《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：考前冲刺二 10个二级结论高效解题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：考前冲刺二 10个二级结论高效解题 Word版含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 结论 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数， 则对任意的 xD， 都有 f(x)f(x)0. 特别地， 若奇函数 f(x)在 D 上有最值， 则 f(x)maxf(x)min0， 且若 0D， 则 f(0)0. 【例 1】 设函数 f(x)的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm （x1）2sin x x21 _. 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)1， （x1）2sin x x21 2xsin x x21 设 g(x)，则 g(x)g(x)， 2xsin x x21 g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对
2、称性知 g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 答案 2 【训练 1】 对于函数 f(x)asin xbxc(其中 a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 解析 令 g(x)f(x)casin xbx， 则 g(x)是奇函数.又 g(1)g(1)f(1)c f(1)cf(1)f(1)2c，而 g(1)g(1)0，c 为整数，f(1)f(1)2c 为偶数.选项 D 中，123 是奇数，不可能成立. 答
3、案 D 结论 2 抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T2a. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)如果 f(xa)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 1 f（x） (3)如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 2.函数的对称性 已知函数 f (x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 x对称，特别地， ab 2 若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf(x)的图象
4、关于直线 xa 对称. (2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关 于点(a，0)对称. 【例 2】 (1)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， 有 f(x3)f(x)， 且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 017)f(2 018)( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018日照调研)函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立， 且函数 y f(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为 _. 解析 (1)因为函
5、数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(2 017)f(2 017)， 因为当 x0 时，有 f(x3)f(x)， 所以 f(x6)f(x3)f(x)，即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值 重复出现一次. 又当 x(0，3)时，f(x)x1， f(2 017)f(33661)f(1)2， f(2 018)f(33662)f(2)3. 故 f(2 017)f(2 018)f(2 017)31. (2)因为函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以
6、 f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以 f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2 0144) f(2 014)f(2 014)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. 答案 (1)C (2)4 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数， 且 f(1)1， 则 f(8)f(9) ( ) A.2 B.1 C.0 D.1 解析 由 f(x2)是偶函数可得 f(x2)f(x2)， 又由 f(x)是奇函数得 f(x2)f(x2)， 所以 f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f
7、(x8)f(x)，故 f(x)是以 8 为周期的 周期函数， 所以 f(9)f(81)f(1)1.又 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(0) 0，所以 f(8)f(0)0，故 f(8)f(9)1. 答案 D 结论 3 两个经典不等式 (1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当 x1 时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当 x0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且 x1). 【例 3】 (2017全国卷改编)已知函数 f(x)x1aln x. (1)若 f(x)0，求 a 的值； (2)证明：对于任意正整数 n， 0，由
8、f(x)1 知， a x xa x 当 x(0，a)时，f(x)0； 所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增， 故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1. (2)证明 由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 令 x1，得 ln 0， ln（x1）x 0，) 求得x|x1，且 x0，所以排除选项 C，D. 当 x0 时，由经典不等式 x1ln x(x0)， 以 x1 代替 x，得 xln(x1)(x1，且 x0)， 所以 ln(x1)x1，且 x0)，易知 B
9、 正确. 答案 B (2)已知函数 f(x)ex，xR.证明 ： 曲线 yf(x)与曲线 y x2x1 有唯一公共点. 1 2 证明 令 g(x)f(x)ex x2x1，xR， ( 1 2x 2x1) 1 2 则 g(x)exx1， 由经典不等式 exx1 恒成立可知，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为单调递 增函数，且 g(0)0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 结论 4 三点共线的充要条件 A，B，C 三点共线，共线；向量， ，中，A，B，C 三点共线存AB AC PA PB PC 在实数，使得，且 1.PA
10、PB PC 【例 4】 已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等 式 x2x0 成立的实数 x 的取值集合为( )OA OB BC A.1 B. C.0 D.0，1 解析 ，x2x0，BC OC OB OA OB OC OB 即x2(1x)，x2(1x)1，OC OA OB 解得 x0 或 x1(x0 舍去)，x1. 答案 A 【训练 4】 在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点.若，则 _.AB AM AN 解析 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 由已知易得 AB AT， 4 5 ， 4 5
11、AT AB AM AN ，AT 5 4 AM 5 4 AN T，M，N 三点共线， 1， . 5 4 5 4 4 5 答案 4 5 结论 5 三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心|.OA OB OC a 2sin A (2)O 为ABC 的重心0.OA OB OC (3)O 为ABC 的垂心.OA OB OB OC OC OA (4)O 为ABC 的内心abc0.OA OB OC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点
12、P满足 (1OP 1 3 )(1)(12)，R，则点 P 的轨迹一定经过( )OA OB OC A.ABC 的内心 B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心 D.AB 边的中点 解析 取 AB 的中点 D，则 2，OD OA OB (1)(1)(12)，OP 1 3 OA OB OC 2(1)(12)OP 1 3 OD OC ， 2（1） 3 OD 12 3 OC 而1，P，C，D 三点共线， 2（1） 3 12 3 点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 答案 C 【训练 5】 (1)P 是ABC 所在平面内一点，若，则 P 是PA PB PB PC PC PA ABC 的( ) A.外心 B
13、.内心 C.重心 D.垂心 (2)O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP OA ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) ( AB |AB | AC |AC |) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 (1)由，可得()0，即0，PA PB PB PC PB PA PC PB CA PB CA 同理可证，.P 是ABC 的垂心.PC AB PA BC (2)为上的单位向量，为上的单位向量， 则的方向为BAC AB |AB | AB AC |AC | AC AB |AB | AC |AC | 的平分线的方向.AD 高清试卷 下载可打印
14、高清试卷 下载可打印 又 0，)，的方向与的方向相同. ( AB |AB | AC |AC |) AB |AB | AC |AC | ，点 P 在上移动.OP OA ( AB |AB | AC |AC |) AD P 的轨迹一定要通过ABC 的内心. 答案 (1)D (2)B 结论 6 与等差数列相关的结论 (1)若等差数列an的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S奇，所有偶 数项之和为 S偶，则所有项之和 S2mm(amam1)，S偶S奇md，. S偶 S奇 am1 am (2)若等差数列an的项数为奇数 2m1，所有奇数项之和为 S奇，所有偶数项之 和为 S偶，则所有项之和
15、S2m1(2m1)am，S奇S偶am，. S奇 S偶 m m1 【例 6】 (1)等差数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 am1am1a 0， S2m138， 2 m 则 m_. (2)一个等差数列的前 12 项和为 354， 前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，则数列的公差 d_. 解析 (1)由 am1am1a 0 得 2ama 0，解得 am0 或 2. 2 m2 m 又 S2m1(2m1)am38， （2m1）（a1a2m1） 2 显然可得 am0，所以 am2. 代入上式可得 2m119，解得 m10. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S奇，偶数项的
16、和为 S偶，等差数列的公差 为 d. 由已知条件，得解得 S奇S偶354， S偶 S奇32 27，) S偶192， S奇162.) 又 S偶S奇6d，所以 d5. 192162 6 答案 (1)10 (2)5 【训练 6】 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 m( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 Sm12， Sm0， Sm13， amSmSm12， am1Sm1Sm3， 公差 dam1am1， 由 Snna1dna1， n（n1） 2 n（n1） 2 得 ma1m（m1） 2 0， （m1）a1（m1
17、）（m2） 2 2， ) 由得 a1，代入可得 m5. 1m 2 答案 C 结论 7 与等比数列相关的结论 (1)公比 q1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*). (2)若等比数列的项数为 2n(nN*)， 公比为 q， 奇数项之和为 S奇， 偶数项之和为 S 偶，则 S偶qS奇. (3)已知等比数列an，公比为 q，前 n 项和为 Sn.则 SmnSmqmSn(m，nN*). 【例 7】 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3，则( ) S6 S3 S9 S6 A.2 B. C. D.3 7 3 8 3 解析 由已知3， 得 S63S3， 因为 S3， S6S
18、3， S9S6也为等比数列， 所以(S6 S6 S3 S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3).化简得 S97S3，从而 . S9 S6 7S3 3S3 7 3 答案 B (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S3 ，S6. 7 2 63 2 求数列an的通项公式； 求 log2a1log2a2log2a3log2a25的值. 解 由 S3 ， S6， 得 S6S3q3S3(1q3)S3， q2.又 S3a1(1qq2)， 7 2 63 2 得 a1 . 1 2 故通项公式 an 2n12n2. 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由(1)及题
19、意可得 log2ann2， 所 以 log2a1 log2a2 log2a3 log2a25 1 0 1 2 23 275. 25 （123） 2 【训练 7】 已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6， 则数列的前 5 项和为_. 1 an 解析 设等比数列an的公比 q，易知 S30. 则 S6S3S3q39S3，所以 q38，q2. 所以数列是首项为 1，公比为 的等比数列，其前 5 项和为. 1 an 1 2 1(1 2) 5 11 2 31 16 答案 31 16 结论 8 多面体的外接球和内切球 (1)长方体的对角线长 d 与共点的三条棱 a，b，
20、c 之间的关系为 d2a2b2c2； 若长方体外接球的半径为 R，则有(2R)2a2b2c2. (2)棱长为 a 的正四面体内切球半径 ra，外接球半径 Ra. 6 12 6 4 【例 8】 (1)(2018安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 ( ) A.24 B.29 C.48 D.58 (2)(2018石家庄教学质量检测)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方 形，且 PAPBPCPD，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则 该四棱锥的高是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷
21、下载可打印 A.6 B.5 C. D. 9 2 9 4 解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在 324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A BCD)，其外接球即为长方体的外接球 . 表面积为 4R2(322242)29. (2)过点 P 作 PH平面 ABCD 于点 H.由题意知，四棱锥 P ABCD 是正四棱锥， 内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正 四棱锥的高作组合体的轴截面如图， 其中 PE，PF 是斜高，M 为 球面与侧面的一个切点. 设 PHh，易知 RtPMORtPHF， 所以，即 ，解得 h . OM FH PO PF 1 3 h1 h232 9 4 答案
22、(1)B (2)D 【训练 8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是 1，且其外 接球的表面积是 16，则该三棱柱的侧棱长为( ) A. B.2C.4 D.31436 (2)(2018济南调研)已知球 O 的直径 PA2r， B， C 是该球面上的两点， 且 BCPB PCr，三棱锥 PABC 的体积为，则球 O 的表面积为( ) 32 2 3 A.64 B.32C.16 D.8 解析 (1)由于直三棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形.把直三棱 柱 ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因 为外接球的面积是 16，所以外接
23、球半径为 2，因为直三棱柱的底面是等腰直角 三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.216214 (2)如图， 连接 OB， OC， 则几何体 OBCP 是棱长为 r 的正四面体， 所以 VOBCPr3，于是VPABC2VOBCPr3，令r3，得r 2 12 2 6 2 6 32 2 3 4.从而S球44264. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 (1)A (2)A 结论 9 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆C： (xa)2(yb)2R2上一点P(x0， y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)R2. (2)若点 M(x0，y0)在曲线1(a0，b0)上，则过 M
24、 的切线方程为1. x2 a2 y2 b2 x0x a2 y0y b2 (3)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)处的切线方程是 y0yp(xx0). 过抛物线y22px(p0)外一点P(x0， y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(x x0). 【例 9】 已知抛物线 C：x24y，直线 l：xy20，设 P 为直线 l 上的点， 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，当点 P(x0，y0)为直 线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程. 解 联立方程得消去 y， x24y， xy20，) 整理得 x24x80， (4)248160)焦点的弦
25、 过抛物线 y22px(p0)焦点的弦 AB 有： (1)xAxB. p2 4 (2)yAyBp2. (3)|AB|xAxBp( 是直线 AB 的倾斜角). 2p sin2 【例 10】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， 若|AF| 2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B. C.5 D.6 9 2 解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线 上的射影分别为D，C， 作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos ， 所以 tan
26、 2.则 sin28cos2， sin2 .又 y24x， 知 2p AE AB 1 3 2 8 9 4，故利用弦长公式|AB| . 2p sin2 9 2 答案 B 【训练 10】 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A. B. C. D. 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 法一 由已知得焦点坐标为 F，因此直线 AB 的方程为 y， ( 3 4，0) 3 3(x 3 4) 即 4x4y30.3 与抛物线方程联立，化简得 4y212y90，3 故|yAyB|6. （y AyB）24yAyB 因此 SOAB |OF|yAyB| 6 . 1 2 1 2 3 4 9 4 法二 由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB|12. 2p sin2 3 sin230 原点到直线 AB 的距离 d|OF|sin 30 ， 3 8 故 SAOB |AB|d 12 . 1 2 1 2 3 8 9 4 答案 D