毕业设计（论文）-电机模型的数值模拟与分析.doc

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1、电机模型的数值模拟与分析1. 引言自然界和工程技术中的很多现象，如自动控制系统的运行，电力系统的运行，飞行器的运动，化学反应的过程，生态平衡的某些问题。其数学模型都是常微分方程（组）的初值问题。很多偏微分方程（组）也可以化为常微分方程组的初值问题求近似解。一般来说常微分方程（组）的数值解法是比较成熟的，理论也比较完整，有很多方法可以去选择。但是，有一类常微分方程组，在求解时却会遇到相当大的问题，该类方程组的变化非常奇特，它的分量有的变化很快，有的变化很慢，常常出现这种现象：变化快的分量很快的趋于它的稳定值，而变化慢的分量缓慢的趋于它的稳定值。从数值解的观点看，当解变化快时应该用小步长积分，当变

2、化快的分量已趋于稳定，或则说已没有变化快的分量出现时，就应该用较大的步长积分，但是理论和实践都说明，传统的解法容易导致数值不稳定现象的出现，进而带来误差的急剧增加，以致掩盖了真实解，使求解的过程无法继续进行下去。而此类方程的这种特性我们称之为刚性（STIFF）1.1.1刚性问题的历史回顾对刚性方程的研究，可以追溯到上个世纪。从1883年，Bashforth 和Adams发表的著名的论文开始，以及RUNG对单步长的研究，引起了学术界对这一问题的深入探讨的开始。10在20世纪中，有限元方程的常微分数值解法取得了非常巨大的研究成果，前人也总结出了很多行之有效的方法，例如：向后差分法，指数拟合方法，R

3、ichardson外插方法，具有可变系数的线性多步方法，边界层方法，经典Gear方法，隐式Runge-Kutta方法，组合方法，等效系统替代方法，光滑近似特解方法，矩阵分解方法等等1 。在对刚性方程论文的检索中，无论是在动力学模型中，还是电机方程的模型中，或者化学方程模型中都有这样子的一个现象。工程系统中的很多实际问题，由于其复杂性，传统的方法往往得不到稳定区域以及数值稳定解，这就迫使我们去寻找更多更有效的方法。多数参考文献所涉及的问题都是工程实际问题，文献2中就非线性动力系统的具体情况提出了精细时程积分法，很好的解决了绝对稳定性和高精度的问题，避免了刚性方程的计算危险，进一步表明了用该方法来

4、求解刚性方程的有效性。文献3也是对一种动力学模型的研究，对于刚柔耦合多提机械系统动力学微分方程来说，它具有刚性和高频震荡的特性，传统的gear方法失效，R-K方法有带来巨大的计算量，而作者提出的Gill方法却很好的解决了这样的问题。文献4也是一类动力学方程，对于数值计算量非常巨大的中子动力学方程采用全新的消去刚性法，使得稳定步长达到20s计算时间大大下降。文献5利用微分方程数值解的离散小波表示，讨论了二维刚性初，边值问题的小波数值算法。特别是用于带奇异摄动的刚性问题。本文对刚性方程的研究也是一类具有奇异摄动性的问题，5的思想对本文的研究有很大帮助。文献6是对机电耦合系统的研究，由于他励直流电机

5、方程式是典型的非线性方程组，至今没有求出解析解，而作者采用奇异摄动法求出这一问题的渐近稳定解。文献6与本文的研究方向相似，都是研究电机模型分析，对本文的研究有很好的借鉴性。文献78分别阐述了一种对于各自特色的刚性方程的新的解法。文献9是一类化学反应模型，由于此类方程组刚性强，当流动接近平衡时，化学组分连续方程的数值积分会出现不稳定现象，而经典吉尔方法很好的解决了这一难题。以上的资料都表明在实际生活中，刚性现象无处不在，解决好刚性问题对我们的实际生活意义重大。文献11 13讲述了国外学者在常微分刚性问题上面的研究结果，给了我们很多的启示。文献14对常微分方程组的解法作了一个回顾，常微分方程可分为

6、刚性和非刚性两类，因为大部分工业实际问题都属于刚性问题，以至于刚性方程的求解成为一个热点问题。1.2问题的提出通过对参考文献的仔细阅读，不难发现刚性问题的重要性，以及它在实际工程领域的地位。本文作为对其中一个方面-电机方程中的机电耦合系统的研究，了解到机电耦合系统的状态方程组一般都是非线性的，大多数学者都认为只能对其采用传统的常微分方法来求数值解，而实际上机电耦合系统状态方程组是典型的非线性方程，并且是刚性现象相当严重的非线性方程组。使用传统的常微分数值方法求解，容易带来数值解的不稳定性与误差。为此，对该类型方程应该从刚性这个方向上去寻求新的更有效的方法。本文采用的是一种有别于传统常微分数值解

7、法的方法，用适合刚性方程的解法来解决文献10中方法使用错误所带了的误差。本文试图找到一种可靠的方法用于为该类刚性现象及其严重的方程组寻求数值解。虽然本文只是对电力系统中的一种电机模型-他励直流电机模型进行了分析,但其结果对一般的刚性模型都有使用价值和参考意义。2 初值问题及其数值分析算法2.1刚性问题简介在可以用常微分方程来描述的许多实际的物理或化学过程中，往往包含许多复杂的子过程，其中有的子过程表现为快变化的，而另一些相对来说是慢变化的，并且变化速度可以相差非常大的量级。相应的，描述这些过程的常微分方程的解中也将包含快变分量和慢变分量。如果在一个过程中的快变子过程与慢变子过程的变化速度相差非

8、常大，在数学上称这种过程具有刚性（），而描述这种过程的常微分方程称为刚性方程。2.1.1刚性方程组的描述为了精确地描述过程的刚性性质，考虑线性系统 （2.1.1）其中 是待求的的维向量函数，而是已知的向量函数， 是独立变量，可看成是时间， 是 矩阵。不失一般性，假定矩阵 的 标准型是对角矩阵，其特征值为 相应的特征向量记为 。（2.1.1）的解有形式假定 ， 即（2.1.1）是渐近稳定的。2.1.2刚性方程的定义定义1.1 线性系统(2.1.1)称作是刚性方程,如果有 比值称作刚性比。刚性比 时,为病态矩阵,故刚性方程也称病态方程。通常 就认为是刚性的。 越大病态越严重。2.1.3刚性方程的性

9、质根据这个定义,我们得到了刚性方程所具有的一些性质。（1） 刚性方程是渐近稳定的,解曲线从不同的初值都将趋向于它的稳态解,但各个解分量的衰减特性是不同的.衰减快的称作快变分量,衰减慢的称作慢变分量.刚性方程的解曲线将很快衰减到有慢变分量所确定的解曲线上。（2） 刚性方程组具有奇异摄动的性质。由于解曲线中的快变部分在边界层内很快的衰减掉，在边界层外方程的解曲线中所含的量的个数减少，使的解曲线的各个坐标之间不再是线性独立的，而存在若干个代数关系式。（3） 定义（1.1）实际上表明矩阵A是病态的。2.1.4刚性方程的稳定性定义1.2 用一个数值积分方法以定步长 解试验方程当时，则称用步长 的这个数值

10、积分过程为计算稳定的，或简称为稳定的，否则称为计算不稳定的。应当注意，这里定义的是数值积分的计算过程的稳定性，当计算步骤增加时，误差的趋势说明了数值积分方法的可用性。这与物理上描写的运动稳定性是不同的概念。2.1.5刚性方程组的定义对一般非线性方程组：可类似定义(1.1) , 将在点处展开,记 , 假定 的特征值为 , ,于是由定义 (1.1) 可知,当 满足条件 , , 且则称该非线性方程组是刚性的， 称为方程的局部刚性比。前面所研究的单个方程 的数值解法，只要把 和 理解为向量，那么，所提供的各种性质及可运用到一阶方程组的情况。2.1.6刚性方程的线性多步法的 稳定性步公式 假定， 是实常

11、数, ,是正常数，称为步长,。引进多项式：。定理 步公式是 稳定的充分必要条件为对于 ， 是正则的,并且具有非负的实部。定理 显式的 步公式不能是 稳定的。2.2刚性方程模型-他励直流电机方程一台他励直流电动机，其输入量为电枢电压 ，励磁电压 和负载转矩 ，输出量为转角 和角速度 。选择电枢电流 ，励磁电流 和角速度 作为状态变量，根据基尔霍夫定律，达朗贝尔原理，得出系统的运动方程。式中， ， 电枢电流和励磁电流； ， 电枢回路和励磁回路电阻； ， 电枢回路和励磁回路电感； 电机转动角速度（）； 电磁转矩（） ； 惯性矩； 转动阻力系数 ； 电机常数 ；时间变量 2.3求解非刚性问题的显式四阶

12、方法2.3.1解的存在唯一性 考虑最简单的一阶常微分方程的定解问题，其形式为 （2.3.1）定义于矩形域 。定义1.3 函数 称为在 上关于满足利普希茨 条件，如果存在常数 ，使的不等式 ，对于所有的 都成立， 称为利普希茨常数。定理 如果 在 上连续且关于 满足利普希茨条件，则方程（2.3.1）存在唯一的解 定义于区间 上，连续且满足初始条件 ，这里 。2.3.2一阶方程的四阶显式 方法定义1.4 设 是初值问题（2.3.1）的准确解，若存在最大整数 使显示单步法的局部截断误差满足则称方法 （2.3.2）具有 阶精度。为获得较高阶的截断误差，我们采用四阶显式 方法，其形式为：它的截断误差形式

13、为 ，故该 方法具有较高的四阶精度。2.3.3 一阶方程的四阶显式方法的收敛性定义1.5 若一种数值方法（如（2.3.2）对于固定的 ，当时有 ，其中 是（2.1.1）的准确解，则称该方法是收敛的。 显然数值方法收敛是指 对单步法（2.3.2）有下述的收敛性定理：定理1.4 假设单步法（2.3.2）具有 阶精度，且增量函数 关于 满足利普希茨条件又设初值 是准确的，即 则其整体截断误差为2.3.4一阶方程组的四阶显式 方法前面所研究的单个方程 的数值解法，只要把 和 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到一阶方程组的情形。考察一阶方程组 的初值问题，初始条件给为 求解这一初值问题的四

14、阶 方法为：2.4刚性问题的数值解法对于刚性问题，我们一般采取 方法，隐式 方法来求解，因为这两类方法不但是稳定的，而且能达到高阶的精确度，但是当我们使用 级的隐式 方法求解 个方程的一阶常微分方程组时，每积分一个步长，需要求解 个联立的非线性代数方程组。如果这些代数方程组是用 方法或者它的变形来求解时，则在每迭代一步必需求解 个线性代数方程组。除非这个方程组是稀疏的，并且应用了稀疏矩阵的技术外，每迭代一步需要的乘法个数的数量级为 。于是，隐式 方法的实用性就受到限制。为克服这一困难，对隐式 方法的实现采用了一些方法，主要包括：等效代换的迭代方法 ;修改的 迭代方法;对角线隐式 方法 ; 矩阵

15、变换及其相应的方法 ; 半隐式 方法以及广义 方法. 。本文采用1977年, 提出的一个求解该类型的非线性代数方程组的修改的迭代方法 , 该方法使得这一类方程组的计算量大大减少.2.4.1求解刚性问题的方法我们考虑初值问题 (2.4.1) 其中 和 是 维向量 .令 表示 的近似值 , 由 方法来计算: (2.4.2)其中 (2.4.3)令 (2.4.4)或者等价的令 (2.4.5)这里 (2.4.6)这里,我们把 看成是 在 处的近似.假定矩阵 是非奇异的 , 由(2.4.5)中解出 ,得 (2.4.7)其中 是 的第 行第 列的元素。方程组（2.4.7）可以表示成矩阵的形式： (2.4.8

16、)这里 是 阶单位矩阵， ，表示主对角元素相乘。 ， ， 由（2.4.8）对 建立 迭代格式。设 的第次迭代记为 ，得 (2.4.9)由（2.4.9）可以解出 ，其中 (2.4.10)是块对角矩阵。对（2.4.5）的等价方程组（2.4.8），应用 迭代法求 （的元素）等价于对（2.4.3）应用 迭代法求 （的元素）。如果（2.4.10）中的 用块对角矩阵 来代替，即用 的 矩阵来替代， (2.4.11)其中 是 阶单位矩阵，而 (2.4.12)不需要在每次迭代中都求 的值，而只是在点上求值，也即是在的积分步的节点上求值。应用上述的计算步骤，我们可以推导出修改的 法。 （2.4.13）这个方程等

17、价于下面的矩阵方程 （2.4.14）其中： 是 的转置。假定 表示 的特征多项式，即令： （2.4.15）如 所证明的，（13）的解可以表示为 （2.4.16）其中：由此得知，新方法求逆是对 阶矩阵进行的，而不是对 阶矩阵进行的，在许多常微分方程组的求解中，特别当 很大时，往往具有稀疏的 矩阵 ，并且 的次数 不太大，这时 仍可能是非常稀疏的，应用稀疏矩阵技术仍有好处，可以大大降低计算量。3他励直流电机方程组的算法 尽管现在我们知道大多数的电力系统模型都是属于刚性问题，但是，很多实际情况下，对其还是按一般常微分方程模型问题处理。虽然所得的结果常常与实际结果相吻合。但是如果我们从另一方面分析，会

18、发现数值计算中存在的一些问题。一方面是对步长的需求不同容易导致误差的累计增大，另一方面对刚性问题是用常微分数值解法容易带来不可靠的数值结果。对此，我们以他励直流电机状态方程组为例，用两种不同的方法来比较。一种是传统的四阶显式方法,一种是适用于刚性问题的 方法。3.1他励直流电机方程组的刚性分析一台他励直流电动机，其输入量为电枢电压 ，励磁电压 和负载转矩 ，输出量为转角 和角速度 。选择电枢电流 ，励磁电流 和角速度 作为状态变量，根据基尔霍夫定律，达朗贝尔原理，得出系统的运动方程。 (3.1.1)式中， ， 电枢电流和励磁电流； ， 电枢回路和励磁回路电阻； ， 电枢回路和励磁回路电感； 电

19、机转动角速度（）； 电磁转矩（） ； 惯性矩； 转动阻力系数 ； 电机常数 ；时间变量 初始状态为 (3.1.2)将(1),(2)式写成矩阵表示形式,则得到系统运动状态方程组 (3.1.3) (3.1.4)其中 (2.4.5) (2.4.6)为系统的 矩阵. 该 矩阵中含有未知变量 ，由于 的取值不同，该矩阵的结果也不一样，故矩阵 为一不确定矩阵。为了方便本文的讨论，选取 为一些特定值，例如，0 ，0.1，0.2，1等等，在这些特定情况下讨论。可得到矩阵的一般性。对该电机模型赋初值，其中电机参数如下：外施电压为 : 负载转矩为 : 迭代终止条件为 : 由刚性方程组对刚性比的定义,我们对 分别取

20、值0, 0.1, 0.2, 1, 可以得到以下刚性比对照表。表 1不同励磁电流的刚性比对照表Tab. 1Stiffness ratio comparison for different wip current模最大特征值 模最小特征值 刚性比 0-4.166 666 7-4.380 95950.087 480.1-4.166 666 7-3.363 641 238.736 70.2-4.166 666 76.567 196 344.667 21-4.166 666 70.080 450 851.791 469由此可知，该电力系统-他励直流电机的状态方程组是刚性的。并且是刚性现象严重的病态方程组

21、。从表1中还可以发现，在0附近变化剧烈，离开0后，逐渐趋于平稳。对于刚性方程使用一般的不适用于刚性问题的显示 方法，必定会出现问题。 3.2不适用于刚性方程的传统显式方法传统显式方法是基于泰勒展开构造出的，优点是精度高，程序简单，计算过程稳定，并且易于调节步长。缺点是要求函数具有较高的光滑性，并且计算量也较大。本文中采用四阶 方法,在适当的计算量中它可以得到较高的精度。用于求解一阶初值方程组的四阶 方法的公式为:其中:令 ， ，取 取步长 : 由迭代可得到解析解为 (计算程序见附录3)其中，在0，2区间内，有微量变换，如下图所示， 在小区间0，2内的变化3.2.1传统显式 方法存在的问题一方面

22、由于系统(3.1.1)的 矩阵(3.1.5)中 是待求的函数,因此 不同, 的特征值也不同,从而,稳定性要求的步长也不同,因为对 取不同的值,方程组(3.1.1)的刚性比变化很大,因此,取 无法分析 附近小范围的状态,当取 更小时,会导致舍入误差累计增大。而且对刚性方程采用不常受限制的方法就将出现小步长计算大区间的问题,因此最好使用对步长 不加限制的方法,即 -稳定的方法,所谓 -稳定就是指数值方法的绝对稳定区域包含了 平面的左半平面,但是由定理(1.2)知, 所有的显示 步公式都不是 稳定的。另一方面,由于系统(3.1.1)是典型的刚性问题,文献中指出,用通常的数值方法求解刚性问题,得不到可

23、靠的数值结果。这就表明求解刚性方程组时需要使用适合的方法,例如Gear方法，隐式 方法,边界层方法,向后差分方法,指数拟合方法等 。本文中所采用的是修改的Gear方法,该方法的优点在于减少了传统Gear方法的计算量并保证了计算精度。3.3 刚性方程的 方法我们再次选用解刚性方程的 Gear 方法，来对该问题进行求解。修改的Gear 方法如下： 其中： 其中 ：由Gear方法迭代可得到结果为：（计算程序见附录4）其中： ， ，4 结果分析及结论4.1结果分析本文以他励直流电机方程组为例，对刚性问题现象进行了全面分析，了解到求解其问题不能采用一般的常微分方法。而实际运用中常常使用显式 方法，该方法

24、精度高，程序简单，计算过程稳定，易于调节步长，使得这种方法得到广泛运用。但是从本文中的实际例子可以看出，使用 方法得到的解析解，在0附近误差较大，有大幅度的变动， 值从0向负轴急剧变化，然后迅速回升。一般情况下为了改变这种状况，多采用降低 取值，使得精度提高，但另一方面，舍入误差就会显著提高，对于刚性问题而言就将出现小步长计算大区间的情况，最好使用步长不加限制的方法，即为 稳定方法。但是研究表明，所有步长不加限制的 稳定方法都不适用于显示方法。本文采用了一种适合于刚性方程的解法 方法，该方法不仅是 稳定的，而且迭代速度快，并且解的曲线符合实际理论值。特别是在0附近的小区间内，使用 方法得到的数值解，不会出现负值情况，这样就满足了实际情况。不但满足了刚性问题的需要，而且使得计算简便，可靠性又高。4.2结论通过分析机电耦合系统中的他励直流电机状态方程组的特征，得到该方程组是非线性的刚性方程组。在使用该类方程模型的时候，应该多考虑方程本身的特性。不能盲目的套用方法，在本文中的模型就不能使用 方法，我们对该类刚性方程组使用了 方法。数值试验结果表明，方法对非线性的刚性问题是有效的，并且还能很好的解决一般刚性方程计算中计算量很大的问题。本文所使用的方法，对求解刚性问题，特别是大规模的刚性问题，有显著优势。随着对刚性问题研究和理解的不断深入，该方法将会得到长足的发展和应用。- 21 -