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1、公司的投资问题摘要本文是公司投资决策的数学建模问题，属于投资组合问题，我们建立了单（多）目标规划模型。在各个投资项目的运行规则下，选择最优的投资方案，使得第五年末所得利润最大。为解决此问题，我们建立了如下模型，计算出最优化的投资项目组合。对于问题一：根据题中的实验数据，我们建立了单目标规划模型一，用Lingo软件得出第五年末所得利润为174140.5万元，其投资方案：第一年投资项目1、2、3、4、5、6，第二年投资项目5、6、7，第三年投资项目4、5、6、8，第四年投资项目2、3、4，第五年投资项目1、2，具体数据见问题一求解的结果。对于问题二：对于未来五年的到期利润率和风险损失率的预测，我们
2、先将各项目分为风险投资和无风险投资，接着用时间序列预测法建立了模型二，并利用6SQ统计软件进行安德森达令检验，证明模型的正确性。到期利润率和风险损失率，各项目独立时分别为0.1471 ，0.1486，0.3319，0.2567，1.1934，1.0792，6.7311，2.4547和0,0,0,0，0.86427 0.83812 4.8071，1.3993；3、4同时投资时分别为：0.4447，0.4311和0,0；5、6同时投资时分别为：0.7307，1.1748和0.10503，0.86406；5、6、8同时投资时分别为：1.1125，1.0143，2.1370和0.39808，0.398
3、08，0.39808。对于问题三：在模型一的基础上，考虑多个项目同时投资时对到期利润率的影响及项目一和五自身条件约束，建立了模型三，代入问题二预测的数据用Lingo软件求解为：第五年末所得利润为512690.8万元，其投资方案：第一年投资项目1、2、3、4、6，第二年投资项目1、3、7，第三年投资项目2、3、4、6、8，第四年投资项目1、2、3、4，第五年投资项目1、2，具体数据见问题三求解的结果。对于问题四：在模型三的基础上，考虑到投资越分散，总的风险越小，我们以投资收益和总体风险为目标建立多目标规划模型四。用Lingo软件求得：第五年末所得利润为420641.1万元，总体风险为144213
4、.0万元。其投资方案：第一年投资项目1、2、3、4、6，第二年投资项目1、2、7，第三年投资项目1、2、3、6，第四年投资项目1、2、3，第五年投资项目1、2，具体数据见问题四求解的结果。对于问题五：为了降低投资风险，公司和银行做存贷款交易，为了获得更高的收益，在模型四的基础上建立了模型五，用Lingo软件求得：第五年末所得利润为508400万元，总体风险为144213.0万元。其决策方案：第一年投资项目1、2、3、4、6，第二年投资项目1、6、7，第三年投资项目2、4、6、8，第四年投资项目1、2，第五年投资项目1、2，存款交易为第四年9156.131万元，第五年148573.1万元，具体数
5、据见问题五求解的结果。本文在投资组合问题上建立了多个模型，随着决策因素越来越多，每一个模型都在前一个模型的基础上进行改进，更加贴近现实，很好的解决了本题的问题。在到期利润率和风险损失率的预测上，运用时间序列预测法（平均预测法），简单而又直观的做出了预测。关键词： 投资决策 时间序列预测法 风险投资 最优解 模型检验一、问题重述随着社会经济的发展和全球的一体化，市场上的投资项目越来越多，公司必须对投资项目作出合理的决策，以获得最大的收益。已知某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。各类投资项目的运行规则：（1）
6、项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；（2）项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；（3）项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；（4）项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；（5）项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。要解决的问题：问题一：公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？问题二：公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4
7、投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 问题三：未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润
8、最大？ 问题四：考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策? 附：表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限项目12345678预计到期利润率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（万元）6000030000400003000030000200004000030000注：到期利润率是指对某项目的一次投资中
9、，到期回收利润与本金的比值。表4. 各投资项目的投资上限项目12345678上限（万元）6000060000350003000030000400003000030000二、基本假设与符号说明2.1 基本假设（1）假设确定的投资项目和范围是可行的；（2）假设投资越分散，总的风险越小；（3）假设总体风险用所投资的项目中最大的一个风险来度量；（4）假设每年的实际收益与预测收益相等；（5）假设在问题中预测的到期利润率与风险损失率是真实有效的；（6）假设公司在银行进行存贷款交易的形式为整存整取定期储蓄贷款，交易的时间为每年的年初，定期一年。（7）假设到期利润率和风险损失率在未来五年保持不变。2.2 符号
10、说明：表示第个投资项目；：表示第年进行投资；：表示第年年初的本金；：表示公司第年对第个投资项目的投资决策；：表示第年第个投资项目的投资金额；：表示第年的总投资金额；：表示第个项目的投资上限；：表示第五年年末所得最大收益；：表示总体投资的风险；：表示第个项目的到期利润率；：表示第个项目的风险损失率；：表示第个项目与其它项目同时投资，项目之间有影响时的到期利润率；：表示第个项目与其它项目同时投资，项目之间有影响时的风险损失率；：表示存款利率；：表示贷款利率；：表示第年年初与银行的交易金额；三、问题分析本文是公司投资组合的数学建模问题，属于目标规划模型。本文研究在市场需求下，投资项目（如股票、债券、
11、房地产，彩票）之间潜在关系，并考虑预期收益与投资风险对投资的影响，制定决策投资方案，利用现有资金进行投资在规划的时间里获得最大收益。针对问题一：在不考虑投资风险的情况下，要使第五年末所得利润最大，即求最佳投资方案。已知各项目的到期利润和投资规则，第一、二项目可以在每年年初进行投资，第三、四个项目可以在第一、二、三、四年年初进行投资，第五、六个项目在第一、二、三年年初进行投资，第七个项目只能第二年年初进行投资，到第五年末回收本利；第八个项目只能在第三年年初进行投资，到第五年末回收本利。在这五年中，每年年初的总投资资金要不超过该公司该年年初所拥有的资金，公司每年所拥有的资金由上一年的本金和收益决定
12、；每项的投资资金不能超过规定的投资上限也不能使投资为负值（不超支也不透支）。针对问题二：我们引入了风险投资和无风险投资的概念。从投资者的角度看，只要赚钱就为无风险投资，以到期的利润为衡量标准。如果到期的利润中存在负数，就有风险，反之，无风险。由表二中8个项目近20年的投资额与到期利润的数据可知，无风险投资项目为：一、二、三、四，风险投资项目为：五、六、七、八。在无风险投资中，我们只考虑他们今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率；在风险投资中，我们还要考虑今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资风险损失率。进而，对表二、三中的往年历史数据进一步处理，我们根据数据的特
13、点对今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率进行预测。针对问题三：本问在问题一的基础上，对其中的某些投资项目增加了新的约束条件：对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资；项目5的投资额固定，为500万，可重复投资；同时也规定了各投资项目新的投资上限。结合问题二的预测结果，只考虑投资项目的到期利润率，对公司投资作出合理的决策，确定5年内20亿的投资方案，使得第五年末所得利润最大。 针对问题四：已知投资越分散，总的风险越小。公司确定，这笔资金投资若干种项目时，总体风险用
14、所投资的项目中最大的一个风险来度量。在问题三中其它条件不变的情况下，考虑投资风险，重新对公司的投资进行决策。针对问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，使公司有了更多的选择。可使收益更大，风险更小。四、问题一的解答针对问题一，我们建立了模型一。4.1 定义投资决策变量4.2 模型一的建立4.2.1 确定目标函数该模型是为了解决本公司的投资决策问题，要采用最优化的决策以获得最大收益。表示第五年末所得利润，表示第个项目的到期利润率，表示第年第个投资项目的投资金额，我们建立了目标函数： 4.2.2 确定约束条件要解决本题中的问题必遵循以下约束
15、条件。约束条件一：投资必须有投资资金，所以每年的投资金额必须要在投资的能力范围内，即要求每年的投资金额要不大于本公司所拥有的总金额数：该公司第年各项目的总投资金额为：，该公司第年年初所拥有的资金数为第年年初公司拥有的总金额与该年的投资金额之差加上该年的收益：约束条件二：每年的每项投资资金不能为负值：约束条件三：每项的投资金额不能超过其投资上限：约束条件四：各类投资项目的运行规则：4.2.3综上所述，我们得到了问题一的优化模型，4.3 模型一的求解 43.1 将题目中所涉及的数据代入第一年所拥有的资金：，各项目的投资上限：到期利润率：4.3.2 用Lingo软件（程序源代码见附录）求解得第五年末
16、所得利润：万元整理如表一所示： （单位：万元）第年投资金额项目第一年第二年第三年第四年第五年151545.4555218.59230000350030000338454.55400004300006168.1823000053000030000300006200002000020000740000830000总利润174140.5按照这种方案投资，第五年末的利润最大。五、问题二的解答5.1 定义（1）风险投资：在投资中遭受了本金损失的风险，到期利润中存在负数。（2）无风险投资：在进行投资时，投资者只赚钱，不亏钱，所有的到期利润为正值。对表中数据初步处理，得出以下结论：（1） 第1、2、3、4项
17、目为无风险投资项目；（2） 第5、6、7、8项目为风险投资项目。5.2 模型二的建立针对问题二，我们运用时间序列预测法之平均预测法，建立模型二先通过Excel软件对历史数据进行处理，得出各项目的到期利润率服从正态分布或对数正态分布，求出其期望值，作为今后五年的到期利润率。 （1）正态分布 许多偶然因素作用结果的总和。N(m，s) 表示样本为，均值为m，方差为 s的正态分布。 （2）对数正态分布 是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立
18、因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。 5.3 模型二的求解5.3.1 无风险项目（1）独立投资a) 第1、3、4 投资项目独立投资时的到期利润率服从对数正态分布。b) 第2个投资项目独立投资时的到期利润率服从正态分布。用Matlab软件求解得如下结果：项目一项目二项目三项目四到期利润率0.14710.14860.33190.2567（2）项目3、4同时投资无风险3、4项目同时投资时 ，第3项目的到期利润率为0.4447 ，第4项目的到期利润率为0.4311 ，可见当第3、4 项目同时投资时，两者的到期利润率都变大了，说明同时投资二者有互利作用。5.3.2 风险项目由于题中给出的数据较
19、少，我们规定每个项目中平均损失率为其风险损失率。（1）独立投资a) 第5、8投资项目独立投资时的到期利润率服从对数正态分布。b) 第6投资项目独立投资时的到期利润率服从正态分布。c) 第7投资项目独立投资时的到期利润率及风险损失率服从对数正态分布。用Matlab软件求解得如下结果：项目五项目六项目七项目八到期利润率1.19341.07926.73112.4547风险损失率0.864270.838124.80711.3993（2）同时投资a)第5、6项目同时投资时到期利润率均符合正态分布；b)第5、6、8项目同时投资时,第5、6项投资的到期利润率均符合对数正态分布，第8项投资符合正态分布。用Ma
20、tlab软件求解得如下结果：同时投资项目五、六项目五项目六到期利润率0.73071.1748风险损失率0.105030.86406同时投资项目五、六、八项目五项目六项目八到期利润率1.11251.01432.1370风险损失率0.398080.39860.6456由结果知，风险投资时，同时投资一些项目，虽然到期利润率有小幅度的变动，但整体的风险损失率降低了。5.4 模型二的检验由于公司投资的项目比较多问题，每一种投资项目到期利润率都服从一定的规律，所以我们先假定各项目投资的到期利润率服从（对数）正态分布，然后根据附录一表二给出的数据求出各项目投资的到期利润率,再利用6SQ统计软件进行安德森达令
21、检验得到如下结果：9（1）服从对数正态分布的检验：项目1到期利润率的对数项目3到期利润率的对数项目4到期利润率的对数假设检验假设检验假设检验零假设服从正态分布零假设服从正态分布零假设服从正态分布标准偏差0.225909标准偏差0.399648标准偏差0.284835AD统计量0.458641AD统计量0.449254AD统计量0.449318调整了的AD0.479604调整了的AD0.471093调整了的AD0.47116P值0.234112P值0.245522P值0.245431显著性水平0.05置信水平0.05置信水平0.05结果接受零假设结果接受零假设结果接受零假设项目3到期利润率的对数
22、项目4到期利润率的对数项目5到期利润率的对数假设检验假设检验假设检验零假设服从正态分布零假设服从正态分布零假设服从正态分布标准偏差0.330191标准偏差0.101695标准偏差0.482243AD统计量0.454905AD统计量0.664004AD统计量0.397025调整了的AD0.475697调整了的AD0.694354调整了的AD0.420846P值0.239289P值0.069851P值0.323837显著性水平0.05显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设结果接受零假设项目8到期利润率的对数项目5到期利润率的对数（5、6、8）项目6到期利润率的对数(5、6
23、、8)假设检验假设检验假设检验零假设服从正态分布零假设服从正态分布零假设服从正态分布标准偏差0.675666标准偏差0.518067标准偏差0.886268AD统计量0.400002AD统计量0.42235AD统计量0.287842调整了的AD0.428404调整了的AD0.452339调整了的AD0.306566P值0.310766P值0.272471P值0.564534显著性水平0.05显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设结果接受零假设（2）服从正态分布的检验：项目2到期利润率项目6到期利润率项目5到期利润率（5、6）假设检验假设检验假设检验零假设服从正态分布零
24、假设服从正态分布零假设服从正态分布标准偏差0.053508标准偏差0.464037标准偏差0.611618AD统计量0.568297AD统计量0.40211AD统计量0.694971调整了的AD0.594272调整了的AD0.428267调整了的AD0.733656P值0.120929P值0.310999P值0.05587显著性水平0.05显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设结果接受零假设项目6到期利润率（5、6）项目8到期利润率（5、6、8）假设检验假设检验零假设服从正态分布零假设服从正态分布标准偏差1.08631标准偏差0.913654AD统计量0.673254
25、6AD统计量0.46695调整了的AD0.7170505调整了的AD0.5001065P值0.061398P值0.2085862显著性水平0.05显著性水平0.05结果接受零假设结果接受零假设由以上检验可知，我们的预测模型正确。六、问题三的解答针对问题三我们建立了模型三6.1 模型三的建立6.1.1 确定目标函数（同模型一的目标函数）模型二仍是为了解决本公司的投资决策问题，要采用最优化的决策以获得最大收益。表示第五年末所得利润，表示第个项目的到期利润率，表示第年第个投资项目的投资金额，我们建立了目标函数：6.1.2确定约束条件该模型的约束条件除了包含模型一的约束条件外，还有以下几个：1）对投资
26、项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。第年年初可用于投资的金额：2）项目5的投资额固定，为500万，可重复投资：3）我们增加了多个项目同时投资时，项目之间相互影响的作用对到期利润率的影响，则根据投资方案来计算第项目的到期利润率：，当表示独立投资，表示总共有项目同时投资。已知可以同时对项目3和项目4投资；同时对项目5和项目6投资；同时对项目5、项目6和项目8投资则可得第3个项目的到期利润率 第4个项目的到期利润率 第5个项目的到期利润率第6个项目的到期利润率第8个项目的到期利润率6.1.3 综上所述，
27、我们得到问题三的优化模型： 6.2 模型三的求解6.21将题目中所涉及的数据代入第一年所拥有的资金：各项目的投资上限：各项目独立投资时的到期利润率：第三、四项目可以同时投资：第五、六可以同时投资: 第五、六、八项目可以同时投资，它们的到期利润率分别为:6.2.2 用Lingo软件（程序源代码见附录）求解得：第五年末所得利润：万元整理如表所示： （单位：万元）第年投资金额项目第一年第二年第三年第四年第五年16000045167.84600006000023560010309.5317226.02600003350003500035000350004300003000035000564000040
28、000730000830000总利润512690.8按照这种方案投资，第五年末的利润最大。七、问题四的解答针对问题四，我们建立了模型四7.1 模型四的建立7.1.1 确定目标函数不仅要考虑收益，还要考虑投资风险，由单目标规划模型变成双目标规划模型。要使收益尽可能大，总体风险尽可能小， 为总体风险，为第个项目的风险损失率，建立如下多目标规划模型：7.1.2约束条件该模型的约束条件除了包含模型三的约束条件外，还考虑了风险损失率，根据问题二预测结果。1）第1、2、3、4是无风险投资项目，则它们的风险损失率为：2）第5、6、7、8是风险投资项目，且同时对项目5和项目6投资；同时对项目5、项目6和项目8
29、投资，对风险损失率也有影响根据投资方案来计算第项目的风险损失率：，当表示独立投资，表示总共有项目同时投资，为第个项目在问题二中各种情况下的风险损失率。第5个项目的风险损失率：第6个项目的风险损失率：第8个项目的风险损失率：7.1.3 综上所述，得到问题四的优化模型为7.2 模型四的求解7.2.1 代入数据求解收益的数据如模型三，除此之外，各项目的风险损失率独立投资时：第五、六可以同时投资:，第五、六、八项目可以同时投资，它们的风险损失率分别为:7.2.2 用Lingo软件（程序源代码见附录）求解得：第五年末所得利润：万元整理如表所示： （单位：万元）第年投资金额项目第一年第二年第三年第四年第五
30、年16000044716.166000060000600002356003500010458.48600006000033500035000350004300005640000400007300008总利润420641.1总体风险144213.0按照这种方案投资，第五年末的利润最大。八、问题五的解答针对问题五，建立了模型五8.1模型五的建立 （同模型四）8.1.1 确定目标函数收益尽可能大，总体风险尽可能小，建立如模型四的目标函数：8.1.2 约束条件该模型的约束条件除了包含模型四的约束条件外，为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存入银行，也可在银行贷款进行投资。假设公司在银行进行存贷款交易的
31、形式为整存整取定期储蓄贷款，定期一年，交易的时间为每年的年初。（1）为存款利率，为贷款利率，为第年公司在银行存款或贷款的交易金额。（2）当第年的投资额大于它本年年初所拥有的金额时进行贷款交易；当第年的投资额大于它本年年初所拥有的金额时进行存款交易：（3）公司每年年初所拥有的可投资金额要加上在银行的交易金额，即8.1.3 综上所述问题五的优化模型为：8.2模型的求解8.2.1 数据描述（1）根据近几年的中国人民银行发布的人民币存贷款利率表（见附录）中查得，整存整取一年：，（2）其它数据同问题四求解中的数据。8.2.2 用Lingo求解第五年末所得利润：万元整理如表所示： （单位：万元）第年投资金
32、额项目第一年第二年第三年第四年第五年16000040117.286000060000235599.9739516.0560000600003350004300003000056400004000040000730000830000存款额0009156.131148573.1贷款额00000总利润508400总体风险144213.0按照这种方案投资，只向银行进行了存款交易，各投资项目与问题四有小幅度的改动，达到预期的第五年末的利润比较大，总体风险比较小的目的。九、模型的评价与改进利用上面的数学模型可以帮助公司做出有效的投资组合，但最终对投资子项目的组合，还要靠该公司的风险承受能力决定，这一模型的
33、指导意义在于，人们可以利用计算机对8种投资项目的历史数据进行处理，通过对历史数据的分析研究预测出各个项目的收益率和风险损失率，根据模型便可以计算出最优化的投资项目组合。模型中也存在不足，用进行预测的平均收益率和风险损失率代表收益和风险与实际情况有所不同，而且没有提出精确的预测收益和风险的方法，就不能保证预测的准确性。在实际的市场运作中，每种投资项目之间都是有一定的影响的，我们只考虑其中几个项目的相互影响。在实际操作的过程中还要考虑到通货膨胀、市场操纵、投机等多种现实因素的影响（ 市场和人为因素）有必要对方案进行实时调整，才能得到最优的项目投资组合方案。十、参考文献1 宋来忠，王志明,数学建模与
34、实验,北京：科学出版社,20052 运筹学教材编写组编，运筹学（3版），北京：清华大学出版社，2005.63 赵锡军 ，金融投资学，中国人民大学出版社，北京，19964 姜启源. 数学模型. 高等教育出版社，1987附录附录一：表2. 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693
35、981988投资额33455659666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223
36、027331992投资额64867821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润111791113921168748814647
37、0314192451996投资额42374996560355975231418168305018到期利润5719643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-6291
38、0770-24878-57862000投资额68797396551656237471550131744210到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572002投资额36607741431543797120613136615393到期利润5381527115514944616641164239-115382003投资额4486475638715529580755763029到期利润4668621022204653956178118192004投资额7280731264717760到期利润13891319206032272005投资额30825083到期利润403787表3. 一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6同时投资项目5、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润1026