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1、第二章 n 维向量,n 维向量及其线性运算,一、n 维向量的概念,1.定义1:,行向量,列向量,第i个分量,矩阵 A的行向量,矩阵 A的列向量,0 = ( 0,0,0 ),零向量,负向量,2.定义2:,二、n 维向量的线性运算,1.加法:,2.减法:,设向量,3.数乘:,线性运算满足8条运算规律,见教材.,向量组的线性相关性,一、线性相关性,1.定义1:,2.定义2:,0,(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.,(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.,(3) 任一含有零向量的向量组线性相关.,3.讨论向量组的相关性：
2、,解：,系数行列式为,方程组有非零解，即有非零的数,故,解：,即,O,O,O,= O,= O,即：,系数行 列式为,向量组的等价,1.定义1:,设有两个 n 维向量组,若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；,若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I ）与向量组（II）等价。,向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。,例1：,设 n 维向量组,证：,相关性的判定及有关重要结论,1.线性相关与线性组合的关系定理,证：,0,O,证：,0,0,矛盾,O,所以表示式惟一。,2.相关性的判定定理,定理3：在一个向量
3、组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。,推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。,解：,解：,证明定理4.,写成分量形式为,对A作初等变换,考虑A的r+1阶子式,按向量形式写，上式为：,0,推论1：当mn时，m个n维向量线性相关。,推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。,推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.,推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)n.,定理
4、5：若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 也线性无关。,用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。,推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关。,证明：,向量组的极大无关组,或,极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性.,注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;,2.向量组与其极大无关组等价;,3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.,例:求向量组的极大无关组.,极大无关组的性质,定理1：设有两个n维向量组,若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表 示，则r s.,证：设,
5、推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。,定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相 等。,注：,（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。,（2）向量组线性无关秩=向量个数。,定理3：,推论：等价的向量组有相同的秩。,必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。,= n,例2：,你能举一个 反例吗？,向量组的秩的求法,定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。,行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。,推论：矩阵的行秩与列秩相等。,这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩 阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。,例1：求向量组的秩。,解：,极大无关组的求法,列摆行变换法。,例2：求向量组的秩及极大无关组。,（记录法与逐个考察法就不介绍了。）,列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在 同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。,如上例，,求秩及一个极大无关组。,矛盾,反例：,但，行摆行变换不行！,我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组 也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：,这是一个非常 重要的关于秩 的不等式！,这又是一个非常有用的公式 。,详见参考书第 3739页。,