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1、期末综合复习 -选修2-1圆锥曲线,空间向量与立体几何,求空间距离,求空间角,立体几何中的向量方法,空间向量的坐标运算,共线向量定理,空间向量的数量积运算,空间向量的加减运算,共面向量定理,空间向量的数乘运算,空间向量 及其运算,空间向量基本定理,用空间向量证明平行与垂直问题,直线的方向向量与平面的法向量,向量夹角与距离,平行与垂直的条件,知识网络,知识归纳,1.空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在课件中的推广,空间向量基本定理则是由二维到三维的推广. 是数形结合的纽带
2、之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 公式 是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角,再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等.,4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及有关的计算问题. 5.用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法. (1)线线平行:证两直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直:证两直线的方向向量垂直,即 (3)线面垂直
3、: 证直线的方向向量与平面的法向量垂直; 证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线; 利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性变式直线的方向向量.,(4)线面垂直: 证直线的方向向量与平面的法向量平行; 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行: 证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); 转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直: 证明两个平面的法向量互相垂直; 转化为线面垂直、线线垂直问题. 6.运用空间向量求空间角. (1)求异面直线所成的角: 注意两异面直线所成的角的范围 (2)求线面角:求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线
4、的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是,(3)求二面角: 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小;另一种方法市转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补. 7.运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离 (1)点与点的距离: 两点间的线段的长度,即对应向量的模. (2)点与面的距离:求解步骤 求出该
5、平面的一个法向量; 求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量; 求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得所求得点面距离.,例1 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC，DAB=90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中点 （）证明：面PAD面PCD； （）求AC与PB所成的角； （）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦.,证明：以A为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各点坐标为,典例解析,（）证明：因 由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD面PC
6、D,（）解：因,（）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在 使 要使 可知当 时,N点坐标为 能使 此时 为所求二面角的平面角,例2 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面 ABCD （）证明：AB平面VAD； （）求面VAD与面DB所成的二面角的余弦值.,，,证明： 以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系 （）证明：不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)， ， 由 得ABVA，又ABAD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直 AB平面VAD,（）解：设E为DV中点，则， 由 因此，AEB是所求二面角的平面角， 解得所求二面
7、角的余弦值为,例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2， E为PD的中点 （）求直线AC与PB所成角的余弦值； （）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，,解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B( ,0,0)、C( ,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0, ,0)，,从而 设 的夹角为 ，则 与所成角的余弦值为,（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)， ，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为 ，从而N点到AB和AP的距离 分别为,例4 如图，在长方体ABCD-A1B1
8、C1D1中, AD=AA1=1，AB=2,点E在棱AB上移动 （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到ACD1面的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1-BC-D的大小为,解：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1,0,1) 、 D1(0,0,1) 、E(1,x,0) 、A(1,0,0) 、C(0,2,0),（1）,（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而 ，设平面的法向为 ， 则 也即 ，得 ， 从而 所以点到平面的距离为,（3）设平面D1EC的法向量 ， 由 令， 依题意 （不合，舍去）， 时，二面角D1-EC-D的大小为,由于空间向量兼具“坐标” 、 “几何”两种形式,使得空间向量及其平行垂直的充要条件都有坐标形式和几何形式,加之向量的数量积不仅是一个实数,而且与向量的夹角及其余弦值紧密相关,使得空间向量必然成为沟通数学各分支的重要工具,通过空间向量可以将立体几何中的一些复杂的问题,避开繁难的找作证等过程,只需进行向量的运算就可以解决.,规律总结,