《第一章李群的概要1ThefirstchapteristhesummaryofLiQun连续群和李群从离散群到连续群.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章李群的概要1ThefirstchapteristhesummaryofLiQun连续群和李群从离散群到连续群.ppt（38页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章 李群的概要 1.1连续群和李群 1.11从离散群到连续群,群的分类（从元素的数目及分布角度）,群,ex:复数集合： ：,可用群的四条定义规则来检验： ） ） ） ）,显然： U(1)群是阿贝尔群 由连续变化, U(1)群的元素个数是不可数的，它是连续群，并且它具有以下特征： ）U(1)群的每一个元素都可用参数来标志，参数连续变化 ）乘积元数g()g()所相应的参数+是参数和的连续函数 ）逆元g()-1的参数也是的连续函数。,1.1.2 群的参量和连续群,群中各元素可看作某个抽象空间（群空间group space）中的一个点集（群流形group manifold）。 群中的每个元素都可以
2、唯一地用一组数（参数） 来表示元素与参量之间成一一对应的关系。 ex. U(1)群中元素的参量就是 SO(2)群元素 参量为,Def. 表示群元素所需要的最少数目的（实）参量称为必要参量（essential parameteis） ex. 若将一维平移群表示为： 这变换中的参数，就不是essential。,Def 若连续群的元素由r个必要参量决定： 则该群称为r阶连续群（r-parameter continons group），r称 为群的阶。 在离散群中（包括现在的无限离散群）的必要参量只有一个。 ex ，整数二维平移群Tmn： 其中m，n为整数。,图中每点代表一个群元素。各元素（m,n）的
3、编号如中所示只需要一个参量（红色编号）。,群 的 单位元素记作： 则 通常取 ，即,逆元素： 群的逆元素存在要求对任意的群参数，均有参数 存在， 使得 即群元素的逆元素的参数 与群元素参数有关系； （*）,封闭性： 由群的封闭性要求对任意的群参数和，必有群参数存在，使得： 因此，实参数必定是实参数和的函数： or （*） 这些函数称为群G的结合函数。 结合律： 结合律要求 于是结合函数应满足：,Def.1 如果 和 式中的函数 f 和 均是其变量的连续函数，则称群G为连续群。,Def.2 如果函数 f 和 是其变量的解析函数（对各个变量具有任何阶的导数），那么群G称为李群（Lie group）
4、。 （注： f 解析，则 g() 也解析） 对于李群，函数 f 和 均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。,Def. 若连续群的参量的数目r为有限，则该群称为有限连续群（finite contions group）,Def. 若表示连续群的参量均在一个有界区域内变化，且该区域为闭区域，则该群称为紧致的（compact）。,Def. 若对应于连续群中的两个群元素 与 的参量所定义的距离 则称这两个群元素互相趋近，记作： or ,1.1.3 李群,定义为连续群中，f 和 为解析函数。 因此，李群是连续群的一种。U(1)Lie group（1阶）。,一、r个参量的变换李群（r阶） 设变换为： 记
5、为,该变换的总体构成一个群 逆元： 逆元存在要求 即由（）式可解出xi，条件为雅可毕行列式不为零：,（）,封闭性： 要求： 其中参数 上式可写成 对于变换李群， 是它的绪变量的无限次可微函数 李群的独立参数有r个，则该李群的阶就是r 例如：U(1)为一阶李群 Def. 群参数变化的范围简称为群参数空间 ex, u(1),二 李群的例子,1G： 单位元： 逆元素： 封闭性： 2G： 单位元: 逆元： 封闭性 显然1和 2是连续任意阶可导。,3 ,4n维正交群O(n) 先看二维(实)正交群O(2)，在O(2)的变换下，保持实二维空间中矢量长度不变，即当 时，有 or 要保证矢量长度的不变，即 必有
6、 同理证出 由此，二阶矩阵A= 中的4个参量受到三个关系式的限制 O(2)是一个单参数李群,三个限制条件：,对于纯空间转动 detA=+1 纯空间转动群记为SO(2)，它的群元素为一个矩阵： 且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演 SO (2)是单参数的阿贝尔群，SO (2)与U (1)同构。 注意：高维转动群则是非阿贝尔群。 n维正交群O(n)实n维空间的线性变换群。它保持 不变。即 其中：A为n阶实矩阵 矩阵A的n2个实参数受到 个条件的限制,满足, n维正交群O(n)是 阶李群，记作： 其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。 另外： O(n)的子群SO(n) (A SO(
7、n);detA=+1) 代表n维实空间中的纯转动 根据陪集定理和拉格朗日定性，O(n)按子群SO(n)作陪集分解： 其中 为空间反演矢矩 O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。,Complex space 复空间,5n维么正群 二维复空间中，线性变换的22复矩阵U如果满足条件： uu+=u+u=I 这样的变换的总体构成二维么正群U(2)，U(2)的任一变换使二维复空间中矢量的内积保持不变，记作 对n维复空间的么正群U(n), 这是一个n2个实参数李群,n维复空间中的一般线性变换群,约束条件，可由二维复空间去验证,6n维特殊么正群SU(n) 二维复空间中，特殊么正群 称为二维么模么正群，（么
8、模 ） SU(2)是U(2)再加上条件 ，故SU(2)是3个实参数的李群。 对n维复空间的特殊么正群SU(n)为： 这个群有n2-1个独立实参数。,1.2李群的连通性,1.21连通性 Def. 如果群G的参数空间中任意两点均可用此空间中的一条连续曲线（道路）把它们连接起来，则称群G是连通的，否则就是不连通的。,disconnected group,connected group,Def. 若连通区域可作几条线互相之间不能用连续变形的办法，从一条变到另一条，则称为几次复连通区域。,若n=0，则称为单连通区域。,单连通,参数空间中有一个参数是使detA=+1变到detA=-1，这个参数将整个参数空
9、间分成两叶,1.22举例 ex.1 三维正交群O(3) O(3)是三参数李群，设AO(3)，则 detA=1 因此，O(3)的群参数空间分为不相连结的两叶，它们分别对应于detA=+1和detA=-1，因此，无法用属于参数空间的曲线连结这两叶，故O(3)群是不连通的 但SO(3)对应于detA=+1，是连通的,O(3) = O() O() O()，是绕三根轴的转角,解释O(2)群： 令 令为反演矩阵，则 det(A)=1,而det B=-1,ex.2,二维特殊么正群SU(2) uu+=u+u=1 det u=+1 考虑二介复矩阵 么正条件u+=u-1 给出 a=d*, b=-c* 由么模条件d
10、et u=ad-bc=1 得 |a|2+|b|2=1 令 由此可见，SU(2)的群参数空间由上式确定，它是一个四维球面，此球面是单连通的。 SU(2)为单连通李群。,1.23 紧致性 Def. 如果李群的参数空间是闭而有界，则称它为紧致李群。 例：一维 区间（1， 1）开区间 区间 1， 1 闭区间 ex. n维正交群O(n)是紧致群 证：如果AO(n) ，则 即 取k = l，得 对所有的i,k均为|Aik|1,因此O(n)是有界的。 显然，它的参数空间是闭的。它是紧致群 还有，容易证明：SO(n), U(n), SU(n)都是紧致李群 但U(1)是非紧致李群,1.3李群的生成元,李群的各元
11、素可用一组实参数来标志，当参数作连变化时，就对应于李群中诸元素的相继变更。因此，研究李群的性质，只需弄清它在单位元附近的性质就够了，（e=g(0)是人为取的） 其中 称为李群G的无穷小生成元，or：李群生成元。 对r阶李群，有r个线性无关的生成元Xk，虽然它们仅在群的单位元附近给出，但由生成元可导出整个李群的性质，即群的任一有限元素都可以由生成元来表达。,ex.1 SO(2) 二维旋转群的群元素可写为： SO(2)的生成元X为 如把不发生变化的Z分量考虑进去，旋转矩阵为： 对应R()的生成元 它就是轨道角动量的Z分量，JZ也叫生成元,ex.2 GL(2,R) 二维实空间的一般线性变换阵为： 它
12、的生成元为： 同理,它们满足对易关系：,ex.3 SU(2)=u:uU(2), det u=+1二维么模么正 群。 设u=1+a() 无究小参数对应的群元 由么正条件uu+=1得 即 a为反厄米矩阵 令 u=1+ib() 由么模条件 det u=1有 j不一定等于1，2，对SU(n)也成是 trace(b)=0,么模,对SU(2)群，b可取为 并令Xk=-iIk,则 1, 2, 3为三个泡利矩阵，它们的对易关系为： 其中jkl为三阶全反对称张量,仅有三个独立参量,ex.4 求SU(3) u:u U(3), detu=+1群表示的生成元。 群元： ij是无穷小量，显然: g()是无穷子群中的元素
13、 么模条件：detg()=1+ 11+ 22+ 33+O( 2)=1 11+ 22+ 23=0 一个约束条件 据上面g()的形式，可猜出,-(1),另一方面，据么正条件：g-1()=g+() 令 ij=pij+iqij 比较上面（1）和（2）式，有 （i=1,2,3）三个约束条件,-(2), (三个约束条件) （三个约束条件）,取：q11 q22 p12 p13 p23 q12 q13 q23 （为独立参量） 1 2 3 4 5 6 7 8（实参量） ,例：SO(3，R)=R(3) 三维空间转动（若取Eular角为转动角，由于不满足一一对应的条件，故这里不这样做）,（ 的方向为角动量 的方向）
14、,同理：,生成元的性质： 当很小时 逆元为： 因为：,得证,另外，在单位元g(0)附近，即，很小时 其中,-（1）,另一方面 -（2） 比较（1）和（2）式得 -（3） 必有： -（） 代入（3）式: 显Cm满足： （）式说明，李群的两个生成元的对易式可由r个生成元的线性组合表出，李氏第二定理。 李群的结构常数，它由生成元的对易式完全确定，在给定群参数的情况下，结构常数与群参数无关，是常数。 若将Xi看成r个基，它们的对易关系可视为相互乘法规则，形成所谓李代数。,李群的结构常数有以下的两个重要性质： （1） 下指标反对称 （2）根据Jacobi恒等式：,-（）,同理,即李氏第三定理（i=1r）,应该指出：李群的生成元和结构常数均与参数的选取有关。 例：如选=f()为参数，则,