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1、高一数学备课组 zzp,2. 标准差,2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,如何通过频率分布直方图估计数字特征 （中位数、众数、平均数）？,快乐回忆,估计众数：频率分布直方图面积最大的方条 的横轴中点数字.（最高矩形的中点） 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成 左右两边面积相等. 估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.,平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态,2.2.2 用样本的数字特征估计
2、总体的数字特征,思考：日常生活中比较两组数据的水平，我们通常计算平均数。比如：比较两个班级的数学成绩；两个地区的收入水平等但是，平均数所反映的信息有其不足之处吗？,甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：, 请分别计算两名射手的平均成绩；, 现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？,甲的环数极差=9-7=2 乙的环数极差=10-6=4.,反映数据离散程度的参考量之一:极差,应以什么来衡量整体数据的离散程度呢？,如何从数字上去衡量？,根据计算我们可以知道甲、乙两名射击手的平均成绩都是8环，但是相比之下,甲射击手的成绩大部分都集中在8环附近，而乙射击手的成绩与其平
3、均值的离散程度较大.通常,如果一组数据与其平均值的离散程度较小,我们就说它比较稳定.,请同学们进一步思考，什么样的数据能反映一组数据与其平均值的离散程度？,哦！与平均值的“偏差”之和(此处可介绍绝对值之和的计算方法并说明为什么不是用),-1,0,0,0,1,0,2,-2,2,-2,0,0,小明是全班最聪明的同学，小明想到了这样的方法,你的看法是什么？能用上面的方法比较两组数据的波动情况吗？,不能，正数、负数同样反映与平均数的偏差量，这样加的话正负抵消了，这样反映不了总体的偏差情况！,如果将每次的差都平方再求和，能解决上面的问题吗？试一下,此时甲求和后为2，乙求和后为16，可以解决上面的问题。,
4、那么这种方法适用于所有的情况吗？看一下下面的 问题，想一想，算一算，再来给出你的结论吧！,如果一共进行了七次射击测试，而甲因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定呢？用上面的方法计算一下填入下面的表格中，然后想一下这种方法适用吗？如果不适用，应该如何改进呢？,4,1,4,0,9,18,4,4,4,4,0,1,1,18,对，有的同学已经发现了这种方法在这里看似是适用的，但仔细想来两组数据并不一样多，这样对数据多的一组来说不公平！那么应该怎样解决呢？,对，咱们的同学真聪明！求平均数就可以解决了！,标准差：,s=,通常改用如下公式来计算标准差:,标准差的意义： 标准差越大, 数据的离散程度越大，数据在
5、平均值附近越分散; 标准差越小,数据的离散程度越小,数据在平均值附近越集中.,思考：标准差的取值范围是什么？,标准差为0的样本数据有什么特点,那言下之意，标准差反映的是数据的什么？,标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，标准差常被理解为稳定性。,例1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：,甲： ,乙： ,如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?,(1)、两人本次射击的平均成绩,(2)、计算标准差,例1中数据的离散程度与标准差之关系如下图：,乙的成绩更集中在平均数7附近,这叫做“数形结合”,也可通过频率分布条形图反映
6、出来,例题2:画出下列四组样本数据的频率分布条形图,说明它们的异同点.,解:四组样本数据的 条形图是:,(1),方差：从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：,计算公式：,练习 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 问哪种小麦长得比较整齐?,方差越小, 波动越小，越稳定。,比比谁最快,（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下： 9.4, 8.4 , 9.4,
7、 9.9, 9.6, 9.4, 9.7, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均值和方差分别为_.,（2）若给定一组数据x1,x2,xn,平均数为 ，方差为s2, 则ax1,ax2,axn的平均数是 ，方差是_.,( 3 )、在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：,试判断选谁参加某项重大比赛更合适？,（1）9.5, 0.016 （2） (3) 33， 33, 乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.,显然，在刻画样本数据的离散程度上，方差与标准差是一样的.但在解决实际问题时，一般多采用标准差.,课堂小结,二、用样本估计总体的两个手段: 1、用样本的频率分布估计总体的分布； 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 前提：需要从总体中抽取一个质量较高的样本, 才不会产生较大的估计偏差,且样本容量越大,估计的结果也就越精确,一、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： 1、 平均数-平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数据的平均水平. 2、标准差-样本容量越大,估计就越精确,标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度.,