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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题十 圆锥曲线与方程 【真题典例】 10.1 椭圆及其性质 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2018 浙江,17椭圆的标准方程向量、最值 2016 浙江,7椭圆的标准方程 双曲线的标准方程、 离心率 椭圆的 定义和 标准方 程 1.了解圆锥曲线的实际背景,了 解圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、 标准方程. 2015 浙江,19 椭圆的定义和 标准方程 直线与椭圆的位置关系、 最值、范围 椭圆的1.掌握椭圆的简单几何性质.2017 浙江,2椭圆的离心率 高
2、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2016 浙江,7,19椭圆的离心率 双曲线的离心率、圆、 直线与椭圆的位置关系 几何性 质 2.理解数形结合的数学思想. 2015 浙江,19,文 15椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系 分析解读 1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点. 2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质. 3.考查把几何条件转化为代数形式的能力. 4.预计 2020 年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质, 以及与椭圆有关的综合问题上. 破考点 【考点集训】 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2018 浙江镇海中学阶
3、段性测试,21)已知椭圆 G:+=1(ab0)的离心率为,右焦点为(2,0).斜 2 2 2 2 6 3 2 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求PAB 的面积. 解析 (1)由已知得 c=2,=,解得 a=2.又 b2=a2-c2=4,所以椭圆 G 的方程为+=1. 2 6 3 3 2 12 2 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.由得 4x2+6mx+3m2-12=0. = + , 2 12 + 2 4 = 1, 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1b
4、0)的离心率为,且经过点(3,1). 2 2 2 2 6 3 (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P(6,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,Q 是 x 轴上的点,若ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,求 直线 l 的方程. 解析 (1)由 e=a2=3b2,设椭圆方程为+=1, 6 3 2 3 2 2 2 则+=1,所以 b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1. 3 2 1 2 2 12 2 4 (2)设 AB 的中点坐标为(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6, 则由得(t2+3)y2+12ty+24=0, 2 12 + 2 4 = 1, = +
5、6 AB 的中垂线方程为 y+=-t,所以 Q, 6 2+ 3 ( - 18 2+ 3) ( 12 2+ 3 ,0) 点 Q到直线 l 的距离为. ( 12 2+ 3 ,0) 62+ 1 2+ 3 |AB|=,所以 6=2,解得 t2=9,所以 t=3.因此直线 l 的方程为 x3y-6=0. 431 + 22- 6 2+ 3 32- 6 考点二 椭圆的几何性质 1.(2018 浙江镇海中学期中,21)已知椭圆 C:+=1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积为 2,且经 2 2 2 2 2 过点. (1, 2 2 ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆C的下顶点为P,如图所示,点M为直
6、线x=2上的一个动点,过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM, 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 OM 交于点 N,四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2的最大值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)因为在椭圆 C 上,所以+=1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为 2, (1, 2 2 ) 1 2 1 2 2 2 所以2a2b=2,即 ab=, 22 解得 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程为+y2=1. 2 2 (2)由(1)可知 F(1,0),设 M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2), 则当 t0 时,OM:y=
7、x,所以 kAB=-, 直线 AB 的方程为 y=- (x-1),即 2x+ty-2=0(t0), 由得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0, =- 2 (x - 1), 2+ 22- 2 = 0 则 =(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)0, x1+x2=,x1x2=, 16 8 + 2 8 - 22 8 + 2 AB=,1 + 2 8 + 2 1 + 4 2 2 2t 2+ 4 8 + 2 22(2+ 4) 8 + 2 又 OM=,所以 S1=OMAB=, 2+ 4 1 2 2+ 4 22(2+ 4) 8 + 2 2(2+ 4)2+ 4 8 + 2 由得 xN
8、=, =- 2 (x - 1), = 2 x, 4 2+ 4 所以 S2=1=, 4 2+ 4 2 2+ 4 所以 S1S2=b0)的离心率为,点 M(-2,1)是椭圆内一点, 过 2 2 2 2 3 2 点 M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 l1,l2,设 l1与椭圆 C 相交于点 A,B,l2与椭圆 C 相交于点 D,E.当 M 恰好为线段 AB 的中点时,|AB|=. 10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求的最小值. 解析 (1)由题意得 a2=4b2, 即椭圆 C:+=1, 2 4 2 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
9、D(x3,y3),E(x4,y4). 由作差得,(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0. 21+ 421= 42, 22+ 422= 42 又当 M(-2,1)为线段 AB 的中点时,x1+x2=-4,y1+y2=2,AB 的斜率 k=. 1- 2 1- 2 由消去 y 得,x2+4x+8-2b2=0. 2 4 2 + 2 2 = 1, = 1 2x + 2 则|AB|=|x1-x2|=.1 + 21 + 1 4 16 - 4(8 - 22)10 解得 b2=3,于是椭圆 C 的方程为+=1. 2 12 2 3 (2)设直线 AB:y=k(x+2)+1,由消去 y 得
10、, 2 12 + 2 3 = 1, = ( + 2) + 1 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0. 于是 x1+x2=,x1x2=. - 8(2 + 1) 1 + 42 4(2 + 1)2- 12 1 + 42 =(+)(+)=+ =(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1). (-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2) =-(1+k2)4+2(x1+x2)+x1x2=. 4(1 + 2) 1 + 42 同理可得(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1)=. 4(
11、1 + 2) 4 + 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =4(1+k2)=,当 k=1 ( 1 1 + 42 + 1 4 + 2) 20(1 + 2)2 (1 + 42)(4 + 2) 20(1 + 2)2 ( 1 + 42+ 4 + 2 2 ) 2 16 5 时取等号. 综上,的最小值为. 16 5 炼技法 【方法集训】 方法 求椭圆离心率(范围)的常用方法 1.(2018 浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在 y 轴上的椭圆+=1 的离心率为,则实数 m 等于( ) 2 4 2 A.3B.C.5D. 16 5 16 3 答案 D 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,8
12、)设椭圆 C:+=1(ab0) 的右焦点为 F,椭圆 C 上的两点 A,B 关于原点 2 2 2 2 对称,且满足=0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( ) A.B. 2 2 , 5 3 5 3 ,1) C.D.-1,1) 2 2 ,3 - 13 答案 A 过专题 【五年高考】 A 组 自主命题浙江卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 (2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点 A,B 满足=2,则当 m= 时,点 B 2 4 横坐标的绝对值最大. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 5 考点二 椭圆的几何性质
13、1.(2017 浙江,2,4 分)椭圆+=1 的离心率是( ) 2 9 2 4 A.B.C.D. 13 3 5 3 答案 B 2.(2016 浙江,19,15 分)如图,设椭圆+y2=1(a1). 2 2 (1)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a,k 表示); (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 解析 (1)设直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段为 AP, 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, = + 1, 2 2 + 2= 1 故 x1=0,x2=-. 2 2k 1 + 22 因此|AP|=|x1-x2|=.1 +
14、 2 2 2|k| 1 + 22 1 + 2 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|=,|AQ|=, 2 2 | 1| 1 + 2 1 1 + 22 1 2 2 | 2| 1 + 2 2 1 + 22 2 故=, 2 2 | 1| 1 + 2 1 1 + 22 1 2 2 | 2| 1 + 2 2 1 + 22 2 所以(-)1+a2(2-a2)=0. 212221222122 由 k1k2,k1,k20 得 1+a2
15、(2-a2)=0, 21222122 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此=1+a2(a2-2), ( 1 2 1 + 1)( 1 2 2 + 1) 因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a. 2 因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 10, 4 2 将 AB 中点 M代入直线方程 y=mx+, ( 2 2+ 2 , 2b 2+ 2) 解得 b=-. 2+ 2 22 由得 m. 6 3 6 3 (2)令 t=, 1 ( - 6 2 ,0) (0, 6 2 ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则
16、|AB|=, 2+ 1 - 24+ 22+ 3 2 2+ 1 2 且 O 到直线 AB 的距离为 d=. 2+ 1 2 2+ 1 设AOB 的面积为 S(t), 所以 S(t)= |AB|d=. 1 2 - 2(2- 1 2) 2 + 2 2 2 当且仅当 t2=时,等号成立. 故AOB 面积的最大值为. 2 2 B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014 辽宁,15,5 分)已知椭圆 C:+=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B, 2 9 2 4 线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= . 答案
17、 12 2.(2018天津文,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|= 2 2 2 2 5 3 . 13 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x1,-y1).由BPM 的面积 是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1. 易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组消去 y,可得 x2=.由方程组消2 + 3 = 6, = , 6 3 + 2 2 9 + 2 4 = 1, = , 去 y,可得 x1=. 6 9 2 + 4 由 x
18、2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得 18k2+25k+8=0,解得 k=-或 k=-. 9 2 + 4 当 k=-时,x2=-9b0)的离心率为,且右焦点 2 2 2 2 2 2 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB 的方程. 解析 (1)由题意,得=且 c+=3, 2 2 2 解得 a=,c=1,则 b=1, 2 所以椭圆的标准方程为+y2=1. 2 2 (2)当 ABx 轴时,AB=,又 CP=3,不合题意. 2 当 AB 与 x 轴不垂
19、直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2=,C 的坐标为 2 2 2(1 + 2) 1 + 22 ,且 AB=. ( 2 2 1 + 22 , - 1 + 22) ( 2- 1)2+ (2- 1)2 (1 + 2)(2- 1)2 22(1 + 2) 1 + 22 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k0,故直线 PC 的方程为 y+=-, 1 + 22 1 ( - 2
20、 2 1 + 22) 则 P 点的坐标为, ( - 2, 5 2 + 2 (1 + 22) 从而 PC=. 2(32+ 1) 1 + 2 |(1 + 22) 因为 PC=2AB, 所以=, 2(32+ 1) 1 + 2 |(1 + 22) 42(1 + 2) 1 + 22 解得 k=1. 此时直线 AB 方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 评析 本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想. 4.(2015 安徽,20,13 分)设椭圆 E 的方程为+=1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐 2 2 2 2 标为(0
21、,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为. 5 10 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为,求 E 的方程. 解析 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为, ( 2 3 a, 1 3b) 又 kOM=,从而=. 5 10 2 5 10 进而 a=b,c=2b.故 e=. 52- 2 25 5 (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为+=1,点 N 的坐标为,设点 N 关于 5b ( 5 2 b, - 1 2b) 直线 AB 的对称点 S
22、的坐标为,则线段 NS 的中点 T 的坐标为.又点 T 在直线 AB (1, 7 2) ( 5 4 b + 1 2 , - 1 4b + 7 4) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 上,且 kNSkAB=-1,从而有+=1,=,解得 b=3,所以 a=3,故椭圆 E 的 5 4 b + 1 2 5b - 1 4b + 7 4 7 2 + 1 2b 1- 5b 2 55 方程为+=1. 2 45 2 9 考点二 椭圆的几何性质 1.(2018 课标全国文,4,5 分)已知椭圆 C:+=1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) 2 2 2 4 A.B.C.D. 2 2 22
23、3 答案 C 2.(2018 课标全国理,12,5 分)已知 F1,F2是椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 2 2 2 2 在过 A 且斜率为的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则 C 的离心率为( ) 3 6 A.B.C.D. 答案 D 3.(2017课标全国文,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120, 2 3 2 则 m 的取值范围是( ) A.(0,19,+)B.(0,9,+) 3 C.(0,14,+)D.(0,4,+) 3 答案 A 4.(2018 北京理,14,5 分)已知椭圆 M:+
24、=1(ab0),双曲线 N:-=1.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 2 2 2 2 2 2 2 2 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为 ;双曲线 N 的离 心率为 . 答案 -1;2 3 5.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交 2 2 2 2 于 B,C 两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 6 3 6.(2017 天津文,20,14 分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E
25、的坐标为 2 2 2 2 (0,c),EFA 的面积为. 2 2 (1)求椭圆的离心率; (2)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|=c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PMQN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c. (i)求直线 FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程. 解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和解决问题的能力. (1)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 (c+a)c=. 2 2 又由 b2=a2-c2,
26、可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0. 又因为 00),则直线 FP 的斜率为. 1 由(1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为+=1,即 x+2y-2c=0,与直线 FP 的方程联立,可解得 x=,y= 2 (2 - 2) + 2 ,即点 Q 的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整 3 + 2 ( (2 - 2) + 2 , 3 + 2) (2 - 2) + 2 + c 2 ( 3 + 2) 2 ( 3 2) 2 理得 3m2-4m=0,所以 m=,即直线 FP 的斜率为. (ii)由 a=2c,可得 b=c,故椭圆方程可以表示为+=1. 3 2 4 2 2 3 2 由
27、(i)得直线 FP 的方程为 3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去 y, 3 - 4 + 3 = 0, 2 4 2 + 2 3 2 = 1, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 整理得 7x2+6cx-13c2=0, 解得 x=-(舍去)或 x=c.因此可得点 P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|- 13 7 ( , 3 2) ( + )2+ ( 3 2) 2 5 2 |FQ|=-=c. 5 2 3 2 由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离,故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP. 因为 QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=
28、,所以FQN 的面积为|FQ|QN|=,同理FPM 的面积等 3 2 9 8 272 32 于,由四边形 PQNM 的面积为 3c,得-=3c,整理得 c2=2c,又由 c0,得 c=2. 752 32 752 32 272 32 所以椭圆的方程为+=1. 2 16 2 12 方法点拨 1.求离心率常用的方法:(1)直接求 a,c,利用定义求解;(2)构造 a,c 的齐次式,利用方程思想求 出离心率 e 的值. 2.求直线斜率的常用方法:(1)公式法:k=(x1x2),其中两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2);(2)利用导 1- 2 1- 2 数的几何意义求解;(3)直线的方向向量 a
29、=(m,n),则 k=(m0);(4)点差法. 3.解决四边形或三角形的面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想的应用. C 组 教师专用题组 考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2014 安徽,14,5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+=1(0b0)过点(0,),且离心率 e=. 2 2 2 2 2 2 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l:x=my-1(mR)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并 ( - 9 4,0) 说明理由. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 解法一:(1)由已知得解得 = 2, = 2 2
30、, 2= 2+ 2. = 2, = 2, = 2. 所以椭圆 E 的方程为+=1. 2 4 2 2 (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 H(x0,y0). 由得(m2+2)y2-2my-3=0, = - 1, 2 4 + 2 2 = 1 所以 y1+y2=,y1y2=-,从而 y0=. 2 2+ 2 3 2+ 2 2+ 2 所以|GH|2=+=+=(m2+1)+ my0+. (0 + 9 4) 2 20 (0 + 5 4) 2 2020 25 16 = |2 4 ( 1- 2)2+ (1- 2)2 4 (1 + 2)(1- 2)2 4 =(1+m2)(-y1y2),
31、 (1 + 2)(1+ 2)2- 412 4 20 故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|. |2 4 25 16 52 2(2+ 2) 3(1 + 2) 2+ 2 25 16 172+ 2 16(2+ 2) | 2 故点 G在以 AB 为直径的圆外. ( - 9 4,0) 解法二:(1)同解法一. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则=, (1 + 9 4 , 1) =. (2 + 9 4 , 2) 由得(m2+2)y2-2my-3=0, = - 1, 2 4 + 2 2 = 1 所以 y1+y2=,y1y2=-, 2 2+ 2 3 2+ 2 高
32、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+= (1 + 9 4)(2 + 9 4) (1 + 5 4)(2 + 5 4) 25 16 - 3(2+ 1) 2+ 2 +=0, 5 2 2 2+ 2 25 16 172+ 2 16(2+ 2) 所以 cos0.又,不共线,所以AGB 为锐角. 故点 G在以 AB 为直径的圆外. ( - 9 4,0) 评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想. 3.(2014 江苏,17,14 分)如图
33、,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点, 2 2 2 2 顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为,且 BF2=,求椭圆的方程; ( 4 3, 1 3) 2 (2)若 F1CAB,求椭圆离心率 e 的值. 解析 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2=a. 2+ 2 又 BF2=,故 a=. 22 因为点 C在椭圆上,所以+=1,解得 b2=1. ( 4 3, 1 3) 16 9 2
34、 1 9 2 故所求椭圆的方程为+y2=1. 2 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, 所以直线 AB 的方程为+ =1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解方程组得 + = 1, 2 2 + 2 2 = 1, 1= 2 2c 2+ 2 , 1= (2- 2) 2+ 2 , 2= 0, 2= b. 所以点 A 的坐标为. ( 2 2c 2+ 2 ,( 2 - 2) 2+ 2 ) 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为. ( 2 2c 2+ 2 ,( 2 - 2) 2+ 2 ) 因为直线 F1C 的斜率为=,直线 AB 的斜率为-,且
35、 F1CAB,所以 (2- 2) 2+ 2 - 0 2 2c 2+ 2 - ( - c) (2- 2) 3 2c + 3 (2- 2) 3 2c + 3 =-1.又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2.故 e2=.因此 e=. ( - ) 5 5 评析 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力. 考点二 椭圆的几何性质 1.(2017 课标全国理,10,5 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直 2 2 2 2 径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( ) A.B.C.D
36、. 6 3 3 3 2 3 答案 A 2.(2016 课标全国,11,5 分)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:+=1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左, 2 2 2 2 右顶点.P 为 C 上一点,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ( ) A.B.C.D. 答案 A 3.(2014 江西,15,5 分)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(ab0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 2 2 2 2 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 高清试卷 下载
37、可打印 高清试卷 下载可打印 答案 2 2 4.(2017 北京文,19,14 分)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为. 3 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45. 解析 本题考查椭圆的方程和性质,直线的方程等知识,考查运算求解能力. (1)设椭圆 C 的方程为+=1(ab0). 2 2 2 2 由题意得 = 2, = 3 2 , 解得 c=. 3 所以 b2=a2-c2=1. 所以椭圆 C 的方程为+y2
38、=1. 2 4 (2)设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n). 由题设知 m2,且 n0. 直线 AM 的斜率 kAM=,故直线 DE 的斜率 kDE=-. + 2 + 2 所以直线 DE 的方程为 y=-(x-m). + 2 直线 BN 的方程为 y=(x-2). 2 - 联立 =- + 2 (x - m), = 2 - (x - 2), 解得点 E 的纵坐标 yE=-. (4 - 2) 4 - 2+ 2 由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2. 所以 yE=-n. 又 SBDE=|BD|yE|=|BD|n|, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 SBDN=|BD
39、|n|, 所以BDE 与BDN 的面积之比为 45. 易错警示 在设直线方程时,若设方程为y=kx+m,则要考虑斜率不存在的情况;若设方程为x=ty+n,则要考虑 斜率为 0 的情况. 5.(2015 重庆,21,12 分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线交椭圆于 P,Q 两 2 2 2 2 点,且 PQPF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; 22 (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 解析 (1)由椭圆的定义,有 2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故 a=2. 22 设椭圆的半焦距为
40、c,由已知 PF1PF2,得 2c=|F1F2|=2,|1|2+ |P2|2(2 + 2) 2 + (2 - 2) 2 3 即 c=,从而 b=1. 32- 2 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. 2 4 (2)解法一:连接 F1Q,如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,且 PF1PF2, 则+=1,+=c2, 2 0 2 2 0 2 2020 求得 x0=,y0=. 2- 22 2 由|PF1|=|PQ|PF2|得 x00, 从而|PF1|2=+ ( 2- 22 + c) 2 4 2 =2(a2-b2)+2a=(a+)2. 2- 222- 22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由
41、椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a. 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|. 2 因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a, 222- 22 于是(2+)(1+)=4, 2 2 2 - 1 解得 e=-. 1 21 + ( 4 2 +2 - 1) 2 63 解法二:连接 F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有 |QF1|=4a-
42、2|PF1|. 又由 PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|, 2 因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a, 22 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a. 22 由 PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此 e=-. |1|2+ |P2|2 2 (2 - 2) 2 + (2 - 1)29 - 6 263 6.(2014 安徽,21,13 分)设 F1、 F2分别是椭圆 E:+=1(ab0)的左、 右焦点,过点 F1的直线交椭圆 E 于 A, B 2 2 2 2 两点,|AF1|=3
43、|F1B|. (1)若|AB|=4,ABF2的周长为 16,求|AF2|; (2)若 cosAF2B=,求椭圆 E 的离心率. 解析 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为ABF2的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF
44、2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k). 化简可得(a+k)(a-3k)=0, 而 a+k0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2, 可得 F1AF2A, AF1F2为等腰直角三角形. 从而 c=a,所以椭圆 E 的离心率 e=. 2 2 2 2 7.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、 右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|= 2 2 2 2 |F1F2|. 3 2 (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M,|MF2|=2.求椭圆的方程. 2 解析 (1)设椭圆右焦点 F2的坐标为(c,0). 由|AB|=|F1F2|,可得 a2+b2=3