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1、 三、应用 1. 作图题 作二阶曲线上的点 作切线 4.2 4.2 PascalPascal定理与定理与BrianchonBrianchon定理定理 2. 证明题证明共线点, 共点线问题 例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形, 且 ABCD=P, CDEF=Q, DE AF=L, AFBC=M, BCDE=N, EFAB=R.求 证: PL,MQ,RN共点. 证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用 Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论. 例4. 若两个三点形ABC和ABC的对应顶 点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非
2、对应边交于 D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条 二次曲线上. 证明. 应用Desargues定理于ABC和ABC, 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定 理的逆定理, 即得结论. 4.2 4.2 PascalPascal定理与定理与BrianchonBrianchon定理定理 例5. 如图, 三点形ABC内接于二阶曲线, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形 ABC. 求证：AA, BB, CC共点. 证明. 由利用Pascal定理的极限情况定理 4.12知, 三点形ABC与ABC的对应边交点 共线, 据Desargues透视定理得结论. 4.2 4.2 Pascal
3、Pascal定理与定理与BrianchonBrianchon定理定理 例6. 如上题图及条件. 求证：A(BC,AC) = B(AC,BA) = C(CA,CB) = -1. 提示：利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考). 例7. (P.116, Ex.6)设A,B,C,D为二阶曲线 上四个定点, P,Q为上的动点. PADC=X, PBQD=Y. 求证XY过定点. 做不出！必定题目有问题！ 改正： 将PADC=X 改为 PAQC=X. 考察六点形APBCQD, 由Pascal定理, XY经过定点ADBC. 4.3 4.3 配极变换配极变换 一、极点与极线 在二次曲线理论中十分重要, 二次
4、曲线的大部分重要性质均 与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化. 设 1. 引入 定义4.6 两点P, Q关于共轭. (如图) 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一 条直线Sp=0. 证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与 : S=0的交点M(pi+qi)满足 设其两根为1, 2. 则交点为Mj( pi+ jqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)= 1 1/ 2=1 1+ 2=0 将qi改为流动坐标xi, 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0. 4.3 4.3 配极变换配极变换 一、极点与极线 1. 引入 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.
5、推论4.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即 注2. P在上, 则Spp=0, 由推论4.5, 规定：上的点关于自共轭. 注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式. 2. 极点与极线 定义4.7 对于点P, 若则称P关于的 共轭点轨迹p 切线p 为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点. 注. 由定义4.7及推论4.5, 有 定义4.6: 相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点. 4.3 4.3 配极变换配极变换 一、极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反 之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 证明 只要证后
6、半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于的极点. 设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与 Sp=0为同一直线, 即 2. 极点与极线 即 4.3 4.3 配极变换配极变换 一、极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反 之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 展开上式, 得 因为|aij|0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在. (4.17)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组. 2. 极点与极线 4.3 4.3 配极变换配极变换 一、极点
7、与极线 3. 极点与极线的计算 (1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0. (2). 已知uui, 求极点, 将ui代入(4.17), 解出(pi). (注：在实际 计算时, 可取=1, 见教材, 例4.11) 注：(4.17)是一个非奇异线性变换, 是由 : S=0通过关于它的 极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射. 定义4.8 相互通过对方极点的直线称为关于的共轭直线. 注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线ppi, qqi关于 : S=0共轭Tpq=0 根据推论4.5, 可以对偶地给出下列定义 4.3 4.3 配极变换配极变换 二、配极变换 1.
8、 配极变换 定义4.9 称由 决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 : S=0 的配极变换. 注2. 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换. 注3. 配极变换是异素变换, 是一个双射. 注1. (4.18)表示点x与直线u是关于 : S=0的极点极线关系. 另 一种写法为. 4.3 4.3 配极变换配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质. 定理4.14(配极原则)点P关于 的极线p通过点Q点Q关于的 极线q通过点P. 定理4.14(配极原则) 直线p关 于的极点P在直线q上直线q 关于的极点Q在直线p上. 证明. (左边)设
9、 : S=0, P(pi), Q(qi). 则P的极线Sp= 0 过点Q Spq= 0 Sqp= 0 Q的极线Sq过点P. 对偶地, 可得右边. 4.3 4.3 配极变换配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 推论4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点 ；两直线交点的极线为此二直线极点的连线. 推论4.8 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 推论4.9 关于非退化二阶曲线的配极变换使得点列对应于线 束, 线束对应于点列；图形对应于其对偶图形. 推论4.10 关于非退化二阶曲线的配极变换使得共线四点的 交比等于其对应共点四直线的交比. 因此, 配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个
10、射影 对应. 综上 ： 非退化二阶曲线配极变换二维异素射影变换 二维异素射影变换对偶变换 从而配极原则特殊的对偶原则 4.3 4.3 配极变换配极变换 二、配极变换 2. 自极三点形(应用性极强的重要概念) 定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每 边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形. 定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点 形是关于的一个自极三点形. 证明：如图, 设完全四点形ABCD 内接于非退化二阶曲线, PQR为其对 边三点形. 设QR交一组对边AD, BC于点E, F. 则由完全四点形的调和性有 于是点E, F均为点P关于共轭
11、点, 即QR为P关于的极线. 同理, RP, PQ为Q, R关于的极线. 所以, PQR为关于的一个自极三点形. 4.3 4.3 配极变换配极变换 二、配极变换 2. 自极三点形(应用性极强的重要概念) 定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每 边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形. 定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点 形是关于的一个自极三点形. 注1. 自极三点形的任一顶点不在上. 注2. 自极三点形恰有一个顶点在的 “内部”. 注3. 自极三点形任意两顶点相互共轭; 任意两边相互共轭. 例1. 给定不在上的一点P(pi), 任求的
12、一个自极三点形PQR. 解. (i) 求P(pi)的极线p： Sp=0. (ii) 在p上任取不属于的一点Q(qi), 求Q的极线q： Sq=0. (iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为的一个自极三点形. 4.3 4.3 配极变换配极变换 3. 配极变换的基本应用 (1). 几何证明题灵活运用配极原则以及自极三点形等概念 (2). 极点极线作图 例2. 已知非退化二阶曲线及不在上一 点P, 求作P关于的极线p. 例3. 已知非退化二阶曲线以及一直线 p, 求作p关于的极点P. 作法. 在p上任取不在上两相异点Q,R, 利 用上例, 作Q,R关于的极线q,r. 则qr=P. 例4. 已知非退化二阶曲线及外一点P, 过P求作的两切线. 作法一. 利用例2, 设p交于E,F, 连PE, PF即 可. 作法二. 如图. 过P任作三割线, 可得切线. 一、极点与极线二、配极变换 1. 配极变换2. 自极三点形 今日作业P.122, 1(2), 2(1), 3(1) The Class is over. Goodbye!