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1、高中数学 必修5,1.1 正弦定理,一.创设情境,某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?,.C,现在岸边选定1公里的基线AB, 并在A点处测得A=600，在C点测得 C=450,如何求得B.C两点的距离?,.B,.A,探究1：你能把它转化成数学问 题，写出已知量和要求的量吗？,探究2：在三角形ABC中， 如何求边BC的长呢？,二.学生活动,讨论一：,直角三角形中边角关系有哪些？你能总结出一个式子吗？这个式子对所有三角形都适用吗？,在RtABC中,各角与其对边的关系:,不难得到:,C,B,A,a,b,c,数学建构,实验认证，体验感知
2、,利用几何画板，在任意三角形中 对上述猜想进行验证。,猜想：对于任意三角形ABC,都有,验证能代替证明吗？,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?,讨论三：,以上证明方法体现了一种什么样的数学思维规律？,答 体现了由特殊到一般的数学思维规律。,二.正弦定理,在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即,1它适合于任何三角形。,2每个等式可视为一个方程：知三求一,讨论四：,什么叫解三角形？利用正弦定理可以解决哪两类三角形的问题？,解三角形是指由六个元素（三角形的三条边和三个角）中的三个已知元素，求其余三个未知元素的过程.,探究：,具备下列哪个条件，可以直接使用正弦定理解三角形？,答案：,（
3、1）（4）,剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,已知两角和一边，求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.,例1. （开头引例）在三角形ABC中， 如何求边BC的长呢？,解:由正弦定理得:,已知两角和任一边求其他两边和一角,四.数学应用,例1. （开头引例）在三角形ABC中， 如何求边BC的长呢？,已知两角和任一边求其他两边和一角,四.数学应用,例 2,已知a=16， b= ， A=30 解三角形。,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,在ABC中，已知a=1
4、6，b= ， B=45 .求角A，C和边c,变题,解：由正弦定理,得,所以,A30,或A150,C=105,所以C无解,当A150时,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,在三角形中 大边对大角,要当心 哦!,所以,四.数学应用,三角形中的边角关系,正弦定理,定理内容,定理证明,定理应用,学生总结,1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。,五、当堂检测,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（
5、3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,解:(1)由正弦定理得:,即三角形ABC有一解.,练习,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,B,解:()由正弦定理得:,即三角形ABC有两解.,练习,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一
6、解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,B,解:()由正弦定理得:,即三角形ABC无解.,所以无解,作业：,课本第11页习题1.1的 1(1)、（3） 、(4),2(1) 、(2)题;,RTX讨论五：,为什么在 “已知两边及其中一边对角”解三角形问题中有一解、两解和无解三种情况？,已知边a,b和角，求其他边和角,为锐角,为直角或钝角,数学建构,若A为锐角时:,若A为直角或钝角时:,已知
7、a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:,已知 中，A=30，a=m ，c=10，有两解，则m范围是 。,思考,解:,即,五、当堂检测,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,解:(1)由正弦定理得:,即三角形ABC有一解.,练习,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D
8、、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,B,解:()由正弦定理得:,即三角形ABC有两解.,练习,（1）已知 中，A= 30，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（2）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,（3）已知 中,A=30, a= ，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定,A,B,解:()由正弦定理得:,即三角形ABC无解.,所以无解,1.根据下列条件解三角形：,（2）,（1）,1.(1),(2),练习答案,六.补充作业,作业：,课本第11页习题1.1的 1(1)、（3） 、(4),2(1) 、(2)题;,