《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4201.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4201.wps（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1.23.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点) 2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点) 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的 常用方法.(易错点) 基础初探 教材整理 1 两角和与差的余弦公式 阅读教材 P128“”“”思考 以下至 探究 以上内容，完成下列问题. 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C() cos()cos cos sin sin ，R R 两角和的余弦公式 C() cos()cos c
2、os sin sin ，R R cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_. 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900. 【答案】 0 教材整理 2 两角和与差的正弦公式 阅读教材 P128“”探究 以下内容，完成下列问题. 1.公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S() sin()sin cos cos sin ，R R 两角差的正弦 S() sin()sin cos cos sin ，R R 2.重要结论辅助角公式 1 a yasin xbcos x a2b2sin(x)(a，b不同
3、时为 0)，其中 cos ，sin a2b2 b . a2 b2 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的.( ) (2)存在 ，R R，使得 sin()sin sin 成立.( ) (3)对于任意 ，R R，sin()sin sin 都不成立.( ) (4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.( ) 【解析】 (1).根据公式的推导过程可得. (2).当 45，0时，sin()sin sin . (3).当 30，30时，sin()sin sin 成立. (4).因为 sin 54cos 24sin 36sin 24
4、 sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理 3 两角和与差的正切公式 阅读教材 P129“”“探究 以下至 例 3”以上内容，完成下列问题. 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T() tan() tan tan ，k (kZ Z) 2 1tan tan 且 tan tan 1 两角差的正切 T() tan() tan tan ，k (kZ Z) 2 1tan tan 且 tan tan 1 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)存在 ，R R，使 tan()tan tan
5、成立.( ) tan tan (2)对任意 ，R R，tan() 都成立.( ) 1tan tan tan tan (3)tan( ) 等 价 于 tan tan tan( )(1 tan 1tan tan tan ).( ) 【解析】 (1).当 0， 3 时，tan()tan(0 3)tan 0tan ，但一 3 般情况下不成立. 2 (2).两角和的正切公式的适用范围是 ，k (kZ Z). 2 (3).当 k (kZ Z)，k (kZ Z)，k (kZ Z)时，由前一 2 2 2 个式子两边同乘以 1tan tan 可得后一个式子. 【答案】 (1) (2) (3) 小组合作型 灵活应
6、用和、差角公式化简三角函数式 sin 47sin 17cos 30 (1) ( ) cos 17 3 1 A. B. 2 2 1 C. D. 2 3 2 (2)化简求值： 1tan 75 ； 1tan 75 sin(75)cos(45) 3cos(15)； tan 20tan 40 3tan 20tan 40. 【精 彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用. (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值. sin 47sin 17cos 30 【自主解答】 (1) cos 17 sin1730sin 17cos 30 cos 17 sin 17cos 30cos 17sin
7、30sin 17cos 30 cos 17 cos 17sin 30 1 sin 30 . cos 17 2 【答案】 C 3 tan 45tan 75 (2) 原式 1tan 45tan 75 tan(4575)tan 120 3. 原式 3. 设 15， 则原式sin(60)cos(30) 3cos 1 3 3 1 ( cos )( sin ) 3cos 0. sin cos 2 2 2 2 原式0. 原式tan 60(1tan 20tan 40) 3tan 20tan 40 3. 原式 3. 1.公式 T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan ，tan tan (或
8、tan tan )，tan()(或 tan().三者知二可表示出或求出第三个. 1 2.化简过程中注意“1”与“tan ”，“ 3”与“tan ”，“ ”与“cos ”等特殊数 4 3 2 3 与特殊角的函数值之间的转化. 再练一题 1.化简求值： (1)cos 61cos 16sin 61sin 16； (2)sin 13cos 17cos 13sin 17； 1tan 12tan 72 (3) . tan 12tan 72 2 【解】 (1)原式cos(6116)cos 45 . 2 1 (2)原式sin(1317)sin 30 . 2 1tan 12tan 72 1 3 (3)原式 .
9、tan 12tan 72 tan7212 3 给值求值 3 3 3 5 已知 ，0 4 ，cos( )5，sin() ，求 sin() 4 4 4 4 13 的值. 【导学号：00680069】 3 【精彩点拨】 可先考虑拆角，()( )，然后再利用 sin( 4 4 4 )sin()求值. 3 【自主解答】 因为 ，所以 ， 4 4 2 4 4 所以 sin( ) 1cos2( ) . 4 4 5 3 3 又因为 0 ， ， 4 4 4 3 3 12 所以 cos() 1sin2() ， 4 4 13 所以 sin()sin() 3 sin( )( ) 4 4 3 3 sin( )cos()
10、cos( )sin( ) 4 4 4 4 4 5 5 12 3 (13 )(5 ) 5 13 63 . 65 1.本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求 角的关系.如本题中巧用 () 这一关系. 2.常见角的变换为 (1)2()，2()； (2) 2 ( 2)( )， 2 2 ( 2) ( )； 2 (3)( )( ) ()； 4 4 2 (4)( )( ) (). 4 4 2 再练一题 4 3 1 2.已知 cos ， ，tan ， ，)，求 cos(). 5 (， 2 ) 3 ( 2 3 【解】 因为 (， 2 )， 5 4 3 cos ，所以 sin
11、 . 5 5 1 因为 ( ，)，tan ， 2 3 3 10 10 所以 cos ，sin . 10 10 所以 cos()cos cos sin sin 4 3 10 3 10 3 10 (5 )( 10 )(5 ) . 10 10 给值求角 5 10 已知 sin ，sin ，且 ， 为锐角，求 的值. 5 10 【精彩点拨】 sin ，sin 求cos ，cos 求cos 确定的范围求的值 5 【自主解答】 sin ， 为锐角， 5 2 cos 1sin2 5. 5 10 又 sin ， 为锐角， 10 3 cos 1sin2 10. 10 cos()cos cos sin sin 2
12、 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2 又 ，(0， 2)， 0， 因此 . 4 1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者 漏解. 2.求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是 要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值. 再练一题 6 3 2 3.已知 (0， 2)，( ，0)，且 cos() ，sin ，试求角 的大 2 5 10 小. 【解】 (0， 2)，( ，0)，(0，)， 2 3 4 由 cos() ，知 sin() . 5 5 2 7 2 由 sin ，知 cos . 10 1
13、0 sin sin() sin()cos cos()sin 4 7 2 3 2 2 5(10 ) . 5 10 2 又 (0， 2)， . 4 探究共研型 辅助角公式的应用 探 究 1 能 否 将 函 数 y sin x cos x(x R R)化 为 y Asin(x )的 形 式 (| (0， 2) ？ 【提示】 sin xcos x 2( 2 sin x 2 2 2cos x) 2(sin xcos cos xsin 4 4) 2sin(x 4). 探究 2 函数 f(x)sin x 3cos x(xR R)的最大值是多少？ 1 3 【提示】 f(x)sin x 3cos x2( cos
14、 x)2sin(x 3)， sin x 2 2 f(x)的最大值为 2. b 探究 3 如何推导 asin xbcos x a2b2sin(x)(tan a)公式. 【提示】 asin xbcos x a b a 2b2( cos x)， sin x a2b2 a2b2 a b 令 cos ，sin ，则 a2b2 a2b2 7 asin xbcos x a2b2(sin xcos cos xsin ) b a2b2sin(x)(其中 角所在象限由 a，b 的符号确定， 角的值由 tan 确 a b a 定，或由 sin 和 cos 共同确定). a2b2 a2b2 求函数 f(x)3sin(
15、x20)5sin(x80)的最大值. 【精彩点拨】 先将 f(x)化为 asin(x20)bcos(x20)形式，再利用辅助角公式 化为 a2b2sin(x)的形式，即可求得 f(x)的最大值. 【自主解答】 f(x)3sin(x20)5sin(x80) 3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60 11 5 3 sin(x20) cos(x20) 2 2 11 5 3 ( sin(x20) 2 )2(2 )2 7sin(x20)， 11 5 3 其中 cos ，sin ， 14 14 所以 f(x)max7. 1.对于形如 sin cos ， 3sin co
16、s 的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的 关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式. 2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要 本着先整体后局部的基本原则. 再练一题 4.函数 f(x)sin xcos(x 6)的值域为( ) A.2,2 B. 3， 3 C.1,1 D. 3 ， 2 3 2 【解析】 f(x)sin xcos(x 6) 3 1 sin x cos x sin x 2 2 3 3 sin x cos x 2 2 8 3sin(x 6)， 所以函数 f(x)的值域为 3， 3. 故选 B. 【答案】 B 1.化简：sin 2
17、1cos 81cos 21sin 81等于( ) 1 1 A. B. 2 2 3 C. D. 2 3 2 3 【解 析】 原式sin(2181)sin 60 .故选 D. 2 【答案】 D 3 2.已知 是锐角，sin ，则 cos 等于( )【导学号：00680070】 5 ( ) 4 2 2 A. B. 10 10 2 C. D. 5 2 5 3 【解析】 因为 是锐角，sin ， 5 4 所以 cos ， 5 2 4 2 3 2 所以 cos( ) .故选 B. 4 2 5 2 5 10 【答案】 B 3.函数 f(x)sin xcos x，x0， 2的最小值为( ) A.2 B. 3
18、C. 2 D.1 【解析】 f(x) 2sin(x 4)，0x ， 2 2 2 x ， 2 sin(x 4) ， 4 4 4 2 f(x)的最小值为1. 9 【答案】 D 3tan 15 4.计算 _. 1 3tan 15 3tan 15 tan 60tan 15 【解析】 1 3tan 15 1tan 60tan 15 tan 451. 【答案】 1 5 10 5.已知 ， 均为锐角，sin ，cos ，求 . 5 10 5 10 【解】 ， 均为锐角，sin ，cos ， 5 10 3 10 2 5 sin ，cos . 10 5 sin sin ， 0， 2 sin()sin cos cos sin 5 10 2 5 3 10 2 ， . 5 10 5 10 2 4 10