《期中复习概率部分.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期中复习概率部分.ppt（142页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第一章 随机事件,一、重点与难点,1.重点,随机事件的概念,古典概型的概率计算方法,概率的加法公式,条件概率和乘法公式的应用,全概率公式和贝叶斯公式的应用,2.难点,古典概型的概率计算 全概率公式的应用,二、主要内容,随机 现象,随机 试验,事件的 独立性,随 机 事 件,基 本 事 件,必 然 事 件,对 立 事 件,概 率,古典 概型,几何 概率,乘法 定理,事件的关系和运算,全概率公式与贝叶斯公式,性 质,定 义,条件 概率,不可能事件,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.,随机现象,可以在相同的条件下重复地进行;,每次试验的可
2、能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果;,进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.,在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验,样本空间的元素 ,即试验E 的每一个结果, 称为样本点.,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为 S.,随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随机事件, 简称事件.,随机事件,不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.,必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件 的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.,基本事件 由一个样本点组成的单点集.,必然事件 随机试验中必然会出现的结果.,重要的随机事件,事件的关系和运算,
3、(1) 包含关系,若事件 A 出现，必然导致事件 B 出现，,则称事件 B 包含事件 A，记作,图示 B 包含 A .,S,B,(2) A等于B,(3) 事件A与B的并(和事件),图示事件 A与 B 的并.,S,A,若事件 A 包含事件 B , 而且事件 B 包含事件 A, 则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B.,(4) 事件A与B的交(积事件),图示事件 A 与 B 的积.,S,A,B,AB,(5) 事件A与B互不相容 (互斥),若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现 , B 出现也必然导致 A 不出现,则称事件 A 与 B互不相容,即,图示 A 与 B 互不相容（互斥） .,S
4、,(6) 事件A与B的差,由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,S,A,B,设A表示“事件A出现”, 则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作,图示 A 与 B 的对立 .,S,B,若 A 与 B 互逆,则有,(7) 事件A的对立事件,说明 对立事件与互斥事件的区别,S,S,B,A，B 对立,A，B 互斥,互斥,对立,事件运算的性质,(1)频率的定义,频率,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,(2)频率的性质,概率的定义,概率的可列可加性,概率的性质,n 个事件和的情况,定义,等可能概型 (古典概型),设试验 E
5、 的样本空间由n 个样本点构成, A为E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率记为:,古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,几何概型,当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意 一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是 等可能的,则事件A的概率可定义为,条件概率,同理可得,为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,(1) 条件概率的定义,(2) 条件概率的性质,乘法定理,样本空间的划分,全概率公式与贝叶斯公式,全概率公式,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将 一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单 事件的概率计算问题,最后
6、应用概率的可加性求出 最终结果.,贝叶斯公式,称此为贝叶斯公式.,事件 A 与 B 相互独立是指事件 A 的概率与事件 B 是否出现无关.,说明,事件的相互独立性,(1)两事件相互独立,(2)三事件两两相互独立,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,(3)三事件相互独立,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,重要定理及结论,两个结论,三、典型例题,P63：4,5,8,P67：21,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第一章 随机变量及其分布,一、重点与难点,1.重点,(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律,正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率
7、的计算,2.难点,连续型随机变量的概率密度函数的求法,二、主要内容,随 机 变 量,离 散 型 随机变量,连 续 型随机变量,分 布 函 数,分 布 律,密 度 函 数,均 匀 分 布,指 数 分 布,正 态 分 布,两 点 分 布,二 项 分 布,泊 松 分 布,随机变量 的函数的 分 布,定 义,随机变量是一个函数 ,但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,(1)随机变量与普通的函数不同,随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定
8、的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,(3)随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,随机变量的分类,随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.,随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)说明,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.,两点分布,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布,两点分布,二项分布,泊松分
9、布,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取 值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,离散型随机变量的分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,若X是连续型随机变量 ，X=a 是不 可能事件, 则有,若 X 为离散型随机变量,连 续 型,离 散 型,(3)注意,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布(或高斯分布),(1)定义,(2)分布函数,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(3)标准正态分布,标准正态分布的图形,(4)重要公式,随机变量的函数的分布
10、,(1)离散型随机变量的函数的分布,(2)连续型随机变量的函数的分布,定理,三、典型例题,P62：15,20 P64：13,18,19,P70：45,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第二章 多维随机变量及其分布,一、重点与难点,1.重点,二维随机变量的分布,有关概率的计算和随机变量的独立性,2.难点,条件概率分布,随机变量函数的分布,定 义,联 合 分 布 函 数,联 合 分 布 律,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,条 件 分 布,两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布,随 机 变 量 的 相 互 独 立 性,定 义,性 质,二 维 随 机 变 量,推 广,二、主要
11、内容,二维随机变量,(1) 定义,二维随机变量的分布函数,且有,(2) 性质,(3) n 维随机变量的概念,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为:,二维离散型随机变量的分布律,离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为,二维连续型随机变量的概率密度,(1) 定义,(2) 性质,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,(3) 说明,(4) 两个常用的分布,设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度,则称( X,Y )在D上服从均匀分布.,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布
12、的两个边缘分布都是一维正态分布.,边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数.,离散型随机变量的边缘分布,随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为,联合分布,边缘分布,连续型随机变量的边缘分布,同理得 Y 的边缘概率密度,(1) 离散型随机变量的条件分布,随机变量的条件分布,同理可定义,(2) 连续型随机变量的条件分布,联合分布、边缘分布、条件分布的关系,联合分布,随机变量的相互独立性,说明,(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为,二维随机变量的推广,其它依次类推.,(5) 随机变量相互独立的定义的推广,随机变量函数的分布,(1)离散型随机变量函数的
13、分布,当 X, Y 独立时,(2)连续型随机变量函数的分布,当 X, Y 独立时,则有,推广,三、典型例题,例1,解,(1) (X,Y)的联合概率密度为,(2)由题意得,-1,1,当|x|1时，f(x, y)=0，所以 f(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).,且独立，,则 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,泊松分布的可加性,若 X
14、 P(1) ，Y P(2)，,注意： X Y 不服从泊松分布.,且独立，,则 Z = X+ Y P(1+2).,正态分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注意： X Y 不服从 N( ).,且独立，,则 Z = X Y N( ).,X Y N( ).,独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则,P107：6 P109：5,6,P114：29,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第三章 随机变量的数字特征,一、
15、重点与难点,1.重点,数学期望的性质和计算,2.难点,数字特征的计算,方差的性质和计算,相关系数的性质和计算,二、主要内容,数学期望,方 差,离散型,连续型,性 质,协方差与相关系数,二维随机变量的数学期望,定 义,计 算,性 质,随机变量函数的数学期望,定 义,协方差的性质,相关系数定理,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1. 设C是常数, 则有,2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有,3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有,4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,二维随机变
16、量的数学期望,同理可得,则,则,方差的定义,方差的计算,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,方差的性质,1. 设 C 是常数, 则有,2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,协方差与相关系数的定义,协方差的性质,相关系数定理,三、典型例题,P174：1,5,10,24,P170：2,9,11,12,14,21,22,P179：19,30,31,第三章 大数定律及中心极限定理,二、主要内容,三、典型例题,一、重点与难点,一、重点与难点,1.重点,中心极限定理及其运用.,2.难点,证明随机变量服从大数定律.,大数定律,二、主要内容,中心极限定理,定 理 一,定理二,定理三,定理一,定理二,伯努利大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,辛钦定理,独立同分布的中心极限定理,德莫佛拉普拉斯定理,三、典型例题,P182:41,45,