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1、 湘潭大学本科毕业设计说明书湘 潭 大 学 毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：基于LMI的单级倒立摆鲁棒控制器设计 学号： 2007550431 姓名： 柯建 专业： 自动化 指导教师： 兰永红 系主任： 易灵芝 一、主要内容及基本要求 倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能提供一个从理论到实践的桥梁。熟悉单级倒立摆系统的组成、工作原理；分析单级倒立摆的工作原理和非线性
2、数学模型，在MATLAB环境下建立单级倒立摆仿真模型；了解鲁棒控制器和线性矩阵不等式，学会解线性矩阵不等式。利用解线性矩阵不等式设计单级倒立摆的鲁棒控制器；在非脆弱情况下，利用线性矩阵不等式设计单级倒立摆的鲁棒控制器。 二、重点研究的问题 （1）熟悉单级倒立摆系统的组成、工作原理； （2）熟悉软件MATLAB，并会用simulink仿真，同时学会解线性矩阵不等式等一些常用的控制语句进行编程； （3）分析单级倒立摆非线性数学模型，在MATLAB环境下建立单级倒立摆仿真模型； （4）分析单级倒立摆的鲁棒控制曲线； （5）利用解线性矩阵不等式设计单级倒立摆的鲁棒控制器。 三、进度安排序号各阶段完成的
3、内容完成时间1查阅有关资料、熟悉MATLAB软件2011.2.17-2011.3.72开题报告、制订设计方案2011.3.7-2011.3.173仿真模型建立2011.3.17-2011.3.274仿真调试、分析等2011.3.27-2011.4.205写出毕业设计说明书初稿2011.4.20-2011.5.106修改，写出毕业设计说明书第二稿2011.5.10-2011.5.207写出毕业设计说明书正式稿2011.5.20-2011.6.18答辩2011年5月四、应收集的资料及主要参考文献1 申铁龙. 控制理论与应用M . 北京:清华大学出版社,1996 :54 612 俞立 鲁棒控制-线性
4、矩阵不等式处理方法M北京：清华大学出版社，20023 林瑞全，杨富文基于H。控制理论的非脆弱控制的研究J控制与决策，2004，19(5)：598-6004 张志涌，杨祖樱 .MATLAB教程R2010a .北京：北京航空航天大学出版社，20105 赵广元. MATLAB与控制系统仿真实现. 北京：北京航空航天大学出版社,2009 目 录摘 要IIAbstractII第一章 引言31.1倒立摆系统及其研究意义31.2倒立摆控制在国内外的研究现状21.3 鲁棒控制理论发展概述4第二章 基础知识52.1鲁棒控制理论基础52.2线性矩阵不等式基础72.3 MATLAB简介及基础知识9第三章 倒立摆的鲁
5、棒控制器设计103.1问题描述103.2基于LMI 的状态反馈控制器的设计113.3仿真及其结果13第四章 非脆弱性鲁棒控制器设计184.1问题描述184.2非脆弱鲁棒 控制问题的求解194.3仿真及其结果20参考文献25附 录26基于LMI的单级倒立摆鲁棒控制器设计摘 要倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合控制系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能提供一个从理论到实践的桥梁。本文利用线性矩阵不等式方法设计状态反馈
6、控制器，给出系统具有性能的线性矩阵不等式的条件，并用倒立摆系统实例及其仿真来验证设计方法的有效性和优越性。研究了控制器增益在加法式摄动下的非脆弱鲁棒 控制问题，基于线性矩阵不等式(LMI)理论。提出了非脆弱鲁棒 控制器存在的充分条件，将具有控制器增益不确定性的非脆弱鲁棒控制器设计问题，化为具有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题求解，得到了一种非脆弱鲁棒 状态反馈控制器的简化设计方法。在设计状态反馈控制器时，本文采用求解Riccati方程的方法。因而对广义被控对象来说，评价指标的确定就成为系统设计的关键，本文在理论分析和仿真中对它的实现做了分析，得出了比较合理的参数，保证了设计状态反馈
7、控制器的合理和有效性。关键词：控制；倒立摆；状态反馈；非脆弱控制； 增益摄动； LMI方法 Abstract Inverted pendulum is a control system, with the feature of high order，instability，multivariable，non-Iinearity and tight couplingIts stable controlling is a typical example of application to control theoryInverted pendulum have severe uncertainty
8、，there are two factors：uncertainty of system parameter and disturbance of uncertain factorsThecontrol theory issues not only can be solved through the study of inverted pendulum, but the study can give a bridge between theory and practiceIn this paper，the state feedback H。controller is designed via
9、linear matrix inequality(LMI)approach，A sufficient condition for the given systems with properties is presented in terms of a certain LMI，an inverted pendulum system and simulation are presented to illustrate the effectiveness and superiority of the design methodResearch the controller gain and Fren
10、ch perturbation in the fragile robust control problem, based on linear matrix inequality (LMI) theory. Puts forward the fragile robust controller, the sufficient condition of the existence of the controller gain uncertainty has not fragile robust controller design problem with linear matrix inequali
11、ty constraints as objective function and the linear convex optimization problem, to be a non fragile robusstate-feedback controller to simplify the design method. In a state feedback controller is designed, this paper Riccati equation method in solving. Thus the generalized controlled object, it bec
12、omes the determine evaluation index system design, this paper the key on the theoretical analysis and the simulation of its realization made analysis, obtained more reasonable parameters and assure the design state feedback controllers are reasonable and effective.Keywords: control; Handstand pendul
13、um; State feedback; The fragile control; Gain perturbation; LMI method 第一章 引言1.1倒立摆系统及其研究意义 杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技艺的精湛引人入胜，更重要的是其物本质与控制系统的稳定性密切相关。它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。这一规律 己成为当今航空航天器设计的基本思想，即牺牲飞行器的自然稳定性来确保它的机动性。不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化为一个倒置的倒立摆，也就是人们常称之为倒立摆或一级倒立摆系统。 在控制理论发展的过程中，某一
14、理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆系统的最初分析研究开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是控制理论应用的一个典型范例。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方而是系统的参数的不确定性，一方而是系统的受到不确定因素的干扰。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还将控制理论涉及的相关主要学科：机械、力学、数学、电学和计算机等进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程中，存在一种可行性的实验问题，将其理论和方法得到有
15、效的验证。 倒立摆系统可以提供一个从控制理论通过实践的桥梁。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如精密仪器的加工、机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、导弹拦截控制、航空对接控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属这类问题。 近些年来，国内外不少专家、学者一直将它视为典型的研究对象，提出了很多控制方案，对倒立
16、摆系统的稳定性和镇定问题进行了大量研究，都在试图寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控制。因此，对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。1.2倒立摆控制在国内外的研究现状自从20世纪50年代倒立摆系统成为控制实验室的经典工具以来，关于倒立摆控制的论述可以分为两个主要的方面：理论方面，依靠计算机仿真对控制方法的可行性进行验证；实验方面，调查引起计算机仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。在理论方面，Chung和Litt(1986)对单级倒立摆系统进行了辨识，并分别设了自适应自整定反馈控制器和PD反馈控制器来保持倒立摆在垂直向上方向的稳定1989Ander
17、son和Grantham运用函数最小化Lyapunov稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。1992年，Henders和SoudakE通过相平面分析，得到了一个线性控制器。1995年，任章等应用振荡控制理论，通过在倒立摆支撑点的垂直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统本身的稳定性。1998年，蒋国飞等将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。2001年，单波等利用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆的控制进行了仿真。在两级倒立摆方面，Sabba(1983)把系统稳定尺度作为一个无限维不等式，从而避免了Lyapunov方法。1996年，翁正新等
18、利用带观测器的状态反馈控制器对二级倒立摆系统进行了仿真控制。1997年，翁正新等利用同样的方法对倾斜导轨上的二级倒立摆进行了仿真控制。2000年，刘妹琴等用进化RBF神经网络控制二级倒立摆。1994年，Sinha和dosephE，利LyapunovFlquet变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型。2001年，李洪兴时领导的模糊系统和模糊信息研究中心利用变论域自适应模糊控制的思想在国际上首次实现了四级倒立摆的仿真；同年，肖军等提出一种基于三维模糊组合变量的控制方法，仿真结果证明了该方法的有效性。在数学模型方面，Lamombe(1991，1992)得到了在二维坐标中的简单多级倒立摆系统的运动方
19、程。1992年，Larcombe和Torsney发现了简单多级倒立摆系统平衡状态的辨识方程。随后，Larcombe(1993)把符号算法应用于两级倒立摆系统的开环线性化动态方程，并且计算了系统的特征方程和开环极点。 在实验方面，单级倒立摆系统的实验最早出现在Roberge(1960)的论文中。1963年，Higdon和Cannon提出了平行倒立摆的问题。Koenigsberg和Fredrick(1970)，则使用基于观测器的输出反馈控制器和状念反馈调节器。Mori等(1976)设计了一个组合控制器，既可以摆起倒立摆，还可以维持它在垂直向上方向上的平衡。1992年，Simth和Blackburn
20、E，利用高频垂直振荡获得稳定的倒置状态：同年，Ostertag和Carvalho一0stertag开发了一个带摩擦力补偿的稳定模糊控制器。Wei等(1995)利用bang-bang非线性控制器摆起了倒立摆并稳定在垂直向上方向。1996年，张乃尧等实现了倒立摆双闭环模糊控制。对于二级倒立摆，Sturegeon和Loscutof(1972)认为只有全阶观测器才能实现它的稳定：但Furuta等(1975)，证明了这种结论的错误性并在1978年利用一个线性函数观测器稳定了同一系统。1980年，Furuta等控制了倾斜导轨上的同一系统，并能保持小车的正确定位。Zu-ren等在1984年运用部分状态和线性
21、函数观测器结构，在模拟计算机上应用了同一算法，1987年他们使用离散二次性能指标修改了这一控制器。1993年，Van DerLinden和Lambrechtsn运用理论设计倒立摆的控制器时考虑了干摩擦。Yamakta等(1993)运用学习控制方法成功摆起了二级倒立摆系统，而且在1994年他们运用这相同的控制方法使倒立摆在四种平衡状态中互相切换。1995年，程福雁等利用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制，取得了较好的效果。在三级倒立摆方面，Furuta(1984)和Meier等(1990)，分别利用带函数观测器和降阶观测器的LQR方法设计了反馈控制器。1999，张飞舟等采用相平面分析法并结合
22、人的控制经验，实现了一、二、三级倒立摆的拟人智能控制。2000年，杨亚炜等利用拟人智能控制成功实现了在倾斜导轨上三级倒立摆的稳定，并可以控制三级倒立摆沿水平或倾斜导轨自由行走。1.3 鲁棒控制理论发展概述控制系统广泛存在于人们的日常生活中，无论是航空领域，工艺生产线，还是普通的家用电器，都存在着系统的控制问题。系统的控制作为关系到社会发展的一个重要课题，长期以来受到了人们的普遍关注，形成了基于频域空间的经典控制理论和基于状态空间的现代控制理论。传统的控制理论和方法如经典控制理论、现代控制理论和自适应控制理论等，都要求控制对象的精确模型或要求对象模型的不确定性和外界干扰满足特殊的假定，然而在实际
23、控制系统中，要获得控制对象的精确模型是困难的，甚至是不可能的，对象的不确定性和外界干扰也往往不满足特殊性的假设。因而传统控制理论与实际工程应用之间出现了较大的差距。我们来简单回顾一下控制思想提出的背景。在60年代，被称为现代控制理论的状态空间方法得到很大的发展，出现了以Kalman-Bucy滤波器和最优二次调节理论为基础的LQG反馈设计(控制)方法。然而许多现代控制理论的成果，包括LQG理论，在许多实际控制系统设计中未能获得较好的应用，主要原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。以LQG设计为例，一方面，它需要精确的数学模型。在系统模型具有不确定性时，LQG设计就不
24、能保证系统具有鲁棒性；另一方面，在LQG设计中需要将干扰信号假定为白噪声，或假定干扰信号的统计持性已知，然而在实际问题中，干扰的统计特性已知的情况很少，且干扰信号也会随着系统的运行而发生变化。由于上述原因，LQG设计方法虽然理论上很漂亮，但实际应用并不成功。针对LQG设计中对干扰信号所需限制的不合理性，Zames在1981年提出了著名的控制思想。Zames考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个有限能量的信号集的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的范效可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影响的传递函数的正细范数作为目
25、标函数对系统进行优化设计，就可使具有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。可以看出以范数作性能指标还具有如下优点：(1)可以处理在具有变功率谱的干扰下系统的控制问题；(2) 范数具有乘法性质：这一性质使其便于研究对象具有不确定性时的鲁棒稳定问题。控制作为鲁棒控制理论的一个主要分支，其发展过程可分为如下三个阶段描述第一阶段是从1981年到1984年，控制理论主要使用逼近方法和插值方法。逼近方法借助于AAK理论，在算法上取得了一定的进展，但理论较为复杂；插值方法使用NevanlinnaPick插值理论以及矩阵形式的Sarason理论，具有概念直观的特点，但缺乏有效的算法。1984年Honeywe
26、ll公司举办的控制研讨会上，Doyle和Glover等对当时的控制理论进行了总结，从而形成了“1984年方法”。控制理论发展的第二阶段是1985年至1988年。在此期间控制获得突破，并且发现灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问题、混合灵敏度优化问题、跟踪问题、两自由度问题、滤波问题、和模型匹配问题等许多控制问题都可统一于标准问题。1987年问世的Francis关于控制的书“a course incontrol theory”是第一部控制理论专著。1988年美国学者Doyle和英国学者Glover等在全美控制年会上发表了著名的“2-Riccati方程”的解法，证明了控制问题可以通过求解两个适当的代数黎卡
27、提(Riccati)方程得到。控制理论发展的第三阶段从1989年至今，是该理论逐步完善和推广的阶段。有关标准控制问题解法的研究成果有Green等提出的J-谱分解方法、Kimura提出的基于(J，J)-无损分解理论的控制问题解法以及几种纯时域解法如微分对策方法、极大值原理方法等。控制问题的纯时域解法不仅可以解决线性时不变系统的问题，还可以用来处理时变系统、分布参数系统、非线性系统、奇异摄动系统的控制问题。另外，近年来线性矩阵不等LMI方法在求解控制问题中应用也取得了一些研究成果。控制理论作为鲁棒控制理论的重要组成部分，迄今已取得了一系列研究成果，并且在今后仍将成为控制理论与工程界的研究热点。 第
28、二章 基础知识2.1鲁棒控制理论基础在应用控制理论进行控制系统设计的过程中，必须首先获取系统的数学模型。但在实际系统运行的过程中，由于系统参数变化、外部扰动以及检测技术的限制等因素的影响，往往无法获得控制对象的精确模型。此外，在控制系统复杂的情况下，为了设计和计算上的可行性，往往要求对系统的模型进行适当的简化。在这一背景下，不确定系统的控制理论研究成为目前的研究热点之一。不确定性的存在是一切被控对象的共性，而如何处理被控对象的不确定性一直是个有待研究的问题；鲁棒控制是克服不确定性进行有效控制的主要手段。60年代，Cruz和Perkins将SIS0系统的灵敏度分析推广到MIM0系统，并引入灵敏度
29、矩阵来衡量闭环和开环系统性能这些鲁棒控制的早期研究主要局限于系统不确定性是微小参数摄动的情况，可事实上系统参数摄动可能在较大范围内变化，这就导致了现代鲁棒控制理论的诞生。自60年代以来，鲁棒控制理论的研究取得了巨大的进展，并已逐步形成三个主要研究方面：频率域方法、多项式代数方法和时域(状态空间)方法。a) 频率域方法。现代鲁棒控制理论的建立和发展在很大程度上可以归功于60年代提出的两个重要结论：一个是Zames的小增益原理，另一个是Kalman证明了SIS0系统线性二次型最优状态反馈控制具有很好的鲁棒性，即无穷大增益裕量和600相位稳定裕量。70年代提出的逆奈奎斯特阵列方法多项式矩阵方法及控制
30、器参数化形式为多变量系统的鲁棒镇定提供了重要工具。80年代，Safonov， Zames和Doyle等学者为鲁棒控制理论的发展做出了突出贡献。优化设计方法的提出使鲁棒稳定化问题、跟踪问题、模型匹配问题、最小灵敏度和混合灵敏度问题均可以归纳为标准的二优化设计问题，而标准的优化设计问题则可以通过Youla参数化变换成模型匹配或一般距离问题，然后变换为Nehari问题来求解：或者归结为两个代数Riccati方程或线性矩阵不等式的求解问题。优化控制器设计方法具有如下几个优点：第一，鲁棒控制器设计问题被赋予了一个清晰而坚实的理论基础；第二，尽管它回到了输入输出模型，然而实际设计时保留了状态空间方法中某些
31、计算上的优点；第三，设计者可以在相当大的程度上控制闭环系统的频率域响应形状，从而使该方法易被工程师们所接受。同一时期，由Doyle提出的结构奇异值方法克服了优化控制器设计方法过分保守的不足，完美地把鲁棒稳定性和鲁棒性能结合起来；但完善的综合方法还有待进一步的研究和发展。b)多项式代数方法关于参数摄动不确定性系统的鲁棒性分析较有成效的结果是Kharitonov定理。但它只讨论了多项式族的Hurwitz问题，对于一般的D稳定性困难较大；另外，在它应用到实际控制系统时也具有保守性总之，以Kharitonov定理为代表的多项式代数方法为参数不确定性系统的鲁捧控制问题研究提供了强有力的工具，但其基本上局
32、限于鲁棒稳定性分析，对于参数不确定性系统的鲁捧镇定问题，没有什么满意的结果。c)时域方法在时域鲁棒性分析中，Lyapunov方法得到了广泛应用。但Lyapunov方法对于常实参数摄动来说，所得结果非常保守；此外，由于Lyapunov方法的充分性，所得结果优劣常常取决于Lyapunov函数的选取，但到底用什么方法来确保所选的Lyapunov函数能够满足要求，或者选取什么样的Lyapunov函数最好，至今为止仍不清楚。近来仿射Lyapunov方法、摄动模式形如+矩阵组(A,B,C)的稳定半径计算、具有参数不确定性离散系统的鲁棒稳定性分析、时域区间矩阵族的鲁棒稳定性等问题均有一定的突破，但仍有待进一
33、步研究。对于时域鲁棒镇定问题，不确定性系统的可镇定性及相应的鲁棒镇定控制器设计方法、鲁棒二次镇定、同时镇定等问题都得到了深入的研究取得了一系列研究成果，但还有待进一步的完善和发展。目前，线性系统的鲁棒控制理论已基本形成，但还有许多问题需要继续研究。随着人类活动空间的不断扩大，被控对象种类的增多，控制装置的复杂化，加上实际工程对控制精度要求的不断提高，使得传统的以线性模型来研究非线性对象的方法已不能满足需要。因而，线性系统的鲁棒控制方法正在向非线性系统扩展，并在相对阶与反馈线性化、最小相位与零输出动态、无源性与稳定性、耗散性与增益、Lyapunov函数的递推设计、鲁棒镇定、鲁棒控制等方面取得了不
34、少成果。总之，鲁棒控制理论提出了从根本上解决被控对象模型不确定和外界扰动不确定性问题的有效方法。控制理论的研究成果已有很多被编入MATLAB等商业软件中，这就为研究倒立摆系统的控制提供了强大的技术支持和开发手段。2.2线性矩阵不等式基础 一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：L(x)=L0+x1L1. . .+xNLN0 2.1 其中：L0,L1,.LN 是给定的对称常数矩阵，x1,.xN是未知变量，称为决策变量，x=x1,.xNTRN是由决策变量构成的向量，称为决策向量。尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中,线性矩阵不等式常常不是以一般表示
35、式（1）的形式出现，而是具有以下形式：L(X1,Xn)R(X1,Xn)其中的L(.)和R(.)是矩阵变量X1,Xn的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的Lyapunov矩阵不等式 ATX+XA0 2.2 也是一个线性矩阵不等式，其中的是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵A= 为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不等式（2），对应的矩阵变量是一个二阶的对称矩阵，X=，不等式（2）中的决策变量是矩阵X中的独立元x1、x2、x3。根据对策性，矩阵变量X可以写成 X= x1 + x2 + x3 将
36、矩阵A和上式代入矩阵不等式（2），经整理，可得 x1 + x2 + x3 0 2.3 这样就将矩阵不等式（2）写成了线性矩阵不等式的表示式（1）。显然，与Lyapunov矩阵不等式（2）相比，表示式（3）缺少了许多控制中的直观意义。另外，（3）式涉及到的矩阵也比（2）式中的多。如果矩阵A是n阶的，则（3）式中的系数矩阵一般有n(n+1)/2个。因此，这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些原因，LMI工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如，Lyapunov矩阵不等式（2）就以矩阵变量X的不等式来表示，而不是用其一般形式（3）来表示。一般的，一个线性矩阵不等式具有块矩
37、阵的形式，其中每一个块都是矩阵变量的仿射函数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。考虑H控制中的一个线性矩阵不等式： NTN0 其中： A、B、C、D是给定的矩阵，X=XTRnn和R是问题的变量。N称为外因子，块矩阵 L(X, )= 称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。X 和是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个11维的矩阵。内因子L(X, ) 是一个对称块矩阵。根据对称性，L(X, )可以由对角线及其上方的块矩阵完全确定。 L(X, ) 中的每一块都是矩阵变量X 和的仿射函数。这一函数由常数项和变量项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩
38、阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式，例如L(X, )中的B和D；变量项是包含一个矩阵变量的项，例如XA, 等。一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个线性矩阵不等式。2.3 MATLAB简介及基础知识MATLAB(矩阵实验室的简称)是一种专业的计算机程序，用于工程科学的矩阵数学运算。但在以后的几年内，它逐渐发展为一种极其灵活的计算体系，用于解决各种重要的技术问题。Matlab 程序执行matlab 语言，并提供了一个极其广泛的预定义函数库，这样就使得技术工作变得简单高效。在解决工程技术问题方面，MATLAB 比其它任何计算机语言（包括FORTAN 和C）都简
39、单高效。在70年代中期,Cleve Moler博士和其同事在美国国家科学基金的资助下开发了调用EISPACK和LINPACK的FORTRAN子程序库.EISPACK是特征值求解的FOETRAN程序库,LINPACK是解线性方程的程序库.在当时,这两个程序库代表矩阵运算的最高水平. 到70年代后期,身为美国New Mexico大学计算机系系主任的Cleve Moler,在给学生讲授线性代数课程时,想教学生使用EISPACK和LINPACK程序库,但他发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序.Cleve Mol
40、er给这个接口程序取名为MATLAB,该名为矩阵(matrix)和实验室(labotatory)两个英文单词的前三个字母的组合.在以后的数年里,MATLAB在多所大学里作为教学辅助软件使用,并作为面向大众的免费软件广为流传. Matlab 程序执行MATLAB 语言，并提供了一个极其广泛的预定义函数库，这样就使得技术工作变得简单高效。MATLAB 是一个庞大的程序，拥有难以置信的各种丰富的函数；即使基本版本的MATLAB 语言拥有的函数也比其他的工程编程语言要丰富的多。基本的MATLAB 语言已经拥有了超过1000 多个函数，而它的工具包带有更多的函数，由此扩展了它在许多专业领域的能力。1.1
41、 MATLAB 的优点MATLAB 语言相对于传统的科技编程语言有诸多的优点。主要包括：1 易用性MATLAB 是种解释型语言，就像各种版本的BASIC。和BASIC 一样，它简单易用程序可用作便笺簿求打在命令行处表达式的值 执行预先写好的大型程序。在MATLAB 集成开发环境下，程序可以方便的编写，修改和调试。这是因为这种语言极易使用，对于教育应用和快速建立新程序的原型，它是一个理想的工具。许多的编程工具使得MATLAB 十分简单易用。这些工具包括：一个集成的编译/调试器，在线文件手册，工作台和扩展范例。2 平台独立性MATLAB 支持许多的操作系统，提供了大量的平台独立的措施。在本书编写的
42、时侯， windows 98/2000/NT 和许多版本的UNIX 系统都支持它。在一个平台上编写的程序，在其它平台上一样可以正常运行，在一个平台上编写的数据文件在其它平台上一样可以编译。因此用户可以根据需要把MATLAB 编写的程序移植到新平台。3 预定义函数MATLAB 带有一个极大的预定义函数库，它提供了许多已测试和打包过的基本工程问题的函数。例如，假设你正在编写一个程序，这个程序要求你必须计算与输入有关的统计量。在许多的语言中，你需要写出你所编数组的下标和执行计算所需要的函数，这些函数包括其数学意义，中值，标准误差等。像这样成百上千的函数已经在MATLAB 中编写好，所以让编程变得更加
43、简单。除了植入MATLAB 基本语言中的大量函数，还有许多专用工具箱，以帮助用户解决在具体领域的复杂问题。例如，用户可以购买标准的工具箱以解决在信号处理，控制系统，通信，图象处理，神经网络和其他许多领域的问题。4 机制独立的画图与其他语言不同，MATLAB 有许多的画图和图象处理命令。当MATLAB 运行时，这些绘图和图片将会出现在这台电脑的图象输出设备中。此功能使得MATLAB 成为一个形象化技术数据的卓越工具。5 用户图形界面MATLAB 允许程序员为他们的程序建立一个交互式的用户图形界面。利用MATLAB 的这种功能，程序员可以设计出相对于无经验的用户可以操作的复杂的数据分析程序。6 MATLAB 编译器MATLAB 的灵活性和平台独立性是通过将MATLAB 代码编译成设备独立的P 代码，然后在运行时解释P 代码来实现的。这种方法与微软的VB 相类似。不幸的是，由于MATLAB是解释性语言，而不是编译型语言，产生的程序执行速度慢。当我们遇到执行速度慢的程序时，我们将会指出其这一特性。第三章 倒立摆的鲁棒控制器设计3.1问题描述 如图1 所示的线性不变动态连续系统,其状态空间描述为: =Ax+B1+B2u 3.1 z=C1x+D11+D12u y=