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1、1,3.1 典型随机过程 3.2 随机信号通过线性系统分析 3.3 白噪声通过线性系统 3.4 随机序列通过离散线性系统,3 平稳随机信号通过线性系统,3.1 典型的随机过程,1、白噪声,白噪声的功率谱密度和自相关函数,平稳白噪声功率谱密度：,白噪声样本函数波形,白噪声相关系数：,2、正态随机过程,如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布， 则称该随机过程为正态随机过程。,一维分布,特征函数,设X(t)是正态随机过程，若有 则X(t)称为广义平稳正态过程。,平稳正态过程,性质：,对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价； 不相关与独立等价；,一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的
2、正态过程。,若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此 过程为平稳正态白噪声。满足,例1、设随机过程 ， 其中A、B是两个独立的正态随机变量，且有 ， ， 为常数，求此过程的一维概率密度。,例2、一零均值高斯过程X(t)，其协方差函数为： 求在时刻t1=0、t2=1、t3=2抽样的三维概率密度。,3.2 随机信号通过线性系统分析 微分方程法； 冲击响应法； 频谱法； 3.3 白噪声通过线性系统,1、 冲激响应法,h(t),X(t),Y(t),若X(t)平稳,均值,系统的输出,互相关函数,若X(t)平稳,当输入X(t)为白噪声，系统的输出,系统h(t),X(t),互相关函数 测量,系统辨识结构图
3、,自相关函数,若X(t)平稳,输入输出相关函数关系图,平稳情况,2频谱法,输入输出相关函数关系图,3 平稳性讨论 (1)若输入X(t)平稳，h(t)在(-，+ )存在，则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳； (2)对于物理可实现系统，即当t0时，h(t)=0， 且假定输入X(t)平稳。 若输入从-加入(双侧随机信号),结论：输出平稳，若X(t)遍历，则Y(t)遍历,若输入从t=0时加入，(单侧随机信号),结论：输出不平稳,例1 如图所示的RC电路，输入为零均值的平稳随机过程, 且相关函数为 求输出Y(t)的自相关函数。,思考题： 相互独立的随机电压信号X1(t)和X2(t)施加于 RC网络
4、。电路中电阻无噪，已知 求系统输出的自相关函数和功率谱密度。,3.3 白噪声通过线性系统 白噪声通过积分系统,相关函数：,功率谱密度：,相关时间：,白噪声通过微分系统,功率谱密度：,相关函数：,白噪声通过理想低通系统,|H()|,K0,-,相关函数：,输出功率：,输出功率谱：,理想低通随机过程的自相关函数,理想低通随机信号：,相关时间：,相关系数：,白噪声通过高斯型带通系统,0,输出功率谱：,相关函数：,输出功率：,高斯型带通随机过程的自相关函数,参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。,相关时间：,相关系数：,3.4 随机序列通过离散线性系统 等效噪声带宽 随机序列通过离散线性系统 时间序列模
5、型,1： 噪声等效通能带(等效噪声带宽),0,等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下， 两个系统的输出平均功率相等，且理想系统的增益为 实际系统的最大增益。,对于可实现系统，由帕斯瓦尔定理：,对于带通系统,离散系统,可实现系统,低通,性质： (1)噪声等效通能带只由线性系统特性确定；,(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效通能带 与3dB带宽有确定关系，级数越高，两者越接近。,例1 低通滤波器的单位冲激响应为 求系统噪声等效通能带。,例2离散时间系统的差分方程为 求系统噪声等效通能带。,2: 随机序列通过离散线性系统,系统输出,系统描述,均值:,若X(n)平稳:,相关函数:,若X
6、(n)平稳:,功率谱密度：,若用z变换表示,则,例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为 ，线性系统的单位冲激响应是 求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。,3: 常用时间序列模型,式中X(n)为零均值、方差为2的平稳白噪声，模型称为自回归滑动平均模型，用ARMA(N,r)表示。,1、时间序列模型 许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性 系统所产生的，一般表示式为：,当系数 均为零时，,模型称为自回归模型（Autoregressive），用AR(N)表示。,，若模型系数多项式,的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则AR(N)模型 是平稳的。,当系数 均为零时，,模型称为滑动平均模型(Moving Average)，用MA(r)表示。,，若模型系数多项式,的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则MA(r)模型 是可逆的。,例4 设有如下差分方程描述的离散线性系统， X(n)=aX(n-1)+W(n) 系统如图所示，其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，模型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。,例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统， X(n)=b0W(n)+ b1W(n-1) 其中W(n)为平稳白噪声，方差为2，由MA模型所产生的随机过程称为MA过程，求一阶MA过程的自相关函数和功率谱。,习题： 3.29，3.32,