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1、B 喷油泵问题摘要本文通过建立数学模型研究了柴油机喷油泵的油量调节杆的位移、喷油泵的转速和平均供油量的函数关系。下面就简述一下我们的思路：由于题目是给出数据要求建立三个变量之间的函数关系，因此我们先通过SPSS软件假设出所有可能出现的函数模型，然后导入已知数据，观察所建立的数学模型与已知数据的拟合程度，从而决定出变量之间的函数关系。一、问题重述为使车用柴油机满足日益严格的排放法规和要求更高的燃油经济性及动力性，需要实时优化柴油机的运转参数并进行控制，传统的机械式调速系统难以达到要求，希望建立机电调速系统能实时优化柴油机的运转参数并进行控制。为此研究柴油机喷油泵的油量调节杆的位移、喷油泵的转速和
2、平均供油量的关系。在试验中，逐步由低向高调节喷油泵的转速，测量并记录相应的转速、调节杆的位移和平均供油量，直到最高停油转速为止（实验数据见附表）。问题：（1）试建立油量调节杆的位移与喷油泵的转速的函数关系；（2）试建立油量调节杆的位移与平均供油量的函数关系；（3）分别在油量调节杆位移为2，6和11.5三点上估计喷油泵的转速和平均供油量。 附录：转速（单位：转/分）位移（单位：mm）供油量（单位：ml/100次）9912.117.8510011.917.7514911.817.4515011.717.4220011.617.3820511.617.325011.617.252511117.253
3、009.9173509.813.954009.313.24509.112.855008.812.45508.712.156008.311.96508.211.57007.810.87507.5108005.35.458504.33.890033.29501.52100000二、模型假设线性回归概念：线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛。 分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。 如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线
4、性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。数据组说明线性回归：我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为 y=y(x)，其中 x=0, 1, 2, 3, 4, 5, y=0, 20, 60, 68, 77, 110 如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据，则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下 图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 y=20x，用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的 MATLAB 指令列出，并计算这个线性方程式的 y 值与原数据 y 值间误差平方的总合。 x=0 1 2
5、 3 4 5; y=0 20 60 68 77 110; y1=20*x; % 一阶线性方程式的 y1 值 sum_sq = sum(y-y1).2); % 误差平方总合为 573 axis(-1,6,-20,120) plot(x,y1,x,y,o), title(Linear estimate), grid 如此任意的假设一个线性方程式并无根据，如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们 须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总合为最小，做为决定理想的线性方 程式的准则，这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归
6、。MATLAB的polyfit函数提供了 从一阶到高阶多项式的回归法，其语法为polyfit(x,y,n)，其中x,y为输入数据组n为多项式的阶数，n=1就是一阶 的线性回归法。polyfit函数所建立的多项式可以写成 从polyfit函数得到的输出值就是上述的各项系数，以一阶线性回归为例n=1，所以只有 二个输出值。如果指令为coef=polyfit(x,y,n)，则coef(1)= , coef(2)=,.,coef(n+1)= 。注意上式对n 阶的多 项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范： x=0 1 2 3 4 5; y=0 20 60 68 77 110; coe
7、f=polyfit(x,y,1); % coef 代表线性回归的二个输出值 a0=coef(1); a1=coef(2); ybest=a0*x+a1; % 由线性回归产生的一阶方程式 sum_sq=sum(y-ybest).2); % 误差平方总合为 356.82 axis(-1,6,-20,120) plot(x,ybest,x,y,o), title(Linear regression estimate), grid对于本题，我们可以看出，所给出的已知数据极有可能适合线性回归的特性，一次，我们在此设建立的模型为线性模型。三、符号约定Y-油量调节杆的位移x1-喷油泵的转速x2-平均供油量b
8、0、b1、b2、b3均为函数式中的常数。四、问题分析及数据处理（1）油量调节杆的位移与喷油泵的转速的函数问题：模型汇总和参数估计值因变量:位移(mm)方程模型汇总参数估计值R 方Fdf1df2Sig.常数线性.904197.403121.000对数.74160.044121.000倒数.50221.205121.000二次.963259.040220.000三次.986430.911319.000复合a.000幂a.000Sa.000增长a.000指数a.000Logistica.000自变量为 转速(转/分)。a. 因变量 (位移(mm) 包含非正数值。 最小值为 .0。无法应用对数变换。
9、无法为此变量计算复合模型、幂模型、S 模型、增长模型、指数模型和对数模型。模型汇总和参数估计值因变量:位移(mm)方程参数估计值常数b1b2b3线性13.929-.011对数32.832-4.087倒数5.412905.787二次11.561.002-1.236E-5三次14.187-.0223.946E-5-3.209E-8复合a.000幂a.000Sa.000增长a.000指数a.000Logistica.000自变量为 转速(转/分)。分析、选取模型：在线性回归的模型中，R方表示了实际数据的变量y的总偏差中能够被直线模型所解释的那一部分的比例，其取值范围为（0-1），R方越接近于1，用回
10、归曲线模型对实际数据的拟合越好。在上面的模型汇总的表中我们观察到，三次函数的R方的值最大0.986，最接近于一，因此认为所建立的三次函数模型对于实际数据的拟合程度最好。从位移与转速的函数曲线也可以看出，建立的一次线性模型、对数函数模型、反向函数模型、二次函数模型、三次函数模型中，与已观测数据曲线最吻合的曲线是三次函数曲线。由以上推论我们得出结论，即选定建立的三次函数模型为我们所求的调节杆的位移与喷油泵的转速的函数关系模型。（2）、油量调节杆的位移与平均供油量的函数问题：模型汇总和参数估计值因变量:位移(mm)方程模型汇总参数估计值R 方Fdf1df2Sig.常数线性.976840.891121
11、.000对数a.倒数b.二次.982558.283220.000三次.988504.875319.000复合c.000幂a,c.000Sb,c.000增长c.000指数c.000Logisticc.000自变量为 供油量(ml/100次)。a. 自变量 (供油量(ml/100次) 包含非正数值。 最小值为 .00。无法计算对数模型和幂模型。b. 自变量 (供油量(ml/100次) 包含零值。 无法计算倒数模型和 S 模型。c. 因变量 (位移(mm) 包含非正数值。 最小值为 .0。无法应用对数变换。 无法为此变量计算复合模型、幂模型、S 模型、增长模型、指数模型和对数模型。模型汇总和参数估计
12、值因变量:位移(mm)方程参数估计值常数b1b2b3线性1.087.607对数a.000.000倒数b.000.000二次.441.811-.010三次-.2591.321-.075.002复合c.000幂a,c.000Sb,c.000增长c.000指数c.000Logisticc.000自变量为 供油量(ml/100次)。a. 自变量 (供油量(ml/100次) 包含非正数值。 最小值为 .00。无法计算对数模型和幂模型。b. 自变量 (供油量(ml/100次) 包含零值。 无法计算倒数模型和 S 模型。c. 因变量 (位移(mm) 包含非正数值。 最小值为 .0。无法应用对数变换。 无法为
13、此变量计算复合模型、幂模型、S 模型、增长模型、指数模型和对数模型。分析选取模型对于位移与平均供油量的函数模型，由模型汇总与参数估计的表中可以看出，三次函数的R方值为0.988，最接近于1，且由函数曲线图可以观察出，三次函数的曲线与实际观测数据拟合度最好，因此，选取三次函数模型即为油量调节杆的位移与平均供油量的函数关系模型。五、模型求解方法一：图形法：按照函数关系式，将函数图形绘制出来，选取具体点，估计函数值。（一）对油量调节杆的位移与喷油泵的转速的函数关系的求解：既已选取好模型，对应的参数如下：方程b0三次14.187已知三次函数对应的线性方程：Y=b0+b1x+b2x2+b3x3代入参数可
14、得：油量调节杆的位移与喷油泵的转速的函数关系为：Y=14.187 0.022x1+（3.946E-5）x12+（-3.209E-8）x13（二）对油量调节杆的位移与平均供油量的函数关系的求解：对应的参数如下：方程b0b1b2b3三次-.2591.321-.075.002代入参数得：油量调节杆的位移与平均供油量的函数关系为：Y=-0.259+1.321x20.075x22+0.002x23(三)在油量调节杆位移为2、6和11.5三点上估计喷油泵的转速和平均供油量：在图上作业由以上图形可以粗略估计出，当油量调节杆位移为2、6和11.5三点上估计喷油泵的转速和平均供油量如下表所示：油量调节杆位移（m
15、m）2611.5喷油泵的转速(转/分)935775165平均供油量（ml/100次）1.906.9519.00方法二: 用LINGO编写程序问题一Y=2Y=6Y=11.5问题二Y=2Y=6Y=11.5由以上程序运行结果可以看出，当油量调节杆位移为2、6和11.5三点上估计喷油泵的转速和平均供油量如下表所示：油量调节杆位移（mm）2611.5喷油泵的转速(转/分)931.38769.60163.89平均供油量（ml/100次）1.917.0019.03六、模型评价本题在建立模型时，对题中所给出的数据做了大量的研究，另外结合线性回归问题的一些特性，从而大胆的作出决定，首先建立出一系列的线性模型，然
16、后通过实际数据对所建立的模型进行验证、评价，因此，本文的结果是建立在经过事实验证的基础上的，因此具有一定的科学性和说服力。并且，将这一类的问题统一的规划到了线性回归的一类，使问题在一定程度上变得简洁，减少了一定的运算量。但是，我们所建立的模型毕竟是在假设的基础上建立的，最终的结果具有一定的近似性。因此如果能对此模型能做出进一步的深入和改进，使计算变得更加精确合理，将会有更高的使用价值。七、模型的改进与应用由于我们的模型是建立在各种假设基础之上，我们所得结果与实际存在不可避免的差距。在第三个问题中，我们是先在图形的基础上对问题做的粗略估计，之后又用LINGO编程求解，对于此问题，我们可以进行一些改进，比如，在所求出的函数的基础上，进行代数运算，通过数学函数的求解知识，使问题结果变得更加简洁，具有准确性。18