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1、20172017 年春季期 6 6 月月考试题 高一数学 试卷说明：本试卷分 卷和 卷， 卷为试题（选择题和客观题），学生自已保存， 卷一般 为答题卷，考试结束只交 卷。 一、选择题（本大题共 1212小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目的要求） 1设 a+b0，且 b0，则（ ） Ab2a2ab Bb2a2ab Ca2abb2 Da2abb2 2在ABC中，若 a=2，b=2 ，A=30，则 B 为（ ） A60 B60或 120 C30 D30或 150 3若直线 l1：x+a2y+6=0，l2：（a2）x+3ay+2a=0，若 l1l2则实数 a 的值为
2、（ ） A1 或 3 B0 或 3 C1 或 0 D1 或 3 或 0 4 九章算术是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1 千年，在九章算 术中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则 该鳖臑的外接球的表面积为（ ） A200 B50 C100 D 5已知数列an前 n 项和为 ，则 S15+S22S31的 值是（ ） A57 B37 C16 D57 1 6在ABC中，B= ，AB=2，D 为 AB中点，BCD的面积为 ， 则 AC等于（ ） A2 B C D 7在正项等比数列an中，已知 a3a5=64，则 a1+a7的最小值为（ ） A64
3、 B32 C16 D8 8关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+），则关于 x 的不等式（ax+b）（x3）0 的 解集是（ ） A（ ，1）（3，+） B（1，3） C（1，3） D（ ，1）（3，+） 9下列各式中最小值为 2 的是（ ） A B + C2x+ Dcosx+ 10设 a，b 是两条直线， 是两个平面，则下列 4 组条件中：a ，b，； a，b，；a ，b，；a，b，能推得 ab 的条件有（ ）组 A1 B2 C3 D4 11圆 x2+y2+4x2y1=0 上存在两点关于直线 ax2by+2=0（a0，b0）对称，则 的 最小值为（ ） A8 B9 C16 D18 1
4、2数列an满足 a1=1，且 an+1=a1+an+n（nN*）， 则 等于（ ） A B C D 二、填空题( (每小题 5 5 分，共 2020分) ) 13an是等差数列，a3=6，其前 9 项和 S9=90，则经过（5，a5）与（7，a7）两点的直线的斜 率为_ 2 14记不等式 所表示的平面区域为 D，若对任意（x0，y0）D，不等式 x02y0+c 0 恒成立，则 c 的取值范围是_ 15如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 GH，MN是异面直线的 图形的序号为_ 16在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，若 a= ，A= ，则 b
5、+c的最大值 为_ 三、解答题（17 题 10分，其余每题 12 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4 （1）求an和bn的通项公式； （2）设 cn=an+bn，求数列cn的前 n 项和 18已知 a、b、c 分别是ABC 的三个内角 A、B、C 的对边 （1）若ABC面积 SABC= ，c=2，A=60，求 a、b 的值； （2）若 a=ccosB，且 b=csinA，试判断ABC的形状 19在ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且向量 =（sinA，sinB）， =（cos
6、B，cosA）， 满足 =sin2C （1）求角 C 的大小； （2）若 sinA，s inC，sinB成等差数列，且 ，求边 c 的长 3 20在数列an中，设 f（n）=an，且 f（n）满足 f（n+1）2f（n）=2n（nN*），且 a1=1 （1）设 ，证明数列bn为等差数列； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 21在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a= ，b=3， sinB+sinA=2 （1） 求角 A 的大小； （2） 求ABC 的面积 22在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a，b，c 成等比数列， ，求 的
7、值； （2）若 A，B，C 成等差数列，且 b=2，设 A=，ABC 的周长为 l，求 l=f（）的最大值 4 高一数学 6 月月考答案 1，D 解：a+b0，且 b0 a0，|a|b|，ab 由不等式的基本性质得： a2abb2 2，B 解：由正弦定理可知 = ， sinB= = B（0，180） B=60或 120 3，C 解：设 ， A2=a2，B2=3a，C2=2a 由 ， 得 ， 解得 a1=0，a2=1，a=3 代入验证得，a1=0，a2=1 若 l1l2则实数 a 的值为1 或 0 4，B 解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形， 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展
8、为长方体，也外接与球， 它的对角线的长为球的直径： =5 该三棱锥的外接球的表面积为： =50， 5A 解： ， S15=37+（3151）=23，S22=311=33，S31=315+（3311）=47， S15+S22S31=233347=57 6，B 解：由题意可知在BCD 中，B= ，AD=1， BCD 的面积 S= BCBDsinB= BC = ， 5 解得 BC=3，在ABC中由余弦定理可得： AC2=AB2+BC22ABBCcosB=22+32223 =7， AC= ， 7，C 解：数列an是等比数列，且 a3a5=64， 由等比数列的性质得：a1a7=a3a5=64， a1+a
9、7 a1+a7的最小值是 16 8，A 解：关于 x 的不等式 axb0 的解集是（1，+）， 关于 x 的不等式（ax+b）（x3）0 可化为（x+1）（x3）0， x1 或 x3 关于 x 的不等式（ax+b）（x3）0 的解集是x|x1 或 x3 故选 A 9，C 解：由题意， A： = 2，当且仅当 即 x2=3“时取 =“，显然 x 无 实数解，所以 A 不正确； B：若 ab0 时，则 ，即 0，所以 B 不正确； C： ，当且仅当 x=0“时，取 =”，所以 C 正确 D：当 cos0 时，其最小值小于 0，所以 D 不正确 10，C 解：b，过 b 与 相交的直线 cb，若 c
10、，则结论成立，否则不成立； 在 内作直线 c 垂直于 ， 的交线，c，a，ac，b， bc，ab，故结论成立； b，b，a ，ab，故结论成立； a，a，b，过 b 与 相交的直线 cb，ac，ab，故 结论成立 11，B 解：由圆的对称性可得，直线 ax2by+2=0 必过圆心（2，1），所以 a+b=1 所以 ，当且仅当 ，即 2a=b 时取等号， 12，A 解：an+1=a1+an+n（nN*），a1=1 6 an+1an=n+1， an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1 =n+（n1）+2+1= = =2 则 = + + =2 = 13，2 解：an是等差数列且 a
11、3=6 及 S9=90， 设此数列的首项为 a1，公差为 d，可以得到： ； 解可得： ， 有等差数列的通项公式可以得到：a5=a1+4d=2+42=10，a7=a1+6d=2+62=14， （5，a5）即（5，10）， （7，a7）即（7，14）； 有斜率公式得斜率为 14，（ ，1 解：由已知得到可行域如图：由图可知， 对任意（x0，y0）D，不等式 x02y0+c0 恒成立， 即 cx+2y 恒成立，即 c（x+2y）min， 当直线 z=x+2y经过图中 A（1，0）时 z 最小为1， 所以 c1； 15， 解：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内 ”一点的直线与平面内不过该点
12、的直线是异面直线 根据异面直线的判定定理可知：在图中，直线 GH、MN是异面直线； 在图 中，由 G、M 均为棱的中点可知：GHMN； 在图中，G、M 均为棱的中点，四边形 GMNH为梯形，则 GH 与 MN相交 16，2 解：由正弦定理可得： = = =2， b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin 7 =2sinB+2 cosB+ =3sinB+ cosB =2 sin 2 ，当且仅当 B= 时取等号 b+c 的最大值为 2 17已知数列an满足 a1=4，an+1=2an （1）求数列an的前 n 项和 Sn； （2）设等差数列bn满足 b7=a3，b15=a4，求数列bn的
13、前 n 项和 Tn 17，解：a1=4，由 an+1=2an，知数列an是公比为 2 的等比数列， 则 （1）Sn= =2n+24； （2）设等差 数列bn的公差为 d，由 b7=a3=16，b15=a4=32， 得 d= =2，b1=4 bn=b1+（n1）d=4+2（n1）=2n+2 则 18在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c，C= ，且 sinB=2sinAcos（A+B） （1）证明：b2=2a2； （2）若ABC的面积是 1，求边 c 18，（1）证明：sinB=2sinAcos（A+B），b=2a（cosC），b=2a ，b2=2a2 （2）解：S= = ab
14、=1，化为 ab=2 联立 ，解得 a= ，b=2 =10， 解得 c= 19已知关于 x 的不等式 ax2+（1a）x10 （1）当 a=2 时，求不等式的解集 （2）当 a1 时求不等式的解集 19，解 （1）原不等式即（x1）（ax+1）0，当 a=2 时，即（x1）（2x+1）0， 8 求得 x ，或 x1，故不等式的解集为x|x ，或 x1 （2）二次项系数含有参数，因此对 a 在 0 点处分开讨论 若 a0，则原不等式 ax2+（1a）x10 等价于（x1）（ax+1）0 其对应方程的根为 与 1 又因为 a1，则当 a=0 时，原不等式为 x10， 所以原不等式的解集为x|x1；
15、 当 a0 时， 1，所以原不等式的解集为x|x ，或 x1； 当1a0 时， 1，所以原不等式的解集为x|1x 20已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an=2Sn+1（nN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn=（2n1） an，求数列bn的前 n 项和 Tn 20，解：（1）当 n=1 时，a1=2S1+1=2a1+1，解得 a1=1 当 n2 时，an=2Sn+1，an1=2Sn1+1，两式相减得 anan1=2an，化简得 an=an1， 所以数列an是首项为1，公比为1 的等比数列， 可得 （2）由（ ）得 ， 当 n 为偶数时，bn1+bn=2， ； 当 n
16、为奇数时，n+1 为偶数，Tn=Tn+1bn+1=（n+1）（2n+1）=n 所以数列bn的前 n 项和 21在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c （1）若 sinC+sin（BA）=sin2A，试判断ABC 的形状 （2）若 acosC+ asinCbc=0求角 A； 21，解：（1）由题意得：sinC+sin（BA）=sin2A 得到 sin（A+B）+sin（BA）=sin2A=2sinAcoA 即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=2sinAcoA 所以有：sinBcosA=sinAcosA，（10 分） 当 cosA=0时，
17、 ，ABC为直角三角形（12 分） 9 当 cosA0 时，得 sinB=sinA，由正弦定理得 a=b， 所以，ABC 为等腰三角形（14 分） （2）ABC中 ，acosC+ asinCbc=0， 利用正弦定理可得 sinAcosC+ sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC， 化简可得 sinAcosA=1，sin（A30）= ， A30=30，A=60 22如图，已知三棱锥 ABPC 中，APPC，ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为 正三角形 （1）求证：DM平面 APC； （2）求证：平面 ABC平面 APC； （3）若 BC=4，
18、AB=20，求三棱锥 DBCM的体积 22，证明：（1）由已知得，MD是ABP的中位线 MDAPMD 面 APC，AP 面 APC MD面 APC； （2）PMB为正三角形，D 为 PB 的中点 MDPB，APPB 又APPC，PBPC=P AP面 PBC（6 分）BC 面 PBCAPBC 又BCAC，ACAP=ABC面 APC， BC 面 ABC平面 ABC平面 APC； （3）由题意可知，三棱锥 ABPC中，APPC，ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形 MD面 PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5 ，PB=10，PC= =2 ， MD 是三棱锥 DBCM 的高，SBCD= =2 ， 10 11