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1、第一章 半导体中电子状态,(二)量子力学初步,第一朵乌云出现在光的波动理论上， 第二朵乌云出现在关于能量均分的麦克斯韦-玻尔兹曼理论上,世纪之交的1900年，经典物理学辉煌的大厦已近完成。物理学泰斗开尔文爵士在物理学大会的演讲中宣布：“There is nothing new to be discovered in physics now. All that remains is more and more precise measurement.”，同时，他却敏锐注意到“two small, puzzling clouds remained on the horizon”。这“两朵地平线上的
2、乌云”，,一、量子力学基本原理,1、能量量子化原理 2、波粒二象性原理 3、不确定性原理,能量量子化（Energy Quanta）,光电效应实验 在恒定光强的照射下，光电子的最大动能随着光频率呈线性变化；低于某极限频率将不会产生光电子。,经典物理学 只要光的强度足够大，电子就可以克服材料的功函数从表面发射出去，而该过程与照射光的频率无关；,量子力学 1900年Plank提出了加热物理表面发出的热辐射是不连续的假设，即量子的提出；E=h 1905年Einstein提出了光波也是由分立的粒子组成的假设；这种粒子化的能量叫光子， E=h,波粒二象性（Wave-Particle Duality）,19
3、27年Davisson and Germer 实验证明了电子的波动性。,1924年de Broglie提出了存在物质波的假设 光子的动量：P=h/ 德布罗意波长： =h/p,不确定原理（The Uncertainty Principle）,1927年Heisenberg 提出不确定原理 共轭变量：粒子的坐标与动量、能量与时间； 不确定关系式：,既然不确定原理的一个结论是无法确定一个电子的准确坐标，我们就将其替代为确定某个坐标位置可能发现电子的概率； 概率密度函数,“提出一个问题往往比解决一个问题重要。因为解决一个问题也许仅仅是一个数学或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要创造性的想象力，而
4、且标志着科学的真正进步。”,爱因斯坦,二、薛定谔波动方程,一维非相对论的薛定谔波动方程,上式的解为：,是一个与时间无关的函数,边界条件,三、薛定谔波动方程的应用,1、 自由空间中的电子,与位置有关的函数为：,而与时间有关的函数为：,整个波动方程的结果是：,该结果是一个行波，说明自由空间中的粒子运动表现为行波。,假设某一时刻，有一个沿+x方向运动的粒子，则系数B为0，则该行波的表达式可写为：,其中k为波数,加上方向，k为波矢,可以说明：具有明确动量定义的自由粒子在空间任意位置出现的概率相等，这个结论与海森堡的不确定原理是一致的，即准确的动量对应不确定的位置。,2、 无限深势阱,波函数=0,波函数
5、=0,V(X)=0,X=0: X=a:,Ka=n时上式成立，其中n为正整数，n=1,2,3。 n 为主量子数。 有,有,最终，可得与时间无关的波的表达式,该结果是一个驻波表达式，说明无限深势阱中粒子的运动是驻波。,波函数必须连续（边界条件）,无限深势阱中粒子的波函数为：,K是分立的，相应的粒子的能量也只能是分立值。这个结论意味着粒子能量的量子化，也就是说，粒子的能量只能是特定的分立值。,注意：随着能量的增加，在任意给定坐标值出发现粒子的概率会渐趋一致。,（a）前四级能量,（b）对应的波函数,（c）对应的概率函数,第一章 半导体中电子状态,(三)固体量子力学初步,1、 一维单晶材料中的电子,（a
6、）独立的单原子势函数,（b）近距原子交叠的势函数,（c）一维单晶的最终势函数,克龙尼克潘纳模型的一维周期性势函数,与时间有关的函数为：,与位置有关的函数为：,布洛赫函数,周期为a+b,波动函数的全解=与时间有关的与位置有关的,上式意义：一个被调幅的行波,感兴趣的： 在一维单晶材料中电子 的能量状态及特征,1、0xa v(x)=0,2、-bx0 v(x)=v0,系数A、B、C、D可由边界条件建立关系式：,当且仅当其系数行列式为零时方程有非零解。,其结果为：,进一步简化：,其中,注意：上式并不是薛定谔波动方程的解，但却给出了薛定谔波动方程有一个解的条件。,进一步理解薛定谔方程的本质,* V0=0,
7、V0=0,自由粒子的E-k关系抛物线曲线,* V0=定值,V0 P ,设,感兴趣的： 在一维单晶材料中电子的能量状态及特征，并不关心波函数具体的表达式,2、 允带与禁带,允带,允带,允带,（a）导带电子、价带电子 在空间结构中所处的位置,（b）导带电子、价带电子在能带结构中所处位置示意图,3、 导带与价带,第一章 半导体中电子状态,(四) 有效质量、空穴,-当半导体上存在外加电场的时候，需要考虑电子同时在周期性势场中和外电场中的运动规律,4.1 有效质量,有效质量,4.2 有效质量的数学推导,4.2 有效质量的数学推导,引入电子有效质量 mn* 后，半导体中电子所受的外力与加速度的关系和牛顿第
8、二运动定律相似，即有效质量代换电子惯性质量m0。 有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，是的在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。特别是mn*可以直接由实验测定，因而可以很方便地解决电子的运动规律。,4.3 有效质量的意义,电子有效质量,4.4 空穴,空穴,4.4 空穴,4.4 空穴,4.4 空穴,f=m n*a=-q E,考虑导带底的电子,然而价带顶电子的有效质量m n*是负值，所以有,a=-q E/- m n* = q E/ m n* = q E/ m p*,再考虑价带顶的电子,f=m n*a=-q E,f=- m n* a=-q E,a=-q E/ m n*,空穴的有效质量,（a）绝缘体（宽禁带）；（b）半导体（窄禁带）；（c）金属（窄禁带，导带部分填充）；（d）金属（能带图重叠）阴影代表能带填充,4.5 导体、半导体、绝缘体,