《通用版2020版高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版20190313379.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通用版2020版高考数学大一轮复习第6讲函数的奇偶性与周期性学案理新人教A版20190313379.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第 6 讲 函数的奇偶性与周期性第 6 讲 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 偶函数奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都 有 ,那么函数 f(x)是偶函 数 都有 ,那么函数f(x)是奇函数 图像特征 关于 对称 关于 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最 小正周期. 常用结论 1.奇
2、(偶)函数定义的等价形式: 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数. 2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=,则T=2|a|; 1 f(x) (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)
3、的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称; a + b 2 (3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称;( a + b 2 ,0) (4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+
4、f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点对称.( a + b 2 , c 2) 题组一 常识题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1. 教材改编 函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)= +|x|中,偶函数的个数 1 x 是 . 2. 教材改编 若奇函数f(x)在区间a,b上是减函数,则它在-b,-a上是 函数;若 偶函数f(x)在区间a,b上是增函数,则它在-b,-a上是 函数. 3. 教材改编 已知f(x)为奇函数,当x0 时,f(x)=-1,则f(-2)= . x 4. 教材改编 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x0,1时
5、,f(x)=log4(x2+4),则 f(2019)= . 题组二 常错题 索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周 期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域. 5.函数f(x)=是 函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”) lg(1 - x2) |x + 3| - 3 6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线 对称;若函数y=g(x+b) 是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点 成中心对称. 7.已知定义在 R 上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(2)=2,则f(2018)= . (x + 3 2) 8.设函数f
6、(x)是定义在 R 上的奇函数,且当x0 时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为 f(x)= . 探究点一 函数奇偶性及其延伸 微点 1 函数奇偶性的判断 例 1 (1) 2018杭州模拟 设函数f(x)=+b(a0 且a1),则函数f(x)的奇偶性 2 ax- 1 ( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.与a无关,且与b无关 B.与a有关,且与b有关 C.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 ( ) f(x)=;f(x)=log3(+x); 1 - x 1 + x x2+ 1 f(x)=f(x)=x2+cos x.
7、 x2- 1,x 0; A.1,1B.2,2 C.3,1D.2,1 总结反思 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的 等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 微点 2 函数奇偶性的应用 例 2 (1) 2018北京东城区模拟 若函数f(x)=在区间-3,5上的最大 3e|x - 1|- sin(x - 1) e|x - 1| 值、最小值分别为p,q,则p+q的值为(
8、 ) A.2 B.1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C.6 D.3 (2)已知f(x)为定义在 R 上的奇函数,当x0 时,f(x)=2x+m,则f(-3)= . 总结反思 利用函数奇偶性可以解决以下问题: (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0 得到关于参数的恒等式, 由 系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像. (5)求特殊值:利用奇函数的
9、最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值. 微点 3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题) 例 3 (1) 2018广东七校联考 已知定义域为 R 的函数f(x)在2,+)上为增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是( ) A.f(0)f(1) B.f(0)f(2) C.f(1)f(2) D.f(1)f(3) (2)设函数f(x)在1,+)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式g(2- 2x)0 且a1,对任意的实数,函数f(x)=ax+a-x不可能( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.
10、既不是奇函数又不是偶函数 3.【微点 3】 2018吕梁模拟 函数f(x)在(0,+)上单调递增,且f(x+2)的图像关于直线 x=-2 对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)1 的x的取值范围是( ) A.-2,2 B.(-,-22,+) C.(-,04,+) D.0,4 4.【微点 2】已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数,当x0 时,f(x)= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.【微点 2】若函数f(x)=kx+log3(1+9x)为偶函数,则k= . 探究点二 函数的周期性及其应用 例 4 (1)已知函数f(x)对任意xR,都有f(x+2)=f(x),当x(0
11、,)时,f(x)=2sin ,则f x 2 =( )( 19 3 ) A.B. 1 2 3 2 C.1 D.3 (2) 2018山西 45 校联考 函数f(x)的定义域为 R,且对任意xR,都有f(x+1)=f(x-1), 若 在区间-1,1上f(x)=则f(2017)+f(2018)=( ) ax + 2, - 1 x 0, (a - 2x)ex,0 f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式,如 x1x2)求解. 微点 2 奇偶性与周期性的结合 例 6 (1) 2018全国卷 已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x). 若f(1)=2,则f(
12、1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A.-50B.0 C.2 D.50 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2) 2018南昌二模 已知定义在 R 上的函数f(x)满足对任意实数x,都有f(x+3)=f(x- 3),f(-x)=f(x),且x-3,0时,f(x)=lo (6+x),则f(2018)的值为 ( )g1 2 A.-3B.-2 C.2 D.3 总结反思 周期性与奇偶性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性将所求 函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值. 微点 3 奇偶性、周期性与单调性的结合 例 7 (1) 2018泉州 5 月质检 已知定义在 R
13、上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在 0,2上单调递减,则( ) A.f(8)0 B.减函数,且f(x)0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 总结反思 解决周期性、 奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的 区间,然后利用奇偶性和单调性求解. 应用演练 1.【微点 1】 2018衡水中学月考 下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(- ,0)上的单调性也相同的是( ) A.y=1-x2B.y=log2|x| C.y=-D.y=x3-1 1 x 2.【微点 2】 已知f(x)为定义在 R 上且周期为 2 的奇函数,当-1x2 的解集为 (
14、) A.(2,+)B.(2,+) (0, 1 2) C.(,+) D.(,+)(0, 2 2) 22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.【微点3】 2018天津 9校联考 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当 x0,2时,f(x)=2x-1.设a=ln ,b=,c=,则 ( ) 1 e - ln 2 5 ( 1 3) - 0.1 A.f(a) 0, |x + 3| - 3 0, (0,1), f(x)=,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数. lg(1 - x2) |x + 3| - 3 lg(1 - x2) x lg(1 - x2) - x 6.x
15、=a (b,0) 解析 因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,将y=f(x+a)的图 像向左(a0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对 称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关 于点(b,0)成中心对称. 7.2 解析 f(x)=-f,f(x+3)=f=-f(x + 3 2) (x + 3 2) + 3 2 (x + 3 2) =f(x),f(2018)=f(3672+2)=f(2)=2. 8. 解析 设x0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)-3=x+3(x 0, 0,x
16、= 0, x + 3,x 0, 0,x = 0, x + 3,x 0x2+ 1 1 x2+ 1 + x x2+ 1 时,-x0,则f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=- f(x),所以函数为奇函数;对于,定义域为 R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函数为偶函数.所 以选 D. 例2 思路点拨 (1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函 数的最大值与最小值的和为 0 求解;(2)奇函数的定义域中若有 0,则f(0)=0,求出m,再根据 奇函数的定义求值. (1)C (2)-7 解析 (1)令x-1=t,则f(t)=3-,t-4,4, 3e|t|-
17、 sint e|t| sint e|t| y=f(t)-3 是奇函数, 则f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6, 函数f(x)在区间-3,5上的最大值、最小值之和为 6, 即p+q=6,故选 C. (2)函数f(x)为 R 上的奇函数,则f(0)=0,即 20+m=0,所以m=-1,当x0 时,f(x)=2x-1, 所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 例 3 思路点拨 (1)由函数y=f(x+2)为偶函数可知函数f(x)的图像关于直线x=2 对称,再 结合单调性比较大小;(2)根据函数图像的
18、平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据偶函 数的单调性解不等式即可得到结论. (1)D (2)(0,2) 解析 (1)函数y=f(x+2)为偶函数,将函数y=f(x+2)的图像向右平移2个 单位长度得到函数y=f(x)的图像,所以y=f(x)的图像关于直线x=2 对称,则函数f(x)在(- ,2)上单调递减,在2,+)上单调递增,所以f(0)f(1),f(0)f(2),f(1)f(2)都成 立,f(1)f(3)不成立.故选 D. (2)f(x)在1,+)上为增函数, 将f(x)的图像向左平移 1 个单位长度得到f(x+1)的图像,则f(x+1)在0,+)上为增函数, 即g(x)在0,+)
19、上为增函数, 且g(2)=f(2+1)=f(3)=0. 不等式g(2-2x)0时,-x0. 5.-1 解析 由偶函数的定义得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即 2kx=log3=- 1 + 9 - x 1 + 9x 2x,即(2k+2)x=0 恒成立,所以k=-1. 例4 思路点拨 (1)由题知函数f(x)的周期为2,利用周期性将所求函数值转化到已知定 义区间求解;(2)由条件可得出函数的周期为 2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求 f(2017)+f(2018)的值. (1)C (2)C 解析 (1)由f(x+2)=f(x)可知函数f(x)的周期为 2,所以
20、f=f( 19 3 ) =f,又当x(0,)时,f(x)=2sin ,所以f=2sin=1,故选 C.(6 + 3) ( 3) x 2 ( 3) 6 (2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期为 2 的函数,故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a- 2)e,解得a=2,从而f(x)=故f(2017)+f(2018)=f(1)+f(0)=0+2=2, 2x + 2, - 1 x 0, (2 - 2x)ex,0 f(0)f(1), 所以f(11)0, 当x(-1,0)时,f(x)2,即f(|log2x|)f(1),即|log2x|1,即log2x1或log2x2或00,则f
21、(a)=f=-f0, ( 1 3) - 0.1 又 2ln ln=,且f(x)=2x-1 在0,2上单调递增,e 1 2 f(ln )f,f(a)bcB.cba C.bcaD.bac 解析 A 函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1 对称,将y=f(x+1)的图像向右平移 1 个单位 长度,得到y=f(x)的图像,则f(x)的图像关于直线x=0,即y轴对称,则函数f(x)是偶函数. 当x0 时,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数, 当x0 时,f(x)为增函数.易知 log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52, log32=,log42=,
22、log52=, 1 log23 1 log24 1 log25 且 00, 1 log23 1 log24 1 log25 即 log32log42log520, 则 1+log321+log421+log521, 即 log36log48log5101, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f(log36)f(log48)f(log510), 即abc. 例 3 配合例 4 使用 已知定义在 R 上的函数f(x)满足f(4)=2-,且对任意的x都有3 f(x+2)=,则f(2018)=( ) 1 - f(x) A.-2-B.-2+33 C.2-D.2+33 解析 A 由f(x+2)=
23、,得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为 4,所以 1 - f(x) 1 - f(x + 2) f(2018)=f(2),又f(2+2)=,所以f(2)=-=-=-2-,即f(2018)=-2-. 1 - f(2) 1 f(4) 1 2 -3 33 例 4 配合例 7 使用 2018河南林州一中调研 已知函数y=f(x)是 R 上的偶函数,满足 f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x0,2时,f(x)=2x-4.令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间- 10,2上有 6 个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6= . 答
24、案 -24 解析 不妨设x1x2x3x4x5x6.因为函数y=f(x)是 R 上的偶函数,所以f(-2)=f(2).因为 f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以 f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直线x=2 是函数f(x)图像的对称轴,周期T=4,又函数f(x)是偶函 数,其图像关于y轴对称,因此直线x=4 也是其图像的对称轴.因为当x0,2时,f(x)单调 递增,所以g(x)=f(x)-m在区间0,2上单调递增,所以当x0,2时,只有一个零点x1,同理 在区间-2,0)上只有一个零点x2,则x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以 x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案为-24.