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1、9.6 双曲线 大一轮复习讲义 第九章 平面解析几何 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做_ _. 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在. ZHISHISHULIZHISHISHULI 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双
2、曲线 的焦距 2a|F1F2| 标准方程 图形 性质 范围_ 对称性对称轴：_ 对称中心：_ 顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) 2.双曲线的标准方程和几何性质 xa或xa，yRxR，ya或ya 坐标轴原点 标准方程 图形 性质 范围_ 对称性对称轴：_ 对称中心：_ 顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) 2.双曲线的标准方程和几何性质 xa或xa，yRxR，ya或ya 坐标轴原点 性质 渐近线_ 离心率 e ，其中c_ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ， 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| ；
3、a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2 (ca0，cb0) (1，) 2a 2b a2b2 【概念方法微思考】 1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为 双曲线吗？为什么？ 提示 不一定. 当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A0，B0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0，b0，二者没 有大小要求，若ab0，ab0，00，解得m
4、20). 求双曲线标准方程的方法 1.定义法 根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程， 常用的关系有： (1)c2a2b2； (2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. 思维升华 2.待定系数法 (1)一般步骤 判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两 个坐标轴都有可能； 设：根据中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； 列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组； 解：求解得到方程. (2)常见设法 跟踪训练2 (1)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线 C2上的点到椭圆C1的两个焦
5、点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方 程为_. 解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)， 设曲线C2上的一点P， 则|PF1|PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3. 可得a2b29. 由可得a24，b25. 题型三 双曲线的几何性质 命题点1 与渐近线有关的问题 多维探究多维探究 解析 如图所示，连接OA，OB， 则C(a，0)，F(c，0). 由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称， 因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60. 因为FA与圆O切于点A，所以OAFA， 在RtAOF中，AFO90AOF906030， 所以|O
6、F|2|OA|，即c2a， 命题点2 求离心率的值(或范围) 解析 设O为坐标原点，由题意可得，PF2x轴，OQPF2， 所以Q为PF1的中点，易知F2(c，0)， 由已知得A，B，F三点共线，且AFOB. 又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|. 则c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e210， 1.求双曲线的渐近线的方法 思维升华 2.求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 解析 由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c， 故PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2. 由双曲线的定义可得|PF1|
7、PF2|2a，则|PF1|2a|PF2|， 所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2， 整理得(|PF2|a)22c2a2. 又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a， 所以|PF2|a2a， 解析 因为ABF2为等边三角形， 所以不妨设|AB|BF2|AF2|m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a， 由ABF260，得F1BF2120， 在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos 120， 得c27a2，则e27， 高频
8、小考点 GAOPINXIAOKAODIANGAOPINXIAOKAODIAN 离心率问题 离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点， 这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定 的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离 心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法. 解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B， 则四边形AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4，a2. 解析 由对称性不妨设点P在第一象限
9、，如图， 由题意设PF1F2的内切圆切三边于G，D，E三点， 则|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|. 又|PF1|PF2|2a，则|GF1|EF2|DF1|DF2|2a， 设D(x0，0)，则x0c(cx0)2a，即x0a， 所以切点D为双曲线的右顶点， 整理得4c24ac5a20，则4e24e50， 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上， 即该双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0).故选B. 12345678910111213141516 123456789101112131
10、41516 12345678910111213141516 12345678910111213141516 a22b216， 由可得a24，b26， 12345678910111213141516 4.设F1，F2分别为双曲线 1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P 交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO| |MT|等于 A.4 B.3 C.2 D.1 12345678910111213141516 12345678910111213141516 A.3 B.2 C.3 D.2 12345678910111213141516 |PF1|2|PF2
11、|， 由双曲线的定义知|PF1|PF2|2， |PF1|4，|PF2|2， 又|F1F2|4， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 由题可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|， 当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故选B. 12345678910111213141516 7.已知离心率为 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1， F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若 16，则双曲线的实轴长是 A.32 B.16 C.84 D.4 2 OMF S 12345678910111
12、213141516 所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 2 OMF S 12345678910111213141516 12345678910111213141516 由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点， 又知b2c2a2，所以c24(c2a2)， 12345678910111213141516 9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为 则该双曲线的标准方程为 _，渐近线方程为_. 12345678910111213141516 4 10.已知F1，F2分别是双曲线x2 1(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一 象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双
13、曲线的右支于点B，则 F1AB的面积等于_. 12345678910111213141516 解析 由题意知a1， 由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2， |AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|. 由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|， |BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245， ABF190， BAF1为等腰直角三角形. 1 F AB S 12345678910111213141516 (0，2) 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于
14、x轴对称， 又APQ的一个内角为60， PAF30，PFA120，|AF|PF|ca， |PF1|3ac， 在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP， 即3c2ac4a20，即3e2e40， 技能提升练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q， 如图，连接MS，MT，MF1，MQ， 则|F1T|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径. 由|AS|AQ|，|BT|BQ|， 得|AF1|AQ|SF1
15、|TF1|BF1|BQ|， 又|AF1|AF2|BF1|BF2|， Q与F2重合， |SF1|AF1|AF2|2a， |MF2|2a，即(xc)2y24a2， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 14.如图，已知F1，F2分别是双曲线x2 1(b0)的左、右焦点，过点F1的直 线与圆x2y21相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B| |AB|，求b的值. 12345678910111213141516 解 方法一 因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义， 得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2， 连接OT
16、，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b， 化简得b64b55b44b340， 得(b22b2)(b42b33b22b2)0， 而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20， 12345678910111213141516 方法二 因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义， 得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2， 连接AF2，则|AF2|2|AF1|4. 连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b， 所以c232b，又在双曲线中，c21b2， 拓展冲刺练 12345678910111213141516 123456
17、78910111213141516 解析 方法一 当A在第一象限时，如图1， 设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N， 则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|， 又|AF1|AF2|2a， 即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a， |F1Q|F2N|2a， |F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a， |F2P|ca， P为双曲线的右顶点， 同理，BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点， 12345678910111213141516 连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2. 连接O1F
18、2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B， O1F2O290， RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2， |O1F2|2|O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|， O2O1F230， 12345678910111213141516 则O1F2P60，AF2P120， 12345678910111213141516 方法二 当A在第一象限时，如图2， 设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N， 则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|， 又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a
19、， |F1Q|F2N|2a， |F1F2|F2P|F2N|2a， 即2c2|F2P|2a，|F2P|ca， P为双曲线的右顶点，同理， BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P， 则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2. 12345678910111213141516 设O2切BF2于点H，连接O1N，O2H， 则在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2， 作O2TO1N于点T，则|O1T|r1r22r2， 故在RtO1O2T中，O2O1T60， 12345678910111213141516 在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1 c2(2c)22c2ccos 603c2， 12345678910111213141516 因为直线PF2的倾斜角为120， 12345678910111213141516 整理得c48c2a24a40，即e48e240， 12345678910111213141516