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1、第一章 极限,内容提要,一、两个要素,1自变量的（可以无限进行下去的）变化过程；,二、性质,1唯一性；2局部有界性；3局部保号性,2此过程进行到一定程度之后保持有定义的函数,三、求极限的方法,1极限的运算法则,四则运算法则，无穷小及无穷大的运算法则（特别，o(1)O(1)=o(1)），连续函数的极限运算法则,2极限的过程代换,3极限的存在准则,（1）双边夹准则（2）单调有界必有极限准则,4两个重要极限,5函数的连续性,6洛必达法则,7等价无穷小替换,8有理函数的极限,9Peano型余项的泰勒公式,10定积分定义,11级数收敛的必要条件,12极限定义,例题,解：所求极限,另解1：所求极限,另解2
2、：所求极限,另解3：所求极限,解：所求极限,另解：所求极限,显然有,例3 证明：,证:,证毕,显然成立,例3 证明：,另证:,证毕,例4证明：,证：,证毕,解：由,有,再由题设,根据洛必达法则可知，有,即得,从而有,另解1：,即得,易知,另解2：,且由上式即知,另一方面，,及洛必达法则可知,再有题设知，上式极限=1，,证：,由递推公式，有,例11医生说：“流动水洗口罩好”，学生问：“好多少？”,模型1 肥皂、洗涤液使用充分，病毒均匀溶于水设湿口罩含水体积为V，开始时其中含病毒有1010个，洗涤中病毒均匀溶于水试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净,模型2病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓
3、度是口罩外水中病毒浓度的t倍，其他同模型1试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净,解：,当病毒个数小于1时，可认为口罩已洗干净将口罩中的含水量V作为用水量的基本单位，设总用水量限定为mV,模型1,以一盆水洗湿口罩，因为,水的总体积=盆中水的体积mV+口罩水的体积V= (m+1)V,湿口罩中残留病毒数量,故用静水洗涤干净所需用水量,若将总用水量mV分为两盆，水量分别为m1V 和m2V，,则口罩中残留病毒数,残留病毒数最少，,于是，用mV这么多水进行流动水洗口罩残留病毒数为,令病毒数,故用流动水洗净口罩所用水量,如此类推，将总用水量mV分为n等分，则将口罩逐次洗n次后，口罩残留病毒数量为,模型2病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩外水中病毒浓度的t倍,类似上面讨论可得，以一盆水洗湿口罩，,湿口罩中残留,故用静水洗净所需水量,病毒数量,而用流动水洗的情况下口罩残留病毒数等于,故所需水量,解：由,