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1、1,第七章 投资组合的选择,确定最优风险资产组合 资本配置决策,2,一、确定最优风险资产组合 证券选择决策,非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降低，因此投资者会根据资产的期望收益与方差情况，来选择组合中的风险资产，并考虑自己的风险厌恶程度 最优风险资产组合:决定每种风险资产占风险资产组合的比例，从而达到投资效用最大化。,3,4,托宾的收益风险理论,托宾(James Tobin)是著名的经济学家，1955-56年，发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。 他指出，投资者首先在
2、风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，他还得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。即投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和证券的选择。,5,二、资本配置决策,投资者首先面临的最基本的决策 在投资组合中，风险资产占多大比重，无风险资产占多大的比重 最优资本配置决策？,6,假定某风险资产p的期望收益率为E(rP) =9% ，标准差为P =21%，无风险资产F的收益率为rf =3% ，令投资者在风险资产P的投资比例为y，无风险资产的投资比例则为1-y，则整个资产组合C的期望收益率为： E(rc)=y E(rP) +(1-y)rf= 3%+y(9%-3%)
3、= 3+6y 整个资产组合C的标准差为： C=yp=21y,资本配置线的形成,7,根据C=yp=21y，有y=c/21，将y代入 E(rc)=3+6y 得到 E(rc)=3+(9-3/21)c 从式中可看出，此资产组合的期望收益率是标准差的线性函数。 可以画出有关E(rc)和c的几何图形,资本配置线的形成,8,E(rc) E(rp)=9% p rf=3% F 0 21% c,资本配置线（CAL）的形成图,9,线段FP称为资本配置线：表示对所有投资者来说（一系列不同y值产生的）所有可能选择的无风险资产与风险资产构成的资产组合。（不同的y值决定线段上的不同位置） 资本配置线是无风险资产与风险资产构
4、成的资产组合的可行集，也是其有效集。 图中看出： 斜率为正，即(9-3）/21；斜率越大，单位风险的风险溢价越大，越优 (9-3）为风险溢价 两个极端点：如果选择将全部投资投向风险资产（y=1），期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产(y=0)，期望收益与标准差就是E(rf)=3%，f=0 如果y=0.5，可以在直线上表示为F与P的中点。,资本配置线的意义,10,根据公式：E(rc)=rf +yE(rp)-rf C=yp 将两式变形约去y，得 E(rc)=rf +E(rp)-rf C p 无风险资产（组合）和风险资产（组合）所构成的资产组合的CAL也
5、一样。（风险资产组合点是风险资产组合有效集上的一点）,资本配置线的数学表达式,11,E(rc) E(rp) p rf F c 0 p,资本配置线（CAL）的几何图,12,E(rp)=9% p (rf)=3% F 0 21% ,最优资本配置的确定,确定最优资本配置的程序是首先确定资本配置线，然后沿这条线找到与效用无差异曲线相切的点。,13,此时需要在给定可行集中（资本配置线上）选出一个最优组合（y值），这个决策包含收益与风险之间的抉择，同时投资者的风险厌恶各不相同。因此，确定通过选择最优配置y来使效用最大化？(y是投资者在风险资产P的投资比例) 公式推导如下： 根据前面的公式，我们可以得到以下两
6、式： E(rc)=rf +yE(rp)-rf 2C=y22p 将两式代入效用函数，有 U=E(rc)-0.005A2C =rf+yE(rp)-rf-0.005Ay22p 求一阶导数U=E(rp)-rf0.01Ay2p 令导数为0，有： y*=E(rp)-rf/0.01A2p,最优资本配置推导,14,还用上述例子中的数据。假定风险厌恶系数A为3，求此投资者的最优配置y*的值。有 y*=9%-3%/(0.013212)=45.35% 根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。 整个资产组合的 E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72% C=45.35%2
7、1%=9.52%,最优资本配置举例,15,16,E(r) I1 B（股票） I2 N I3 A（债券) I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组合,总结：最优风险资产组合的确定,17,E(rp)=9% p (rf)=3% F 0 21% ,总结：最优资本配置的确定,18,三种资产的最优资产组合 股票+债券+国库券,如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一是债券A，一是股票B；一种是年收益率为5%的无风险短期国库券。有关数据如下：,19,E(r) B（股票） N A（债券） ,风险资产组合有效集,20,E(rc) E(rp) p rf F c 0 p,无风险资产与风险资产构成的资
8、产组合的有效集,21,D,A,B,E,CAL(A),CAL(B),5,8,13,5,10,15,20,25,由于B的斜率大于A，B更优。 最高的CAL线？ 因此，两条线相切时，切点所对应的组合P最优。,22,资本配置线 E(rp) p rf 资产组合可行集 0 ,最优投资组合的确定,23,三种资产最优值的公式推导,目的是找出wA，wB值，以获得斜率最大的资本配置线（最高的CAL线）因此，目标函数就是斜率，即SP， Sp=E(rp)-rf/p 约束条件：只要满足权重和=1，即wA + wB =1 ，有 Max Sp=E(rp)-rf/p 将两种风险资产组合的期望收益和标准差 E(rp)= wA
9、E(rA)+ wB E(rB) P2= wA 2A2+ wB 2B2+2 wA wB ABAB代入目标函数，有 MaxSp=wAE(rA)+ wB E(rB)-rf/ 用1-wA代替wB ，对其求导，令导数为零，有 wA=E(rA)-rfB2-E(rB)-rfCov(rA,rB)/E(rA)-rfB2+E(rB)-rfA2-E(rA)-rf+E(rB)-rfCov(rA,rB),24,最优值的计算,把上例中的数据代入，得到的解为 这个最优资产组合的资本配置线的斜率为 SP=(11-5)/14.2=0.42,25,最优值的计算（2）,上一章我们得出了给定风险资产组合情况下最优资本配置的解， 即根
10、据投资者风险厌恶系数计算投资于风险资产组合的最优比例。 风险资产的最优比例公式为：y*=E(rp)-rf/ 0.01A2p， 假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为,投资者将把其财富的74.39% 投资于风险资产组合 P ， 25.61%投资于国库券,26,最优值的计算（3）,之前求得风险资产组合P由40% 债券和60% 股票构成。 则在债券上的财富百分比例是： ywA=.40.7439=.2976, or 29.76%. 在股票上的财富百分比例是： ywB= .60.7439=.4463 or 44.63%. （ 25.61%投资于国库券）,27,最优总资产组合比例图,Portfo
11、lio P 74%,28,E 资本配置线 最优资本配置 P 最优风险资产组合 C rf 机会集合线 0 ,三资产最优组合的几何表达,29,小结,当投资者既投资于无风险的国库券，又投资于有风险的股票与债券时，投资者的最优资本配置和资产组合点为投资者的资本配置线上分别与无差异曲线和既定相关系数的风险资产有效集的切点。 前一切点对应的是风险资产与无风险资产的比例，后一切点对应的是风险资产中股票与债券的比例。 一般化为多种风险资产也是可行的,30,公式1 公式2 E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE) p2=w2DD2+ w2EE2+2wDwEDEDE 公式3 y*=E(rp)-rf/0.01A2
12、p,31,确定最优总资产组合步骤 （计算每种资产的最优投资比例）,1.确定各种证券的收益特征值：预期收益、方差和相关系数 2.建立最优风险资产组合： 计算最优风险资产组合P中的各风险资产所占比例 ： 根据上页公式1 计算出Wi的值； 计算风险资产组合P的参数值：由求得权重Wi和上页公式2 ，计算出风险资产组合P的预期收益、方差值； 3.确定最优资本配置：在风险资产组合与无风险资产之间配置 计算风险资产组合P的投资比例y*： 根据公式3，求出y*值； 计算每种风险资产和无风险资产的投资比例： Wi * y*和1-y* 。,32,三种资产的最优资产组合习题,如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险
13、资产，一是股票，一是债券；一种是年收益率为5%的无风险短期国库券。有关数据如下：,试求：（鉴于计算繁琐，列出算式即可） 1、最优风险资产组合中各风险资产所占比例？ 2、假定该投资者的A=4，求其最优资本配置？ 3、最优资产组合中各资产所占投资比例？,33,资本配置习题,假设你管理一种预期回报率为18%和标准差为28%的风险资产组合基金，短期国债利率为8%； 你的一委托人决定将其资产组合的70%投入到你的基金中，另外30%投入到短期国债： 1、那么你的委托人的资产组合的预期收益率与标准差各是多少？ 2、在预期收益与标准差的图表上画出你的资产组合的资本配置线(CAL)，并求出其斜率？ 3、在该资本配置线上标出你的委托人的位置。 4、假设你的委托人风险厌恶程度为A=3.5，则 a.应将占总投资额的多少（y）投入到你的风险资产组合中，以达到其最佳资产组合？ b.你的委托人的最佳资产组合的预期回报率与标准差各是多少？,