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1、第九章 定积分,首页,1 定积分的概念,2 牛顿-莱布尼茨公式,3 可积条件,4 定积分的性质,5 (一) 微积分学基本定理,5 (二) 定积分的计算,1 定积分的概念,首页,一、问题提出,二、定积分的定义,现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.,但也有紧密的联系.,不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.,定积分则是某种特殊和式的极限，,首页,一、问题提出,求不定积分是求导数的逆运算，,它们之间既有本质的区别，,设f为闭区间a,b上的连续函数，,直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形（图9-1），,下面讨论曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形面积的基础）.,首页,1.曲边梯形
2、的面积,1) 曲边梯形定义,且f(x)0.,由曲线y=f(x)，,称为曲边梯形.,圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.,首页,2）曲边梯形面积计算,在初等数学里，,现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（图9-2）.,首页,其具体步骤如下：,分割,在区间a,b内任取n-1个分点，,它们依次为,这些点把a,b分割成n个小区间,i=1,2,n., i=1,2,，n-1,再用直线,把曲边梯形分割成n个小曲边梯形,它在每个小区间上的值变化不大,用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，,这n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S
3、的近似值,即,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.,当分割a,b的分点较多,在每个小区间xi-1,xi上任取一点,(1),首页,近似代替并求和,并且求n个小矩形面积之和.,，作以,为高，,xi-1,xi为底的小矩形.,又分割得较细密时,由于f为连续函数,于是,注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间a,b的分割，,可以想象，,的选取无关，,则就把此常数定义为曲边梯形的面积S.,（i=1,2,，n）的取法有关.,如果此和式与某一常数无限接近，,又与所有中间点,而且与分点xi和中间点,且对a,b无限细分时，,首页,取极限,由近似值过渡到精确值,当分点无限增多，,它连续依赖于质点所在
4、位置的坐标x,xa,b为一连续函数,并设F处处平行于x轴(如图9-3).,则它对质点所作的功为W=F(b-a).,F为变力,如果F为常力,设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b,首页,2变力所作的功,现在的问题是,即F=F(x),此时F对质点所作的功W又该如何算?,力F所作的功就近似等于,F(x)F( ), xxi-1,xi，i=1,2,，n.,类似于求曲边梯形面积那样,故在很小的一段位移区间上F(x)可以近似地看作一常量.,若（2）式右边的和式与某一常数无限接近，,则就把此常数定义作为变力所作的功W.,首页,由假设F(x)为一连续函数,把a,b细分为n个小区间xi-1,xi,xi= xi-
5、xi-1,i=1,2,n；,并在每个小区间上任取一点，,就有,于是,质点从xi-1位移到xi时,从而,(2),同样地，,对a,b作无限细分时，,上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.,首页,总结,另一个是求变力作功的力学问题，,在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，,解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”.,这就是产生定积分概念的背景.,就随之而确定；,可用来反映a,b被分割的细密程度.,具有同一细度,分割T一旦给出，,因此,的分割T却有无限多个.,首页,二、定积分的定义,定义1,设闭区间a,b内有n-1个点，,依次为
6、,它们把a,b分成n个小区间i=xi-1, xi, i=1,2,，n.,这些分点或这些闭子区间构成对a,b的一个分割，,记为,小区间xi的长度为xi=xi-xi-1,并记,称为分割T的模.,注,由于,另外，,但是，,对于a,b的一个分割,又与所选取的点集,任取点,有关.,首页,定义2,设f是定义在a,b上的一个函数.,i=1,2,n,并作和式,称此和式为函数f在a,b上的一个积分和，,也称黎曼和.,注,显然，,积分和既与分割T有关，,J是一个确定的实数.,使得对a,b的任何分割T，,，只要,以及在其上任意选取的点集,，总存在某一正数,若对任给的正数,数J称为f在a,b上的定积分或黎曼积分，,a
7、,b分别称为这个定积分的下限和上限.,首页,定义3,设f是定义在a,b的一个函数，,，就有,则称函数f在区间a,b上可积或黎曼可积；,记作,（3）,其中，,f 称为被积函数，,x称为积分变量，,a,b称为积分区间，,首页,以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有关的几点补充注释.,注1,把定积分定义的,说法和函数极限的,说法相对照，,便会发现两者有相似的陈述方式，,因此我们也常用极限符号来表达定积分，,即把它写作,(4),每一个,这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：,时必定同时有,首页,然而，,在函数极限,中
8、，对每一个变量x来说，,f(x)的值是唯一确定的；,而对于积分和的极限而言，,并不唯一对应积分和的一个值.,注2,一般不能用,因为,来代替,时未必有,但,则该函数在所论区间上是不可积的.,唯一重要的是分割的细度,首页,注3,极限(3)的存在，,与分割T的形式无关，,与,的选择也无关；,当,足够小时，,总能使积分和与某一确定的数J无限接近.,注4,由注3，,若能构造出两个不同方式的积分和，,使它们的极限不相同，,即D(x)在0,1上不可积.,由有理数和无理数在实数中的稠密性，,当取,取法不同(全取有理数或全取无理数).,首页,例,狄利克雷函数,它在0,1上不可积，,因为对任意T,全为有理数时，,
9、得,当取全为无理数时，,得,所以不论,多么小,只要点集,积分和有不同极限.,则对每个特殊分割T以及点集,首页,一般地，,f在a,b上不可积：,以及,虽然,但,注5,反之，,若f在a,b上可积，,的特殊选择，,所得的积分和当,时，,必以,为极限.,在a,b上形成的曲边梯形面积为,稍后（定理9.3）就会知道连续函数是可积的，,质点从a位移到b所作的功为,首页,注6,可积性是函数的又一分析性质.,于是本节开头两个实例都可用定积分记号表示：,1）连续曲线,2）在连续变力F（x）作用下，,是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，,对于一般非定号的f(x)而言，,对于a,b上的连续函数f，,定积分（3）的几何意义就是该曲边梯形的面积；,首页,注7,（定积分的几何意义）,由上述1）看到，,当f(x)0，,xa,b时，,当f(x)0，,xa,b时，,这时,不妨称之为“负面积”；,定积分J的值则是曲线y=f(x)在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和.,而与积分变量所用的符号无关，,为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）.,它的值只与被积函数f和积分区间a,b有关，,即,首页,注8,定积分作为积分和的极限，,例1,求在区间0,1上，,以抛物线,首页,解,由注3，,因,在0,1上连续，,故所求面积为,并取,则有,