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1、1,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,52 平面应力状态下的应变分析,53 电阻应变计法的基本原理,51 概述,54 应变的测量和应力的计算,2,51 概 述,用电测法只能测定构件表面的线应变，应力是根据应变值由胡克定律求出的。所以我们首先研究平面应力状态下的应变分析，然后研究电阻应变片的原理及其应用。,对复杂结构进行应力分析时往往采用理论分析和实验应力分析相结合的方法 。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,实验应力分析的方法，主要有电阻应变计法（电测法）和光弹性法（光测法），本章仅研究电测法。,3,52 平面应力状态下的应变分析,本节研究平面应力状态下，一点处在该平面内的应变随方向而改变
2、的规律。,. 任意方向的应变,设在平面应力状态下的平面内，过O点处有两组坐标系xOy 和xOy ，a 角以逆时针旋转为正，如图a所示。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,4,解:,(1) 求 ea,在图b, c, d中，,(a),第五章 应变分析 电阻应变计法基础,已知：O 点处在 xOy 坐标系内的应变e x, e y ,gxy 。求：O 点处沿x 方向的线应变ea 及在坐标系xOy内的切应变 ga ( 即直角 xOy 的改变量)，在线弹性范围内，可用叠加法进行计算。,5,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,1. 只有正值ex(图b)，设,不动，矩形OAPBOAPB,的伸长量为,(b),O
3、点沿 x 方向的线应变为,(c),6,2. 只有正值ey(图c)，,的伸长量为,（d）,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,沿x 方向的线应变为,(e),7,3. 只有正值gxy(图d)，,的伸长量为,(f),沿 x 方向的线应变为,(g),第五章 应变分析 电阻应变计法基础,8,在ex ,ey ,gxy 同时存在时，沿x 方向的线应变为,或写成,（5-1a）,(5-1b),第五章 应变分析 电阻应变计法基础,9,(2) 求 ga,ga 为直角xOy的改变量，并设第一象限的直角减小为正，设x 和y 的转角分别为ya和ja（图e）,则,由图b,c,d可见，在e x, ey ,gxy同时存在时 x
4、( )的转角为,10,式中第二项为负，是因为仅由ey 产生的 转角为逆时针转（图c）。y（ )的转角ja可用求x的转角ya相同的方法，用几何作图求得，,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(h),示出了仅有x 时( )的转角a1 。注意到y和x轴的夹角(a +/2),把（h）式中的a用(a +/2)来代替求出j更为方便。其值为,图(f),11,(i),在xOy坐标系内的切应变为,或写作,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,12,（5-2）,当已知e x, e y ,gxy时，由（5-1）式求任意方向上的线应变，由（5-2）式求切应变。,. 应变圆,材料力学（）的第七章曾得到,（7-1）,（7-
5、2）,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,13,该两式表示平面应力状态下，一点处的应力状态。也可以用应力圆表示平面应力状态下一点处的应力状态。将式（7-1）,（7-2）和,(5-1),（5-2）,对比后可知，两组公式相似，对应关系为，,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,14,只需以为e横坐标，以 为纵坐标（向下为正），即可作出应变圆。已知：,作出应变圆如图所示。,应变圆中，,半径为,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,。,15,. 主应变的数值和方向,(1) 主平面 主应力,由应变圆可见，主应变为,（5-3）,(2) 沿各主应力方向的线应变称为主应变，依次用e1,e2,e3 表示，且,第五章
6、 应变分析 电阻应变计法基础,切应力等于零的平面。,主平面上的正应力。,。,16,(5-4),x 轴和e1 方向的夹角a0为,（5-5）,由于,所以2a0为正（ ）。借助应变,圆，判断主应变方向更为直观。,将（5-3）,（5-4）和（5-5）与材料力学（）中的,（7-3）,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,17,（7-4）,（7-5）,比较后可知，若ex以代换sx，ey代换sy，gxy /2代换tx，则由材料力学（）的（7-3）,（7-4）,（7-5），可直接得（5-3）,（5-4）和（5-5）式。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,18,例 5-1 已知，ex= 345106，e45=
7、208106 , ey= 149106。试用应变圆求主应变的数值和方向。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,19,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(1) 已知e x, e y ,gxy ，画应变图,按选定的比例尺，由（ex,gxy /2），即（34510-6，11010-6）确定 A 点。,解：,20,由（ey ,-gxy /2）即（-14910-6,-11010-6）确定C点，连接C,A两点，交e 轴与O1 ；以O1为圆心， 为半径画圆，此圆即为所求的应变圆。,由 逆时针转 90至B1点，B1(e 45, g45/2), 过B1作g /2轴的平行线交应变圆与B点；可知：ABB1=45,
8、 CBB1=45， (同弧的圆周角等于其圆心角的一半)。 O1 点为 和 的垂直,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,21,平分线之交点。,(2) 已知 e x, e y ,e45用应变圆求主应变。,1. 按比例尺，由ex,e45,ey 之值分别 作平行于g /2轴的直线La,Lb,Lc。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,因为gxy未知，无法直接确定A,C点，根据应变圆的几何关系，作图方法为,2. 在Lb上任取一点B,过B点分别作与Lb各成45角的线段BA, BC，分别交La ,Lc于A,C两点。,(c),22,4. 以O1为圆心，以 为半径画圆。 A,B,C点的横坐标，分别代表e x,e
9、45, ey。 分别代表主应变e1和e3，角a0 为e1和x轴的夹角。在应变圆上用比例尺量得,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,3. 作 , 的垂直平分线，它们交于O1 点,O1为应变圆的圆心，过O1点作g /2 轴 的垂线，该线为e 轴。,(c),23,53 电阻应变计法的基本原理,. 电阻应变片,图a为丝绕式应变片，用j =0.020.05 mm的康铜丝或镍铬丝绕成栅状，并把金属栅粘固于两层绝缘的薄纸（或塑料薄膜）之间，丝栅两端用直径为0.2 mm左右的镀银铜丝作引线。l 为基线长度（标距），a为宽度。图b为泊式应变片。图,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,c为半导体式应变片。,24,
10、将应变片贴在被测构件的测点处，使其随同构件一起变形。应变片产生变形的同时，其电阻也要发生改变。当应变在一定范围内时，电阻的改变率R/R与弹性线应变l/l之比为一常数，即,（5-7）,以电阻应变片为转换器，把非电量线应变的测量转换成电阻改变率R/R的测量。测出R/R后，由 算出线应变。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,式中，e为标距范围内的平均线应变。常数K称为材料的灵敏因数。R为应变片的电阻，R 为电阻的改变量。,25,由于R很小，必须用由电桥和放大器等组成的电阻应变仪进行测量。,(1) 惠斯顿电桥原理,. 测量原理及电阻应变仪,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,图中输入电压为UAC,输
11、出电压为UBD 。,图（a）,UBD=UAB-UAD=1R1-4R4,由于,得,（5-8）,26,当UBD = 0，即电桥平衡时，得,R1R3- R2R4 = 0,（5-9）,图 (b),第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(2) 电阻应变仪,电阻应变仪主要由测量电桥和读数电桥组成（图b）。读数电桥由精密的可变电阻组成，用旋钮来调节电阻。,设测量电桥的四个桥臂上的电阻均为贴于构件上的电阻应变片，且其,27,R1=R2=R3=R4=R,构件受力前，调节读数电桥的旋钮使输出总电压,U = UBD+U BD= 0,UBD ,U BD为测量电桥和读数电桥的输出电压。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础
12、,初始电阻相等，即,构件受力后，各电阻变为R1R1,R2 R2,R3 R3 , R4 R4 。代入（5-8）式，并注意到(R/R)1，可得测量电桥输出的不平衡电压为,28,把,代入后，得,该电压经放大后使指示仪的指针偏转。,调节读数电桥的旋钮，使其输出一个与UBD等值反向的不平衡电压U BD 使输出的总电压U = 0，指示仪的指针恢复到零位。设旋钮的旋量为eR，eR与读数电桥的输出电压成正比，即,（5-10）,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,U BD =A eR,令,29,设计旋钮刻度，使,，可得,此即为旋钮读数与测量电桥4个应变片的线应变之间的关系。,（5-11）,. 应变测量中的一些问
13、题,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,1. 半桥接线法：测量电桥的R1和R2两臂接上应变片， R3和R4为电阻应变仪内的标准电阻，该两电阻不随构件一起变形，即e3=e40,(1) 测量电桥的接线,e R= e1-e2,则,30,2. 全桥接线法：测量电桥的四个桥臂上均接上应变片。两种接线法的应用见5-4。,(2) 温度补偿,应变片的电阻值随温度而改变，另外，应变片和构件的线膨胀系数不同也要引起应变片电阻的改变。于是测量的应变值中包含温度变化的影响，导致测量误差。采用温度补偿，消除温度的影响。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,31,图a中，R1为工作片，R2为温度补偿片， R2 贴在与构件
14、相同的材料上，并置于与构件相同的温度环境中，把R1,R2分别接在电桥相邻桥臂AB和BC上，设R1和R2由力F 及温度产生的线应变分别为 e1F,e1 t,e2 t。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,则,32,图b中，,式中， 为构件材料的泊松比。这种不单独设补偿片，而消除温度影响的方法，称为自动补偿。因为 ，从而提高了测量的灵敏度。,(3) 灵敏因数调整器的使用,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,33,应变片的K值超过灵敏因数调整器的可调范围，一般可将调整器的指针对准2.00，然后进行修正。,由于,(5-12),式中，K为应变片的灵敏因数值，e 为实际应变值，eR 为应变仪的读数值。,第
15、五章 应变分析 电阻应变计法基础,在同次试验中，应选用K值相同的应变片，并把灵敏因数调整器的指针对准应变片的K值。这样才有eR=e1+e3-e2-e4。若,故,34,54 应变的测量和应力的计算,. 单轴应力状态,试用半桥自动补偿方法，测定图示简支梁m-m截面上a的正应力sa 。材料的弹性模量为E。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,35,a,b 两点均为单轴应力状态，且sb=-sa，eb=-ea。在a,b两点处沿梁的轴线方向分别贴上应变片Ra和Rb。把Ra,Rb分别接入电桥的AB,BC臂（半桥接线法），BC为温度补偿臂（自动补偿）。当Ra=Rb时，有,由胡克定律,. 主应力方向已知的平面应
16、力状态,沿主应力方向贴应变片，测出主应变后，由广义胡克定律求主应力，即,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,36,例 用电测法测量图示圆轴的最大剪应力t及扭转力偶距M。材料的E, 为已知。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(c),37,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(f),(g),(d),(e),解： 圆轴表面的ab线上各点的单元体如图c所示。主应力为：,1. 半桥自动补偿,在ab线上任意一点c处，沿和轴线方向成45方向分别贴上应变片R1和R2（图a,d）。将R1和R2分别接入电桥的AB,BC臂(图e)，BC臂为温度补偿。当R1=R2时，,38,由广义胡克定律,第五章 应变分析 电阻
17、应变计法基础,得,扭转力矩为,2. 全桥自动补偿,39,在ab线上任意一点d处，沿与轴线方向成45方向分别贴上R1,R2,R3,R4 4个应变片（图a,f）因为e3=e1, e2=e4 , 且 e2=e4=-e1。将应变片R1,R2,R3,R4分别接入电桥的AB,BC,CD,DA桥臂上（全桥），BC,DA为温度补偿臂（图g）。当R1=R2R3=R4时,eR=e1+e3-e2-e44e1,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(f),(g),(a),40,由广义胡克定律得,扭转力矩为,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,41,例 52 (1) 用半桥自动补偿测定MZ； (2) 用全桥自动补偿测定M
18、x。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(g),(h),42,解：该题为弯扭组合变形，图a中a,b,c三点的单元体分别如图f,g,h所示。虽然a,b两点为平面应力状态，且主应力方向未知，但在小变形时，t 不产生sa(sb)方向的线应变。所以 sa=Eea， sb=Eeb，且sb=-sa，eb=-ea。c点为纯剪应力状态。可参照以上两例用半桥自动补偿测Mz，全桥自动补偿测Mx 。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(g),(h),43,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,. 主应力方向未知的平面应力状态,(1) 图a所示平面应力状态，当e x, e y ,gxy已知时，可由公式（5-3）,（
19、5-4）,（5-5）求出两个主应变值及其方向。因为gxy难以测量，一般分别测量O点处和x轴分别成aa,ab,ac的三个方向的线应变（图b）。,44,（a）,（b）,（c）,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,由（5-1a）得,联立求解以上三式，求出e x, e y ,gxy后，即可求出主应变。,45,代入（a）,（b）,（c）式中，,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(2) 实际应用中，通常采用45应变花（图c），或 60应变花（图d,e）。,1. 45应变花,，,可得,代入（5-3）,（5-4）,（5-5）可求出两个主 应变值和方向。如教材（g）,（h）,（i）式 所示。,46,2. 60
20、应变花,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,代入（a）,（b）,（c）式中可得,代入（5-3）,（5-4）,（5-5）可得两个主应变值和方 向。如教材（j）（k）（l）式所示。,47,例 53 用应变圆求图a所示O点处的主应变值及方向。图a中，b与a及b与c的夹角均为60，e a , e b ,ec 为已知。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,（a）,(b),解：作图步骤为,1. 绘纵坐标轴g /2，作三条与g /2平行的平行线La,Lb,Lc，其横坐标分别为e a,e b ,ec（按选定的比例尺量取）。,48,2. 过Lb上任一点B,作BA线交La于A，使Lb与BA的夹角为60，过B点作BC交Lc于 C，使Lb与BC的夹角为60。,3. 作 BA,BC的垂直平分线，它们的交点为O1。过O1点作g /2轴的垂线，该线为e 轴。,4. 以O1为圆心，以O1A(O1C)为半径画圆。该圆与e 轴分别交于D1,D2点，与Lb线交于B1点。 D1和D2点的横坐标分别为主应变e1和e2。图中a0为方向b和e1夹角。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,(b),49,图b中，A,B,C三点的横坐标分别代表a,b,c三个方向的线应变。根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，不难验证以上作图方法正确。,第五章 应变分析 电阻应变计法基础,第五章完,(b),