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1、第1章 导数及其应用 本章总结,知识体系网络,专题探究精讲,利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点注意区分“曲线在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”,【思路点拨】 求出直线l的方程与yx3联立，求出公共点，由两点间的距离公式证明,【名师点评】 利用导数研究曲线的切线问题，务必要注意所给点是否在曲线上，若该点在曲线上，则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率；若所给点不在曲线上，则应先设出切点坐标，再结合两点连线的斜率公式建立联系求解,利用导数的符号判断单调性是导数的几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它充分体现了数形结合思想在利用导数讨论函数的单调区间时，首先
2、要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间,【思路点拨】 先求f(x)的定义域，再求f(x)，令f(x)0(0)确定单调区间,【名师点评】 本题易忽略定义域,1点是极值点的充分条件是在该点两侧的导数异号,点是极值点的必要条件是在该点的导数为0. 2利用函数的导数求极值和最值主要有两类题型：一类是告诉具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤求解；另一类是告诉极值或最值，求参数的值,已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值，讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值 【思路点拨】 要讨论f(1)、f(1)是极大值还是极小值，需求
3、出f(x)的解析式，然后判断在x1,x1附近导函数f(x)的符号变化情况,由上表可知f(1)是f(x)的极大值，f(1)是f(x)的极小值 【名师点评】 本题主要考查对极值的理解和求极值的方法,一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题，这是等价转化思想的重要应用,已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求实数a的取值范围 【思路点拨】 要求a的取值范围，由条件转化为f(x)0在R上恒成立问题 【解】 由题意知，f(x)3ax26x1. (1)当f(x)0(xR)时，f(x)是减函数 3ax26x10(xR)a0且3612a0a3.
4、,【名师点评】 利用导数研究参数的取值范围时，要准确找出单调区间，然后再利用函数的有关知识解决,用定积分求某些平面图形的面积是定积分的一个重要应用 一般来说，利用定积分求平面图形面积的步骤基本如下： (1)根据已知条件作出区域草图； (2)通过图形直接判断或解联立方程组，求出曲线交点，确定积分上限和下限； (3)确定被积函数； (4)根据图形的形状用定积分计算所求区域的面积,【思路点拨】 如图，求0，上图形的面积有两种思路 思路1：把所求的平面图形拆成三部分S1，S2，S3，其中S1和S3是对称的,只需求出其中一个的面积，S2是一个矩形的面积，易求； 思路2：先求S4，然后用曲线和x轴围成的图形的面积减去S4，即为所求,【名师点评】 巧妙地利用图形的对称性、周期性、或将图形分割，化整为零，或利用间接法求解都是常用的简化手法,导数作为工具，应用广泛，许多有关方程、不等式、数列、几何的问题都可转化为函数问题，运用导数处理,【思路点拨】 认真审题，根据题意列出函数关系式，然后利用导数求最值,【名师点评】 本题是以分段函数给出的函数解析式，要注意对x10时函数值情况的讨论,