力状态,应力状态在外力作用下，构件内任一点各个方向的应力情况称为该点的应力状态（State of Stress at a Given Point） 。,围绕研究点截取出的无限小六面体。,二、单元体,81 应力状态的概念,例如图示矩形截面梁，为了研究某截面m-m上A、B和C三点的应力状态，取单元体如下：,原始单元体：各侧面上的应力情况为已知,三
3、、主单元体、主平面、主应力,主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。,主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。,主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。,主应力排列规定：按代数值大小，,x,z,sz,四、应力状态分类,例如 前悬臂梁A点,例如 前悬臂梁B、C点,举例：,圆筒形薄壁容器侧壁上的应力状态,有内压力为 的流体，略去流体重量，壁厚 远小于圆筒直径 时，可认为壁内应力沿厚度均匀分布。,容器侧壁上任意一点的应力情况属于二向应力状态,例如，用力P压于钢模内的橡胶圆柱，从E点取一单元体，它为三向应力状态,一、二向应力
4、状态的化简,83 二向应力状态的解析法,二、任意斜截面上的应力,规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理： ，得：,两个解 及 表示两个主平面的位置，且它们相互垂直）,三、正应力极值,（等价于剪应力 ）,说明： 的平面上，正应力为极值，即 截面就是一个主平面，此时的 就是一个主应力。,主平面位置：,x轴与主平面外法 线的夹角,正应力极值：,讨论：,2,1,4,tx,三、剪应力极值,其解 及 ，表示最大及最小剪应力所在的平面也相互垂直。,剪应力极值：,（主剪应力方向可由单元体的主应力方
5、向直观判断）,说明：最大、最小剪应力所在平面与主平面各成 角。,四、互相垂直的两截面上的应力关系,已知,例： 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原 始单元体,求极值应力,铸铁,破坏分析,MPa,200,;,MPa,240,:,=,=,s,s,t,s,低碳钢,例2 已知矩形截面梁某横截面上的弯矩及剪力分别为M10KNm，Q120KN，试绘出下图所示截面上1，2，3，4各点应力状态的单元体，并求其主应力。,解：,第一点：,主应力：,（单向受压应力状态）,第二点：,第三点：,主应力：,（纯剪切应力状态）,主应力：,第四点：,（二向应力状态）,（单向受拉应力状态）,主应力：,对上述方程消去
6、参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,84 二向应力状态的应力圆,应力圆,二、应力圆的画法,点面对应；转向一致；转角二倍。,四、在应力圆上标出极值应力,s1,s2,例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：分析建立坐标系如图,由平衡原理推导得：,其中：,n斜截面外法线方向,一、三向应力状态任一斜截面上的
7、应力公式,84 三向应力状态简介,二、正应力的极值,由 、 的公式可以证明：,应力圆表示与 相平行的各斜截面上的应力 应力圆表示与 相平行的各斜截面上的应力 应力圆表示与 相平行的各斜截面上的应力 与 与三个主应力都不平行的任意斜截面上的应力的K点，必落在三个圆所构成的蓝色区域内,二、最大剪应力,其它两个主应力在xy平面上,解：,三个主平面两两正交,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力应力单位为MPa）。,解：,解：,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。,例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。,解：,一、单轴拉伸下的应力-应变关系,二、纯剪切时
8、的应力-应变关系,85 广义虎克定律,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,在小变形、线弹性范围内，应力与应变成线性关系，所以可用叠加原理来计算第一主应力方向上的线应变。,当 、 、 共同作用时，沿第一主应力方向上的线应变,复杂应力状态应力应变的关系,同理：,广义虎克定理,上述定律只有材料是各向同性，且处于线弹性范围内才成立。,四、体积应变,式中：,体积应变,变形后的体积,变形前的体积,取一主应力单元体，如左图。,忽略高阶微量后得：,若用主应力表示，则：,可见体积应变，只决定于三个主应力之和,令,平均主应力,则,解：,？,1、图示直径d=50mm的橡皮圆柱置于钢模B内，用力加压，已知P=4.6k
9、N，橡胶的泊松比 =0.45，试求橡胶圆柱和钢模之间的压强p。,2、图示微体，已知a=250mm，b=c=150mm，x=-50MPa , y= -40MPa, z=-36MPa , E=200GPa , =0.3 试求： （1）微体各尺寸的改变量a，b ，c （2）体积改变量 V （3）最大剪应力max .,思考题,一、单向应力状态下的比能,86 复杂应力状态下的变形比能,三、体积改变比能与形状改变比能,体积改变比能,形状改变比能或歪形能,只改变体积,只改变形状,一、引子：,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,脆性材料拉断,脆性材料扭断,87 强度理论的概述,脆性材料的强度条
10、件：,混凝土和石料受压破坏,塑性材料的强度条件：,塑性材料受拉,塑性材料受扭,2、组合变形杆将怎样破坏？,能否和单向受力一样通过实验而得？ 实践证明行不通！,多（1）在复杂应力状态下，材料破坏不仅与各个主应力有关，而且和它们之间的比值也有关，实际上，工程中的受力构件其主应力组合有无限多种，无法一一进行实验。 难（2）到目前为止，实现复杂应力状态的试验机及测试手段仅有有限的几种，对于众多的主应力组合，在技术上难以实现。,二、建立强度理论的目的：,解决复杂应力状态下材料破坏的判据和准则,建立相应强度条件， 通常称这些学说和假说为强度理论。,在静载荷和室温条件下，大多数材料有两种破坏失效形式: 脆性
11、断裂 塑性屈服,(1) 判别材料在复杂应力状态下是否破坏的理论；,(2) 解释材料在复杂应力状态下破坏机理的假说。,二、 建立强度理论的依据,破坏原因,单向受力的实验结果,复杂应力状态下的强度问题,一般认为：,(1)脆性材料发生脆性破坏，如铸铁、石材；,(2)塑性材料发生塑性屈服，如低碳钢。,(3) 三向压缩状态下为塑性屈服,(4) 三向拉伸状态下为脆性破坏,（一）、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。,一. 断裂破坏的强度理论,88 四种常用强度理论,1、破坏判据：,2、强度准则：,式中 为单向拉伸的许用应力,3
12、、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。实践证明：此理论对于脆性材料的单向、二向和三向拉伸相当符合。如存在压应力时，只要最大压应力的绝对值不超过拉应力，此理论也能近似使用。,图示铸铁微体，能否用第一强度理论？,(二)、最大拉应变（第二强度）理论： 认为构件的脆断是由最大拉应变max引起的。无论材料是处于单向、二向或三向应力状态，当最大拉应变max达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。,对于单向受力的脆性材料，由实验可知，直到断裂，材料基本符合虎克定律（如图式），即,2、强度准则：由广义胡克定理,3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。实践证明： 此理论对砖石以及最大压应力的绝对值大于拉
13、应力的脆性 材料比较符合,认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。无论材料处于单向、二向或三向应力状态，当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。,1、屈服判据：,二. 屈服破坏的强度理论 （三）、最大剪应力（第三强度）理论：,2、强度准则：,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。由于此公式形式简单，所以工程上普遍适用。其缺点是没有考虑2的影响。,认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。无论材料处于单向、二向或三向应力状态，当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。,1、屈服判据：,2、强度准则,（四）、形状改变比能（第四强度）理论：,3、适用范围：对塑性
14、材料，比第三强度理论与试验结果吻合得更好。,r 称为相当应力。,三.四个强度理论的一致性,四个强度理论可以写成统一的形式,第四强度理论形状改变比能理论,第一强度理论最大拉应力理论,第二强度理论最大拉应变理论,第三强度理论最大剪应力理论,强度理论,相当应力,四、平面应力下强度理论的简化,当 时，,当 时，,五、强度计算的步骤：,解：,是脆性材料，,用第一强度理论判别,此危险点的强度足够,例6 铸铁受力构件危险点处的应力状态如图所示， 他适合用哪个强度理论？已知0.3，40MPa,解：绘制三向应力圆 由三向应力圆可知，三个主应力分别为：,由于最大压应力绝对值大于最大拉应力，可用第二强度理论。,符合
15、强度要求。,解：危险点A的应力状态如图：,例7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。,故，满足强度要求。,例9-1 已知铸铁元件上危险点的应力状态，请校核该点的强度. 已知 =30MPa。,解：针对铸铁元件，选择第一强度理论,max= 1 ,计算主应力,显然,129.28MPa,23.72MPa, 30,max= 1= 29.28MPa = 30MPa,于是,该点满足强度要求。,例9-2 已知应力状态的 和. 写出r3 和 r4的表达式.,解：首先计算主应力,因此,本章结束,（1）强度条件中的 代表单向拉伸时材
16、料的许用应力。 （2）塑性材料抵抗滑移能力通常低于抵抗断裂能力，所以一般用第三或第四强度理论；脆性材料抵抗断裂的能力通常低于抵抗滑移的能力，所以一般用第一或第二强度理论。在实际工程中，对塑性材料而言，究竟采用第三或第四强度理论，这与所论构件的工程设计规范有关。例如，钢梁的强度计算常采用第四强度理论，而对承受内压的钢管，在进行强度计算时常采用第三强度理论。不过在许多情况下，依个人偏爱而定。 （3）实验表明：材料的破坏（或失效）不仅取决于材料是塑性材料或脆性材料，而且与其所处的应力状态、温度和加载速度等因素有关。严格地说，在使用强度理论时，应区分为脆性状态和塑性状态。前者使用第一或第二强度理论，后者使用第三或第四强度理论。,