《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.5 曲线与方程 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.5 曲线与方程 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.5 曲线与方程 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 曲线与 方程 了解方程的曲线与曲线的方程 的对应关系. 2015 浙江文,7 曲线与方程的求 法 平面截圆锥的性质 分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中. 2.预计 2020 年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及. 破考点 【考点集训】 考点 曲线与方程 1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆 C:x2+y2+2x-2y-23=0 中,长为 8 的弦中点的轨迹方程为( ) A.(x-1)2+(
2、y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9 C.(x-1)2+(y+1)2=16 D.(x+1)2+(y-1)2=16 答案 B 2.(2017 浙江稽阳联谊学校联考(4 月),21)已知两个不同的动点 A,B 在椭圆+=1 上,且线段 AB 的垂直平 2 8 2 4 分线恒过点 P(0,-1).求: (1)线段 AB 的中点 M 的轨迹方程; (2)线段 AB 的长度的最大值. 解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线 AB 的斜率存在, 由题意可知,+=1,+=1, 2 1 8 2 1 4 2 2 8 2 2 4 则+=0, ( 1- 2)(1+
3、 2) 8 ( 1- 2)(1+ 2) 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得=-. 1- 2 1- 2 2 0 0 又=-1,得 y0=-2. 1- 2 1- 2 0+ 1 0 从而,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y=-2(-, 0, 0 0, - 1,1 2 即当 k时,直线 l 与 C1只有一个公共点,与 C2有一个公共点. - 1,1 2 当 k时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2没有公共点. - 1 2,0) 故当 k时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. - 1 2,0) - 1,1 2 若由解得-1 0, 0b0),由 e=,得= ,从而 a2=
4、2b2,所以 c=b. 2 2 2 2 2 2 2- 2 2 1 2 故椭圆 C 方程为 x2+2y2=2b2,设 A(x1,y1),B(x2,y2),A、B 在椭圆 C 上,+2=2b2,+2=2b2,两式相减 21212222 得(-)+2(-)=0,即=-. 21222122 1- 2 1- 2 1+ 2 2(1+ 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设 AB 的中点为(x0,y0),则 kAB=-,又(x0,y0)在直线 y=x 上,故 y0=x0,于是-=-1,即 kAB=-1,故直线 l 的 0 2 0 0 2 0 方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于直线 l
5、 的对称点设为(x,y), 则解得 - = 1, 2 =- + 2 + 1, = 1, = 1 - . 由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2, b=,b2=,a2=. 9 16 所求椭圆 C 的方程为+=1. 2 9 8 2 9 16 过专题 【五年高考】 统一命题、省(区、市)卷题组 考点 曲线与方程 1.(2017 课标全国理,20,12 分)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N, 2 2 点 P 满足=. 2 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且=1.证明:过点 P 且垂直于
6、 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题. (1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=得 x0=x,y0=y. 2 2 2 因为 M(x0,y0)在 C 上,所以+=1. 2 2 2 2 因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n), =(-3-m,t-n). 由=1 得-3m-m2+tn-n2=1, 又由
7、(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 2.(2015 广东,20,14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1)求圆 C1的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说 明理由. 解析 (1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4
8、,所以圆心坐标为(3,0). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0), 则 x0=,y0=. 1+ 2 2 1+ 2 2 由题意可知直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=tx. 将上述方程代入圆 C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0. 由题意,可得 =36-20(1+t2)0(*),x1+x2=, 6 1 + 2 所以 x0=,代入直线 l 的方程,得 y0=. 3 1 + 2 3 1 + 2 因为+=+=3x0, 2020 9 (1 + 2)2 9 2 (1 + 2)2 9(1 + 2) (1 + 2)2 9 1 + 2 所以+=.
9、 (0 - 3 2) 2 20 由(*)解得 t2b0)的离心率为,点(2,)在 C 上. 2 2 2 2 2 2 2 (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率 与直线 l 的斜率的乘积为定值. 解析 (1)由题意有=,+=1, 2- 2 2 2 4 2 2 2 解得 a2=8,b2=4. 所以 C 的方程为+=1. 2 8 2 4 (2)证明:设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入+=1 得 2 8 2
10、 4 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM=,yM=kxM+b=. 1+ 2 2 - 2 2 2 + 1 2 2 + 1 于是直线 OM 的斜率 kOM=-,即 kOMk=-. 1 2 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 思路分析 (1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解 a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直线方程与 椭圆方程,通过根与系数的关系求解 kOM,然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 3.(2014 广东,20,14 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为. 2 2 2 2 5 5 3 (
11、1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程. 解析 (1)由题意知 c=,e=, 5 5 3 a=3,b2=a2-c2=4, 故椭圆 C 的标准方程为+=1. 2 9 2 4 (2)设两切线为 l1,l2, 当 l1x 轴或 l1x 轴时, l2x 轴或 l2x 轴,可知 P(3,2). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 l1与 x 轴不垂直且不平行时,x03,设 l1的斜率为 k,且 k0,则 l2的斜率为-,l1的方程为 y-y0=k(x- x0),与+=1 联立, 2 9 2
12、 4 整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, 直线 l1与椭圆相切,=0,即 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0, (-9)k2-2x0y0k+-4=0, 2020 k 是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的另一个根, 20202020 k=,整理得+=13,其中 x03, ( - 1 ) 2 0- 4 2 0- 9 2020 点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x3). P(3,2)满足上式. 综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13.
13、评析 本题考查椭圆的标准方程、 直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以及 方程思想的应用. 4.(2013 课标,20,12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆 心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y), 半径为
14、R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其 3 方程为+=1(x-2). 2 4 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以 R2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2.
15、3 若 l 的倾斜角不为 90,由 r1R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则=, | | 1 可求得 Q(-4,0), 所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得=1, |3| 1 + 2 解得 k=. 2 4 当 k=时,将 y=x+代入+=1, 2 4 2 4 2 2 4 2 3 并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2=. - 4 62 7 所以|AB|=|x2-x1|=.1 + 2 18 7 当 k=-时,由图形的对称性可知|AB|=. 2 4 18 7 综上,|AB|=2或|AB|=. 3 18 7 思路分析 (1)由动圆P与两定
16、圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心P的轨 迹,进而求得曲线 C 的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆 P 的半径最长时圆 P 的方程, 对直线 l 的倾斜角进行讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其 斜率与方程,将直线方程代入曲线 C 的方程,解出 x,再利用弦长公式求|AB|. 【三年模拟】 一、选择题(每小题 4 分,共 8 分) 1.(2018 浙江杭州二中期中,9)2 000 多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥 的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为
17、 PH,AB 为底面直径,顶角为 2,那么不过顶点 P 的平面:与 PH 的夹 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 角满足时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角=时,截口曲线为抛物线;与PH的夹角满足0 时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线 AMAB,过 AM 的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与 PB 的交 点为 C,可知 AC 为长轴.那么当 C 在线段 PB 上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线 答案 D 2.(2017 浙江镇海中学一轮阶段检测,7)已知二次函数 y=ax2+bx+c(ac0)图象的顶点坐标为 ,与 x 轴的交点 P,
18、Q 位于 y 轴的两侧,以线段 PQ 为直径的圆与 y 轴交于 F1(0,4)和 F2(0,-4), ( - 2 , - 1 4 ) 则点(b,c)所在的曲线为( ) A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线 答案 B 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 6 分) 3.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),12)在直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),动点 P 满足|PA|=|PB|,则点 P 2 的轨迹方程是 ;轨迹为 . 答案 x2+y2-12x+4=0;一个圆 三、解答题(共 45 分) 4.(2019 届浙江高考信息卷(五),21)已知圆 M:(x+2)2+y2=64
19、,定点 N(2,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 33 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足=2,=0. (1)求点 G 的轨迹方程; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)已知点 B(0,2),A、D 是曲线 G 上的两动点且 ABDB,若直线 AD 与以原点为圆心的圆总有公共点,求该圆 的半径 r 的取值范围. 解析 (1)连接GN,则|=|,|=|+|=|+|=8,根据椭圆的定义知点G的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长为 8 的椭圆,即 a=4,c=2,则 b2=a2-c2=4,故所求的轨迹方程是+=1. 3 2 16 2 4 (2)设直线 AB 的方程是 y=
20、kx+2,则直线 BD 的方程是 y=-x+2,由得(1+4k2)x2+16kx=0,xA=- = + 2, 2 16 + 2 4 = 1 ,从而 yA=,由得 xD=,yD=,则 kAD= 16 1 + 42 2 - 82 1 + 42 =- 1 x + 2, 2 16 + 2 4 = 1 16 2+ 4 2 2 - 8 2+ 4 - - =,直线 AD 的方程为 y-=,即 y= 2 - 82 1 + 42 - 2 2 - 8 2+ 4 - 16 1 + 42 - 16 2+ 4 2- 1 5 2 - 82 1 + 42 2- 1 5 ( + 16 1 + 42) 2- 1 5 x-,即直
21、线AD过定点,为使直线AD与圆x2+y2=r2总有公共点,只需r,即r的取值范围是. (0, - 6 5) 6 5, + ) 5.(2018 浙江新高考调研卷四(金华一中),21)已知动圆 O1过定点 A(2,0),且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 4. (1)求动圆圆心 O1的轨迹 C 的方程; (2)若 B(x0,y0)是动圆圆心 O1的轨迹 C 上的动点,点 P,Q 在 y 轴上,圆(x-2)2+y2=4 内切于BPQ,求BPQ 面 积的最小值及此时点 B 的坐标. 解析 (1)如图,设动圆圆心 O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当 O1不在 y 轴上时,过 O1作 O
22、1HMN 交 MN 于 H, 则 H 是 MN 的中点, |O1M|=|O1A|,=, 2+ 4( - 2)2+ 2 化简得 y2=4x(x0).又当 O1在 y 轴上时,O1与 O 重合,点 O1的坐标(0,0)也满足方程 y2=4x, 所以动圆圆心 O1的轨迹 C 的方程为 y2=4x. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设 P(0,p),Q(0,q),且 pq. 直线 PB 的方程:y-p=x, 0- p 0 化简得(y0-p)x-x0y+x0p=0,圆心(2,0)到直线 PB 的距离是 2,=2, |2(0- p) + 0 p| ( 0- p)2+ 20 从而 4(y0
23、-p)2+4=4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+p2,易知 x04, 2020 上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0=0, 同理,(x0-4)q2+4y0q-4x0=0, p+q=-,pq=-, 4 0 0- 4 4 0 0- 4 p-q=4, ( - 4 0 0- 4) 2 - 4(- 4 0 0- 4) 2 0+ 20- 40 ( 0- 4)2 B(x0,y0)是抛物线上的一点,=4x0,p-q=, 20 4 0 0- 4 SBPQ= (p-q)x0=232, 4 2 0 0- 4 ( 0- 4) + 16 0- 4 + 8 当且仅当 x0-4=,即 x0=8,y0=4时
24、取等号,此时 B(8,4).BPQ 面积的最小值为 32. 16 0- 4 22 6.(2018 浙江嘉兴高三期末,21)如图,AB 为半圆 x2+y2=1(y0)的直径,点 D,P 是半圆弧上的两 点,ODAB,POB=30.曲线 C 经过点 P,且曲线 C 上任意一点 M 满足|MA|+|MB|为定值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求曲线 C 的方程; (2)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 E,F,求OEF 面积最大时直线 l 的方程. 解析 (1)根据椭圆的定义,曲线 C 是以 A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中 2c=2,P.
25、( 3 2 ,1 2) 2a=|PA|+|PB|=+=+, ( 3 2 + 1) 2 + ( 1 2) 2 ( 3 2 - 1) 2 + ( 1 2) 2 2 +32 -3 a2=,b2=,曲线 C 的方程为+=1.(5 分) 2 3 2 2 1 2 (2)当直线 l 的斜率不存在时,OEF 不存在,所以直线 l 的斜率存在. 设过点 D 的直线 l 的斜率为 k,则 l:y=kx+1. 由得(2+6k2)x2+12kx+3=0, = + 1, 2 2 + 62= 3 =(12k)2-4(2+6k2)3=24(3k2-1)0,k2, 设 E(x1,y1),F(x2,y2), x1+x2=-,x1x2=,(8 分) 12 2 + 62 3 2 + 62 |EF|=|x1-x2|=,(10 分)1 + 21 + 2 24(32- 1) 2 + 62 又点 O 到直线 l 的距离 d=, 1 1 + 2 OEF 的面积 S=|EF|d=.(12 分) 6(32- 1) 2 + 62 令=,0,则 S=,当且仅当 =,即 =,也即 3k2- 3 2 - 1 6 2+ 2 6 + 2 6 22 3 4 2 1=2,k=1 时,OEF 的面积取到最大值. 3 4 此时直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=-x+1.(15 分)