《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．5 1．5.3 反证法和放缩法 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章 1．5 1．5.3 反证法和放缩法 Word版含解析.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 15.3 反证法和放缩法 对应学生用书P21 读教材填要点 1反证法 首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐 步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明 假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法 2放缩法 在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简， 达到证明目的，这种方法称为放缩法 小问题大思维 1用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能
2、要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理， 且必须根据这一条件进行论证 ； 否则， 仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾， 有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的 2运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中 含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小 ； 反之，如果把分母缩小，则相应 分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注
3、意不等式的变化情况，可 以与相应的函数相联系， 以达到判断大小的目的， 这些都是我们在证明中的常用方法与技巧， 也是放缩法中的主要形式 对应学生用书P21 用反证法证明否定性结论 例 1 设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，求证 ： 4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a) 这四个数不可能都大于 1. 思路点拨 本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考虑采用反证法从反面入手解决 精解详析 假设 4a(1b)1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，则有 a(1b) ，b(1c) ， 1 4 1
4、4 c(1d) ，d(1a) . 1 4 1 4 ， ，a(1b) 1 2 b(1c) 1 2 ， .c(1d) 1 2 d(1a) 1 2 又，a(1b) a(1b) 2 b(1c) b(1c) 2 ，c(1d) c(1d) 2 d(1a) d(1a) 2 ， ， a1b 2 1 2 b1c 2 1 2 ， . c1d 2 1 2 d1a 2 1 2 将上面各式相加得 22，矛盾 4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于 1. (1)当证明的结论中含有“不是” ， “不都” ， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因 为此类问题的反面比较具体 (2)用反证法
5、证明不等式时， 推出的矛盾有三种表现形式与已知相矛盾， 与假设矛盾， 与显然成立的事实相矛盾 1已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2. (1)求数列an的通项公式； (2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 解：(1)当 n1 时，a1S12a12，则 a11. 又 anSn2，所以 an1Sn12， 两式相减得 an1 an， 1 2 所以an是首项为 1，公比为 的等比数列， 1 2 所以 an. 1 2n1 (2)反证法 ： 假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为 ap1， aq1， ar1(p0，且(x1)2(y1)2(z1)0 abc0 这与 abc0
6、矛盾 因此，a，b，c 中至少有一个大于 0. (1)在证明中含有“至少” 、 “至多” 、 “最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命 题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显 然的事实矛盾，也可以自相矛盾 (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件， 因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾 2实数 a，b，c，d 满足 abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d 中至少有一个 是负数 证明：假设 a，b，c，d 都是非负数， 即 a0，b0，c0，d0， 则 1(ab)(cd)(acbd)(a
7、dbc)acbd. 这与已知中 acbd1 矛盾， 原假设错误， 故 a，b，c，d 中至少有一个是负数. 用放缩法证明不等式 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 3 求证： 12 (nN*且 n2) 3 2 1 n1 1 22 1 n2 1 n 思路点拨 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间 是一个和的形式， 但我们不能利用求和公式或其他方法求和， 因此可考虑将分母适当放大或 缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式 精解详析 k(k1)k2k(k1)， . 1 k(k1) 1 k2 1 k(k1) 即 (kN且 k2) 1 k 1 k1 1 k
8、2 1 k1 1 k 分别令 k2,3，n 得 1 ， ， 1 2 1 3 1 22 1 2 1 3 1 4 1 32 1 2 1 3 ，将这些不等式相加得 1 n 1 n1 1 n2 1 n1 1 n 1 ， 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 2 1 2 1 3 1 n1 1 n 即 1 . 1 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n 1 111 . 1 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n 即 12 (nN且 n2)成立 3 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的
9、传递性进行变换，即欲证 ab，可换成证 ac 且 cb，欲证 a1 DM 与 1 大小关系不定 解析：2101210,2102210，2111210， M 1 210 1 2101 1 2102 1 2111 2)，则( ) 1 a2 Apq Bp0， 1 a2 p224，而 q(a2)24， 由 a2，可得 qq. 答案：A 二、填空题 5 给出下列两种说法 ： 已知 p3q32， 求证 pq2， 用反证法证明时， 可假设 pq 2；已知 a，bR，|a|b|2，所以错误；对 于，其假设正确 答案： 6 用反证法证明 “已知平面上有 n(n3)个点， 其中任意两点的距离最大为 d， 距离为
10、d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为 n 条”时，假设的内容为 _ 解析：对“至多”的否定应当是“至少” ，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的 假设应为“直径的数目至少为 n1 条” 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案：直径的数目至少为 n1 条 7A1与(nN)的大小关系是_ 1 2 1 3 1 n n 解析：A 111 + n nnn 项 . 1 1 1 2 1 3 1 n n n n 答案：An 8设 a0，b0，M，N，则 M 与 N 的大小关系是_ ab ab2 a a2 b b2 解析：a0，b0， N a a2 b b2 a ab2 b ab
11、2 M. ab ab2 M1 且 y(2z)1 且 z(2x)1 均成立， 则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1. 由于 0x2xyy2y2yzz2z2zxx2 (xyz) 3 2 证明：x2xyy2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (x y 2) 23 4y 2 (x y 2) 2 |x |x . y 2 y 2 同理可得：y ，y2yzz2 z 2 z .z2zxx2 x 2 由于 x、y、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得： (xyz)x2xyy2y2yzz2z2zxx2 (x y 2) (y z 2) (z x 2) 3 2 11设数列
12、an的前 n 项和为 Sn，a11，Snnan2n(n1) (1)求数列an的通项公式 an； (2)设数列的前 n 项和为 Tn， 1 anan1 求证： Tn . 1 5 1 4 解：(1)由 Snnan2n(n1)得 an1Sn1Sn(n1)an1nan4n， 即 an1an4. 数列an是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， an4n3. (2)证明：Tn 1 a1a2 1 a2a3 1 anan1 1 1 5 1 5 9 1 9 13 1 (4n3) (4n1) 1 4(1 1 5 1 5 1 9 1 9 1 13 1 4n3 1 4n1) . 1 4(1 1 4n1) 1 4 又易知 Tn单调递增，故 TnT1 ， 1 5 得 Tn . 1 5 1 4