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1、第八章 位 移 法,8-2 等截面直杆的转角位移方程,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,8-6 对称性的利用,8-7 有侧移的斜柱刚架,8-8 温度变化时的计算,8-1 概述,8-1 概 述,位移法：先确定某些位移，再推求内力。,图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将结构分解如图b、c。,思路：将结点1的角位移Z1 作为基本未知量，求 出Z1，进而求出各杆 内力。,需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移,
2、8-2 等截面直杆的转角位移方程,图a所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。取基本结构如图b。,X3对梁的弯矩无影响，可不考虑，只需求解X1、X2。,符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正； AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。,力法典型方程为,作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。,由图e可得,AB弦转角，顺时针方向为正。,解典型方程得,8-2 等截面直杆的转角位移方程,MAB=X1，MBA=X2，可得,固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。,当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为,8-2 等截面直杆的转角位移方
3、程,对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有,8-2 等截面直杆的转角位移方程,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,基本未知量：结点的角位移、线位移。,1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架 独立结点角位移数目为2。,2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。,确定独立的结点线位移另种一方法,把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点铰结体系，如图b。,此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰
4、结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水平支座链杆，体系成为几何不变的。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。,图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。,这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2） 结点线位移数目=2,加上
5、4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。,8-3 位移法的基本未知量和基本结构,图a所示刚架，结点线位移数目=2,图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二者的位移完全一致了。,附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷载引起的）,原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0,基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,可得,系数,自由项,
6、由a图，取结点B为隔离体，由MB=0，可得r11=3i+3i=6i,由b图，取结点B为隔离体，由MB=0，可得R1P=-24kNm,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将 r11和R1P代入方程求出,结构的最后弯矩图由叠加法绘制,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。,由图c、d、e可得,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,位移法典型方程,基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。,原结构的静力平衡条件,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,为求系数和自由项，绘弯矩图如图a
7、、b、c。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,将系数和自由项代入典型方程并求解，可得,结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：,内力图校核同力法，略。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,位移法计算步骤,（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加 联系得到 基本结构。 （2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。 （5）绘制最后弯矩图：用叠加法。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程
8、如下,主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。,典型方程,副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。,每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩结构的刚度系数； 位移法典型方程结构的刚度方程；位移法刚度法。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。,解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。,典型方程为,绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,代入典型方程解得,由,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,例8-2 求图a所示刚
9、架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。,解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。,典型方程为,设,则,8-4 位移法的典型方程及计算步骤,绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。,代入典型方程解得,由,8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。,如图b，由结点1的力矩平衡条件M1=0,如图c，由隔离体的投影平衡条件Fx=0,设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得,由平衡条件可得,Z1、Z2,各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。,8-5 直接由平衡条件建立位移法基
10、本方程,8-6 对称性的利用,图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基本未知量，如图c。,图b利用对称性简化为图d。,图c利用对称性简化为图e。,用位移法求解,用力法求解,8-6 对称性的利用,图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。,8-6 对称性的利用,例8-3 试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的EI=常数。,解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图b，基本体系如图c,典型方程为,8-6 对称性的利用,绘弯矩
11、图d、e、g。,解得,由,8-7 有侧移的斜柱刚架,图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。,B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。,C点：BC杆平移至BC，CC=BB。 C在垂直BC方向上运动， 作CC垂直于BC。 同理，作CC垂直于DC。 CC与CC的交点C即C位移后的位置。,在图b中任选一点O为不动点极点，AD与O重合。 作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD的垂线，得交点C。,AB：代表AB杆的相对线位移 BC：代表BC杆的相对线位移 CD：代表CD杆的相对线位移,8-7 有侧移的斜柱刚架,例8-4 试用位移法计算图a所示刚架。,解： 基本体系
12、如图b所示。,典型方程为,及 MP图如图c、d,8-7 有侧移的斜柱刚架,附加链杆上反力的计算如图g。,图如图f,计算可得,由MO=0有,8-7 有侧移的斜柱刚架,将系数和自由项代入典型方程，可得,叠加原理绘弯矩图,8-8 温度变化时的计算,例8-5 绘图a所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的EI=常数，截 面为矩形，其高度h=l/10，材料的线膨胀系数为。,解： 刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移Z2。基本体系 如图b所示。,典型方程为,8-8 温度变化时的计算,及 图如图c、d,8-8 温度变化时的计算,为便于计算，将杆件两侧的温度变化t1和t2对杆轴线分为正、反对称两部分，如下图。,平均温度变化,温度变化之差,8-8 温度变化时的计算,（1）平均温度变化如图e,可求得各杆两端相对线位移为,查表得各杆端相固端弯矩为,8-8 温度变化时的计算,（2）温度变化之差如图f,此时各杆并不伸长或缩短，查表计算各杆固端弯矩为,总的固端弯矩为（1）+（2）,8-8 温度变化时的计算,可绘Mt图如图g。,可求得,将系数和自由项代入典型方程解得,叠加原理绘弯矩图,M图,