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1、1,重要结论,矩阵A的初等行(列)变换不改变矩阵的秩, 且不改变其列(行)向量间的线性关系.,(证明略),2,思路之一: 定义法.,(2) 向量组 中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组;,(1) 假定 是某向量组中的 r 个向量, 如果 线性无关, 且向量组中任一向量都可由 线性表示, 则 是向量组的一个极大无关组;,此方法比较烦琐, 较少用,求向量组的极大无关组的方法总结,3,思路之二: 初等行变换法.,(1) 将向量组中的各向量作为矩阵A的各列;,(2) 对A施行初等行变换(注意仅限初等行变换);,(3) 化A为阶梯形, 在每一阶梯中取一列为代表, 则所得向量组即为原向量
2、组得一个极大无关组.,用初等行变换求极大无关组是最基本的方法.,4,思路之三: 利用等价性.,设 为某向量组的一个极大无关组, 则任意 r 个线性无关的部分组均为极大无关组.,5,例1 求下列向量组的一个极大无关组,分析: 按定义向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组.,6,思想:,(i) 通过观察找出一个无关组;,(ii) 往前面找出的无关组中增加一个向量, 若得到新的向量组仍然线性无关, 则得到了新的线性无关组, 否则, 继续考虑下一个向量,(iii) 重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止, 这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组.,7,解:,线性无关.,1)
3、,2),因为 的对应分量不成比例,所以 线性无关.,3),下面考虑向量组,线性相关.,4),下面考虑向量组,设存在一组数 使得,即,8,从而,解得,即,也即,所以 是向量组 的一个极大无关组.,9,例2,考虑向量组,求此向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.,10,解:,用这些向量作为矩阵A的列向量，并对矩阵A作初等行变换,11,可见, 为一个极大无关组.,事实上,均为极大无关组.,12,进一步有,所以有,注: 这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系.,13,分析: 若能证明向量组,例3 试证: 若 n 维单位向量 可以由 n 维向量 线性表示, 则 线性
4、无关.,I:,II:,等价, 则 又 从而,因此, 线性无关.,14,证明:,由于 n 维单位向量 可以由,故向量组,n 维向量 线性表示,又显然有 n 维,向量 可以由 n 维单位向量,线性表示,I:,II:,等价, 则 又 从而,因此, 线性无关.,15,例4 设 为齐次线性方程组 的基础解系, 试判别下述向量组是否仍是的基础解系.,分析: 本题实际上已知 为 的解空间的极大无关组, 要求证明 是否仍是 的解空间的极大无关组. 由于已知极大无关组为三个向量, 所以任意三个线性无关向量均为极大无关组, 这只要证明 与 是否等价即可. 注意: 作为基础解系, 应说明 为解向量.,16,解:,只需证明 线性无关即可,显然 均为 的解,而这又转化为证明 与 等价.,(1),由,知,记为A,17,又,从而,因此秩,(注: ),即 线性相关, 故 不是 的基础解系.,18,(2),由,知,记为B,又,从而,所以矩阵B可逆, 且,19,所以 线性无关,故向量组 与 可以相互线性表示,即向量组 与 等价.,从而秩 秩,故 为 的基础解系.,