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1、3.3 解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,初值问题,引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任 意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不 等式 .其中 为所考虑 区间内的某
2、一值。,证明,则,于是,因此,两边取平方根即得,2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有 定义,且,方程,思路分析：,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运
3、动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,第三步:证明,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,3 定理2 (解对初值的连续性定理),条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,证明,令,二 解对初值的可微性,1 解对初值和参数的连续依赖定理,2 解对初值和参数的连续性定理,3 解对初值可微性定理,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,即,和,于是,设,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,则,的解,不难求得,即,和,于是,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,的解,不难求得,初值问题,例1,解,由公式得,作业,P92 1,3,4,