学案3分类讨论思想.ppt_三一文库31doc.com

资源描述

《学案3分类讨论思想.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学案3分类讨论思想.ppt（52页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1.分类与整合思想是指当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整体问题的解答.实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学解题策略. 2.分类原则：（1）分类的对象确定,标准统一; （2）不重复,不遗漏;（3）分层次,不越级讨论; （4）归纳总结,整合完善.,学案3 分类讨论思想,1.从平面外一点P引与平面相交的直线,使得P与交点A的距离等于1，则满足条件的直线条数一定不可能是（） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条解析设点P到平面的距离为d,则d=1时，恰

2、有一条；d1时，不存在；0d1时，有无数条.,C,2.函数f(x)= 若f(a)=1,则实数a的所有可能值组成的集合为（） A.1 B.1,- C.- D.1, 解析因为当-1a0时，sina2=1, 当a0时，ea-1=1,所以a-1=0，即a=1. 综上可知,实数a的所有可能值组成的集合为1， ,B,3.已知集合A=x|(m+2)x2+2mx+10,B= xR，则使成立的实数m的取值范围是（） A.-2，2） B.（-2，2 C.-2，2 D.-2，-1)（-1，2）解析因为B= xR=y|y0, 令f(x)=(m+2)x2+2mx+1,又f(0)=1, 所以函数f(x)

3、的图象恒过定点（0,1）,要使 , 则必满足解之得-2m-1或-1m2或m=-2, 所以m的取值范围是-2m2.,A,4.过三棱柱任意两顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A.18对 B.24对 C.30对 D.36对解析因为侧棱的条数为3,且和每一条侧棱异面的直线条数为4；侧面对角线条数为6,且和每一条侧面对角线异面的直线有5条；两底面边的条数为6,且和每一条边异面的直线有5条，又知直线异面是相互的，所以异面直线共有 (34+65+65)=36对.,D,题型一由数学概念引起的分类讨论【例1】设00,且a1,比较|loga(1-x)|与 |loga(1+x)|的大小

5、值; (2)解不等式f(x) 解 (1)因为0c1,所以c2c, 由f(c2)= ,即c3+1= , 所以c= .,(2)由(1)得 ,题型二由运算引起的分类讨论【例2】已知函数 (1)求f(x)的值域; (2)设函数g(x)=ax-2,x-2,2,若对于任意x1 -2,2,总存在x0,使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a 的取值范围.,解 (1)当x-2,-1)时,f(x)=x + 在-2,-1) 上是增函数, 此时f(x) ,-2.,(2)当a=0时,g(x)=-2,对于任意x1-2,2, 不存在x0 -2,2,使得g(x0)=f(x1)成立; 当a0时,g(x)=ax-2在-2,

6、2上是增函数, g(x)-2a-2,2a-2,任给x1-2,2, 若存在x0-2,2,使得g(x0)=f(x1)成立, 则,当a0时,g(x)=ax-2在-2,2上是减函数, g(x)2a-2,-2a-2, 同理可得综上,实数a的取值范围是,【探究拓展】在解答该类问题时,应根据函数g(x) 中所含的参数a的取值情况进行讨论,得到函数的单调性，从而得出该函数在给定区间上的值域,再依据题意建立不等式组进行求解,得到a的取值范围.,变式训练2 已知函数f(x)=ex-e-x. (1)证明:函数f(x)的导数f (x)2; (2)若对所有x0都有f(x)ax,求实数a的取值范围. (1)证明因

7、为函数f(x)的导数f (x)=ex+e-x, 又ex+e-x (当且仅当x=0时,等号成立)，所以f (x)2. (2)解令g(x)=f(x)-ax, 则g (x)=f (x)-a=ex+e-x-a;,若a2,当x0时，g(x)=ex+e-x-a2-a0,所以函数g(x)在区间(0,+)上为增函数，则x0时， g(x)g(0)=0，即f(x)ax. 若a2,方程g(x)=0的一个正根为此时，若x(0,x1),则g(x)0, 故函数g(x)在区间（0，x1）上为减函数，所以x(0,x1)时,g(x)g(0)=0, 即f(x)ax,与题设f(x)ax相矛盾. 综上可知，满足条件的实数a

8、的取值范围是（-,2.,题型三由定理、公式等引起的分类【例3】设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0 (n=1,2,). （1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2- an+1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小. 解 (1)因为an是等比数列，Sn0, 可得a1=S10,q0, 当q=1时，Sn=na10;,上式等价于或解式得q1；解式，由于n可为奇数，可为偶数，故-1q1,q0. 综上，q的取值范围是(-1，0)(0，+).,又因为Sn0,且-10, 所以当-12时，Tn-Sn0, 即TnSn；当 q2且q0时，Tn-Sn0,即TnSn; 当q= 或q=

9、2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn.,【探究拓展】等差、等比数列的通项、前n项的和是数列的基础，那么在研究一个数列的通项时，对n=1 与n2要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法求解时，要对公比q是否为1进行分类讨论.,变式训练3 已知在等比数列an中,a1=1,Sn是其前n 项的和,且ak+1，ak+3，ak+2 （kN）成等差数列. （1）求数列an的公比；（2）试判断Sk+1，Sk+3，Sk+2 （kN）是否也构成等差数列，说明理由. 解 (1)设等比数列an的公比为q，则ak+1=a1qk，ak+3=a1qk+2，ak+2=a1qk+1. 依题意得2qk+2=qk+qk

10、+1，由于qk0, 所以2q2-q-1=0,解得q=1或q= . (2) 当q=1时,Sk+1=(k+1)a1=k+1,Sk+3=k+3,Sk+2=k+2, 显然Sk+1+Sk+2=k+1+k+2=2k+32Sk+3 , 故Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列;, 所以Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列. 综上所述:当q=1时,Sk+1,Sk+3,Sk+2不能构成等差数列; 当q= 时,Sk+1,Sk+3,Sk+2能构成等差数列.,题型四由参数变化引起的分类讨论【例4】已知mR,求函数f(x)=(4-3m)x2-2x+m在区间0,1上的最大值. 解 (1)当4-3m=0时

11、，即m= 时，函数y=-2x+ . 它在0,1上是减函数，所以f(x)max=f(0)= . (2)当4-3m0,即时，f(x)是二次函数. 若4-3m0，即时，二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴，它在0,1的最大值只能在区间端点取得. f(0)=m,f(1)=2-2m.,当m2-2m,又m 时,二次函数f(x)的图象开口向下,又它的对称轴方程 ,所以函数f(x)在 0,1上是减函数. 于是f(x)max=f(0)=m. 由(1)(2)可知,这个函数的最大值为,【探究拓展】在解答该类问题时，应根据条件首先确定函数的属性，即分成两类这是一级分类；然后对时，按照抛物线的

12、开口方向分成两类，这是二级分类；最后在中，比较f(0),f(1)的大小关系，又分成两类，这是三级分类，每次分类都有一个标准，要做到不重不漏.,变式训练4 已知函数 (a,b为常数)，且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4. (1)求函数f(x)的解析式；（2）设k1,解关于x的不等式：解 (1)将x1=3,x2=4分别代入方程解之得,(2)不等式即为即(x-2)(x-1)(x-k)0, 当12时,解集为(1,2)(k,+).,【考题再现】已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x

13、)在区间0,1上的最大值. 【解题示范】解(1)f(x)=x(ax+2)eax. 2分当a=0时，令f (x)=0，得x=0; 若x0,则f(x)0,从而f(x)在(0,+)上单调递增；若x0,则f(x)0,从而f(x)在(-,0)上单调递减. 4分,当a0时,令f(x)=0，得x(ax+2)=0,故x=0或x= . 5分若x0，则f(x)0，从而f(x)在（-,0)上单调递减. 6分 7分 8分,(2)当a=0时， f(x)在区间0,1上的最大值是f(1)=1. 9分当-2a0时，f(x)在区间0,1上的最大值是 f(1)= ea. 10分当a-2时，f(x)在区间0,1上的

14、最大值是 11分综上所述，当a=0时，f(x)max=1; 当-2a0时，f(x)max= ea 当a-2时,f(x)max= 12分,分类讨论并不是凭空产生的,有着它出现的原因.这个原因就是我们分类的标准和依据.一般来说,可以归纳为以下几点： 1.涉及的数学概念是分类定义的. 2.运算有关的公式、运算性质与法则是分类给出的. 3.由题中所给的限制条件或研究对象的性质而引发的. 4.数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的.,5.涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的. 6.有实际问题的实际意义引起的. 7.复杂数学问题或非常规数学问题需要分类解决的. 在运用分类讨论问题时,我们要明

15、确分类的原因是什么、对象是什么、分几个类别.不仅要掌握分类的原则,而且要把握分类的时机,重视分类的合理性与完整性.,一、选择题 1.不等式的解集是（） A.x|-2x2 B. C.x|-2x0或0x2 D.,解析当x0时，原不等式等价于 , 所以0x2; 当x0时，原不等式等价于即解集为答案 B,2.若不等式x2+ax+10对于一切x(0, 成立,则a 最小值是（） A.0 B.-2 C. D.-3 解析,C,3.设函数 ,则当ab时，的值应为（） A.|a| B.|b| C.a，b中较小的数 D.a，b中较大的数解析当ab时，a-b0，则f(a-b)=1,

16、所以当ab时，a-b0，则f(a-b)=-1, 所以,D,4.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形, 则它的体积为（） A. B. C. D. 解析分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况.,D,5.设函数 ,集合M=x|f(x)0,若 ,则实数a的取值范围是（） A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D.1,+) 解析因为 ,由f(x)1时,M=x|10, 得a1,P=x|x1,又 ,故a1.,C,6.在正四面体的一个顶点处,有一只蚂蚁每一次都以的概率从一个顶点爬到另一个顶点,那么它爬行了4次又回到起点的概率是（） A. B. C. D. 解析

17、若4次爬行了一条棱的概率为 ; 若4次爬行了两条棱的概率为 ; 若4次爬行了四条棱的概率为,B,二、填空题 7.设01, 即a2x-2ax-30,则(ax-3)(ax+1)0, 所以ax3或ax-1（舍），即xloga3.,(-,loga3),8.双曲线 (mn0)的离心率为2，则的值为_ . 解析当m0,n0时，e= 解之得，当m0,n0时，e= 解之得，综上可得,9.已知开口向上的二次函数f(x),对一切实数x都有 f(2-x)=f(2+x)成立,设向量a=(|x+2|+|2x-1|,1), b=(1,2),则不等式f(ab）f(5)的解集为_. 解析由f(2-x)=f(2+x

18、)知，开口向上的二次函数 f(x)的对称轴为直线x=2,又因为f(ab)f(5), 所以ab5或ab5, 即|x+2|+|2x-1|3,当x-2时，原不等式的解集为x|x-2; 当时,原不等式的解集为x|-2x0; 当时，原不等式的解集为；综上可知，原不等式解集为 . 答案,10.函数f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0 成立，则a=_. 解析若x=0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x（0，1时，f(x)=ax3-3x+10可化为设 ,所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，,因此，从而a4; 当x0即x-1，0）时，f(x)=ax

19、3-3x+10可化为在区间-1，0）上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a4,综上a=4. 答案 4,三、解答题 11.设函数f(x)=ax2+bx+c (a0)，曲线y=f(x)通过点（0,2a+3），且在点（-1,f(-1)处的切线垂直于y轴. （1）用a分别表示b和c；（2）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）ex 的单调区间.,解（1）因为f（x）=ax2+bx+c，所以f(x)=2ax+b. 又因为曲线y=f(x)通过点（0,2a+3），故f(0)=2a+3,而f(0)=c,从而c=2a+3. 又曲线y=f(x)在（-1，f(-1)处的切线垂直

20、于y轴，故f（-1）=0，即-2a+b=0,因此b=2a.,所以g(x)=-f(x)e-x, 所以g(x)=（f(x)-f(x)）e-x = 令g(x)=0,解得x1=-2,x2=2. 当x（-,-2）时，g(x)0, 故g(x)在x(-,-2)上为减函数；,当x(-2,2)时，g(x)0, 故g(x)在x(-2,2)上为增函数. 当x(2,+)时，g(x)0, 故g(x)在x(2,+)上为减函数. 由此可见，函数g(x)的单调递减区间为(-,-2) 和(2,+)；单调递增区间为（-2，2）.,12.设函数（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,+)？若存在,求a的取值范围;若不存在, 试说明理由. 解 (1) 故当x(0,1)时,f(x)0；当x(1,+)时，f(x)0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减. 由此知f(x)在(0,+）上的极大值为f(1)=ln 2, 没有极小值.,(2)当a0时，故关于x的不等式f(x)a的解集为(0,+). 当a0时, 其中n为正整数，且有,又n2时，且取整数n0满足且n02,则即当a0时,关于x的不等式f(x)a的解集不是 (0,+). 综合知,存在a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,+）,且a的取值范围为（-，0.,返回,

展开阅读全文