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1、第六章 波色系统：超流性,6.1液He中的超流相变,自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 。 是费米子， 是玻色子。氦原子间相互作用很弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体。 液He有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度 和比容 处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数形式趋于无穷大，表明这是二级相变。比热线很像，因此此相变又称为相比，曲线AB称为线。在T=0附近，比热以 规律趋于零。,6.2 液He II的特
2、性 二流体模型,只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一； 只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二； 机械制热效应：由毛细管流出的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三； 特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。 由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若
3、和 方向一致，则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则可能在保持总密度 基本不变的情况下， 分别有涨落。由于超流成分熵为零， 的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。,6.3 超流体的涡旋运动,昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组织化的运动”-量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相以匀速 运动，则系统波函数为： 这里 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位移
4、引起的波函数的相位变化为： 现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到其最近邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位变化必为2的整数倍，即 注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分： 这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理， S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的积分可以随S连续地趋于零，但右方不能连续变化，故只有,6.4 朗道超流理论,朗道理论的基本图像是把液He II看成受弱激发的量子波色系统，弱激发态与基
5、态(T=0K)的偏离表现为在安稳的背景上出现了由元激发或准粒子组成的气体，后者与二流体模型中的正常液体成分对应，而前者代表超流成分（回忆上章最后一节的另一个例子）。 当温度很低时，元激发的密度很低，可以把它们看作元激发的理想气体。令 和 代表元激发的动量和能量， 表示相应的元激发数，则系统低激发态的总能量和动量为： 朗道进一步假设液He II中存在两种不同的波色型元激发（准粒子），即声子和旋子。当 时，液He II的比热随 变化，这是声子的特征，其能谱为=cp，c为声子速度。当温度稍高时，比热有一如exp-/kBT的附加项，其中为常数。由此推测对较大的动量，元激发能量有一个能隙，朗道假定在这个
6、动量范围内能谱为： 是旋子的有效质量。 热力学性质： 这里准粒子被看作是理想波色气体，准粒子数目不 确定，系统的化学势为零。准粒子在能量 的平均占 据数为： 由此可得内能： 和定容比热,因此声子部分贡献的比热为： 旋子贡献的比热在假设 为小量时，可得 这些结果与实验符合的很好。 超流的临界速度(T=0)： 设质量为M的超流体以宏观速度v运动，其动量和能量为： 因此动量和能量的任何变化必满足： 设这一变化是由超流体产生了一个新的元激发引起，其动量为 ，能量为 。 按能量和动量守恒，元激发的动量和能量必由消耗超流体的宏观流动的动量和能量而来，故 因此我们有 或 上式说明，要能产生元激发，必须超流体
7、的宏观流速大于 ；反之对一切小于 的v值，则由于宏观流动而产生新的元激发是不可能的，即流体继续保持超流。由此得到超流判据： 即为超流的临界速度。由此易知自由粒子能谱 不可能有超流，因,6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换,这里我们用一个简并型近理想波色气体模型来来微观地给出液He II的声子能谱。 近理想气体是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微扰）的粒子系统。此外我们仅考虑系统的低温性质，这时量子效应很明显。几个相关参数： 散射长度a,它反映相互作用势的强度和作用范围； 平均热波长 ，它代表粒子波包的平均空间范围，属于量子效应，低温时 可以很大； 粒子间平均距离: （n为气体密
8、度）。 我们假定这三个参数间有如下关系（L为容器线度）： 因此相互作用可以按小量 展开。 哈密顿量及其简化： 设近理想波色气体由N个全同的，自旋为零的波色子组成，系统哈密顿量为： 采用二次量子化表述，上式可写为： 其中第二式的求和要满足动量守恒条件， 及 分别为动量为p的单粒子态的产生和湮灭算符，它们满足波色算符的对易关系： 相互作用矩阵元为 其中 是动量为p的单粒子态的波函数。,把波函数表达式代入即可得 这里 在低温下，由量子力学低能散射的波恩近似，对散射长度a我们有: 在低能散射下，动量转移p很小，可取近似 。因此 因此体系的哈密顿量可写为： 再进一步，我们可以考虑波戈留波夫近似，即 和
9、近似地代之以C数（可交换数） 而且由于我们只考虑低激发态，有： 因此 和 可看作小量，我们只保留到二次项，而略去三次及以上的高阶小量。故 其中 二次项的六项近似为 因此哈密顿量最终近似为：,波戈留波夫变换： 类似上章末节，我们可以通过波戈留波夫变换来把哈密顿量严格对角化。 引入新的波色产生和湮灭算符 和 ： 其中 和 为两个待定参数，常取为实数，且 可以验证若令 则 和 满足波色对易关系（注意这两个参数还有一个自由度）。上式的逆变换为： 带入到哈密顿量表达式中得 我们可取两个待定参数的值使得： 则上式最后一项为零，哈密顿量被对角化。 解出参数的值可得： 其中:,从上面u和 的结果我们发现，如果
10、散射长度a0，u为虚数，从而对某些动量 的元激发可使 为虚数，这是粒子间存在吸引作用不可能产生波色-爱因斯坦凝聚的原因。,于是哈密顿量可看作能量为 的假想粒子（准粒子或元激发）的能量之和， 是准粒子的粒子数算符。而 为基态能量。把求和换做积分后可解出 ： 由此可得单个粒子的平均基态能： 在T=0K时，我们有： ，于是 化学势： 压强： 普通声速为： 能谱： 由前面的能量公式，容易发现： 我们得到了声子谱，但没有旋子谱。 超流判据：由上节，稳定的超流态速度需满足： 这是可以实现的，但也要求系统有排斥势。,故哈密顿量为： 其中,由于二流体模型中的正常部分由元激发组成，因此液He II中正常部分的质量密度可从准粒子气体来求出。 设准粒子气体整体以宏观平移速度 相对于液体运动，这时气体的分布函数为 其中 是静止时的分布函数。于是单位体积气体的动量为： 在 很小时，把 按 展开，有 由于易知大括号内第一项积分为零，所以 这就获得了液He II中正常部分的质量密度。 对声子谱， 利用波色-爱因斯坦分布可得 对旋子谱，用玻耳兹曼分布近似表示其分布，我们可得 由这两个表达式可知，温度非常低时声子对正常部分的贡献较大，但在3.6 K，二者的贡献差不多，更高温时旋子的贡献占优。,