《2018版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案新人教A版选修1_120170719292.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案新人教A版选修1_120170719292.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用自我校对斜率yf(x0)f(x0)(xx0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f(x1)，再由切线过点P(x0，y0)得斜率为，又由y1f(x1)，由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
2、已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.【精彩点拨】(1)(2)【规范解答】(1)因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x6x012)，又因为g(x0)6x06.所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0).将点(0,9)代入，得93x6x0126x6x0
3、，所以3x30，得x01.当x01时，g(1)12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线.由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，
4、所以y9是公切线.综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线.此题直线m恒过点(0，9)是解题的突破口，即若m是f(x)，g(x)的公切线，则切线必过点(0，9).一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.再练一题1.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切
5、线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程. 【导学号：97792054】【解】(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).(3)切线与直线y3垂直，切线的斜率k4.设切点的坐标
6、为(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01，或即切点坐标为(1，14)或(1，18).切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，则f(x)在这个区间上为增函数；如果f(x)0，则f(x)在这个区间上为减函数.应注意：在区间内f(x)0或f(x)0是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件.如果f(x)在某个区间上为增函数，那么f(x)0；如果f(x)在某个区间上为减函数，那么f(x)0.利用导数研究函数单调性的步骤为：(1)求f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0
7、；(3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.已知函数f(x)，x0,1(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a1，函数g(x)x33a2x2a，x0,1，若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围. 【导学号：97792055】【精彩点拨】(1)求f(x)，列表，求单调区间及最值；(2)任意存在型问题，转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.【规范解答】(1)f(x)，令f(x)0，得x或x(舍去).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)0f(x)43当x时，f(x)是减函数；当x时，f(x)是增函数.当x0,1时，f
8、(x)的值域为4，3.(2)对函数g(x)求导，得g(x)3(x2a2).a1，当x0,1时，g(x)3(1a2)0，且g(x)0的根为有限个.当x0,1时，g(x)为减函数.当x0,1时，g(x)g(1)，g(0).又g(1)12a3a2，g(0)2a，即g(x)12a3a2，2a.任给x10,1，f(x1)4，3.存在x00,1，使得g(x0)f(x1)，则12a3a2，2a4，3，即解式得a1或a，解式得a.又a1，a的取值范围为.1.利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f(x)0或f(x)0的解集.2.已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是转化为恒成立问题.再练一
9、题2.已知aR函数f(x)(x2ax)ex(xR).(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围.【解】当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.当f(x)0时，(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x.所以，函数f(x)的单调递增区间为(，).同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(，)和(，).(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增，所以f(x)0在(1,1)上恒成立.又f(x)x2(a2)xaex，即x2(a2)xaex0，注意到ex0，因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(
10、1,1)上恒成立.设yx1，则y10，即yx1在(1,1)上单调递增，则y11，故a.即a的取值范围为.导数与函数的极值(最值)及恒成立问题利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1，求函数f(x)的极值；(2)若a，且当x1,4a时，f(x)a312a恒成立，试确定a的
11、取值范围.【规范解答】(1)当a1时，f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9，由f(x)0得x1或x3.当x1时，f(x)0，当1x3时，f(x)0，因此x1是函数的极大值点，极大值为f(1)6；当1x3时，f(x)0，当x3时，f(x)0，因此x3是函数的极小值点，极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a)，a，当1x3a时，f(x)0；当3ax4a时f(x)0.x1,4a时，f(x)的最小值为f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a.解得a.又a，a.即a的取值范围为.一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的
12、取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.再练一题3.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值4，使其导函数f(x)0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x2,3时，求g(x)f(x)6(m2)x的最大值.【解】(1)由题意知f(x)3ax22bxc3a(x1)(x3)(由题意f(x)0的x的范围(1,3)可知a0)，在(，1)上f(x)0，f(x)是减函数，在(1,3)上f(x)0，f(x)是增函数，在(3，)上f(x)0，f(x)是减函数.因此f(x)在x01处取得极小值4，在x3处取得极大值.解
13、得a1，b6，c9，f(x)x36x29x.则f(x)在x3处取得极大值f(3)0.(2)g(x)3x212x96(m2)x3(x22mx3)，g(x)6x6m0，得xm.当2m3时，g(x)maxg(m)3m29；当m2时，g(x)在2,3上是递减的，g(x)maxg(2)12m21；当m3时，g(x)在2,3上是递增的，g(x)maxg(3)18m36.因此g(x)max导数与不等式问题利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度
14、以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x0，g(x)1e2.【精彩点拨】(3)中要借助于(2)的结论，构造函数.【规范解答】(1)f(x)，由已知，f(1)0，k1.(2)由(1)知，f(x).设k(x)ln x1，则k(x)0，即k(x)在(0，)上是减函数，由k(1)0知，当0x1时，k(x)0，从而f(x)
15、0，当x1时，k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，).(3)由(2)可知，当x1时，g(x)xf(x)01e2，故只需证明g(x)1e2在0x1时成立.当0x1时，ex1，且g(x)0，g(x)1xln xx.设F(x)1xln xx，x(0,1)，则F(x)(ln x2)，当x(0，e2)时，F(x)0，当x(e2,1)时，F(x)0，所以当xe2时，F(x)取得最大值F(e2)1e2.所以g(x)F(x)1e2.综上，对任意x0，g(x)1e2.利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数
16、的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.再练一题4.已知函数f(x)x2aln x(aR)，(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2ln xx3. 【导学号：97792056】【解】(1)f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)因为f(x)
17、x，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调递增区间(，)；递减区间为(0，).(3)证明：设g(x)x3x2ln x，则g(x)2x2x，因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上为增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln xx3.导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值、求函数在区间a，b上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要
18、符合问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，由f(x)0常常仅得到一个根，若能判断出函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.某企业拟建造如图31所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.图31【规范解答】(1)设容
19、器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr.由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0r2.由于c3，所以c20，当r30时，r.令m，则m0.所以y(rm)(r2rmm2).当0m2，即c时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0；当r(m,2)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点.当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点.综上所述，当3c时，建造费用最小时r2；当c时，建造费用最小时r.利用导数解答实际问题的一般步骤1.利用题设中的条件建
20、立目标函数.2.根据题目中所要求解的问题，利用导数解答，通常是通过判断函数的单调性来求最值.再练一题5.张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产需占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2 000，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格).(1)将工厂的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大年利润时的年产量.(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额为y0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中
21、获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？【解】(1)工厂的实际年利润为：W2 000st(t0)，W2 000sts2，当t2时，W取得最大值.所以工厂取得最大年利润的年产量为2吨.(2)设农场净收入为v元，则vst0.002t2.将t2代入上式，得：v，v.又令v0，得s20.当0s0；当s20时，v0，所以s20时，v取得最大值.故在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格为20元.1.函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()【解析】f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B
22、.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.【答案】D2.设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数【解析】由得1x0，故f(x)在(0,1)上为增函数.故选A.【答案】A3.已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处切线方程是_.【解析】当x0时，x0时，f(
23、x)ex11，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线斜率为f(1)2，所以切线方程为y2x.【答案】y2x4.函数f(x)(x2)的最大值为_.【解析】f(x)，f(x)0，函数f(x)在2，)上单调递减，故当x2时，函数f(x)取得最大值2.【答案】25.已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_.【解析】f(x)(2x3)ex，则f(0)3.【答案】36.已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1).切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】17.已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3，则a的值为_.【解析】f(x)aa(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.【答案】38.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.【解析】由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.【答案】y14