天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第九放映.ppt

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1、矩形板弯曲理论,第九章,研究的对象： 板的受力特点 板的边界特点 板的厚度范围,一、绪论,9-1 概 述,本章主要讨论的对象为承受各种垂直于板面载荷的、具有不同边界条件的矩形平板弯曲时的应力与变形问题； 板为四周支持在纵骨架上的矩形平板； 通常不考虑连续板； 船体结构中的板属于薄板的范畴，其厚度t与板短边b比值在以下范围内：,并不计应变,满足直法线假定条件，具有中性层 且,o,y,x,z,因 ，可不计,通常板弯曲时有5个应力分量3个应变分量，如图：,这类板的应力分布的特点,对薄板弯曲：,这类板的变形特点,不考虑挤压力的影响；,应力 分量,应变 分量,应力应变间的相互关系：,发生筒形弯曲条件(c

2、ylindrical bending): 边长比b/a 2.5 外力沿长边不变 约束沿长边不变,9-2 板的筒形弯曲,筒形板的横弯曲,l,y,q(x),x,y,o,1,L,板条梁（如图）：在板筒形部分沿弯曲方向取一单位宽度的狭条梁。,(a)板条梁截面,(b)普通梁截面,(C)受力,板条梁与不同梁弯曲变形的差别: 板条梁两侧面受相邻板约束不自由变形，变形后截面仍为矩形 普通板侧面为自由的，变形后不再为矩形,应力的差别（通过物理方程）,板条梁为双向应力状态,普通梁为单向应力状态,需解决问题板条梁应力分布,设：板条梁弯曲时平断面假定成立，可导得弯曲微 分方程式,称D为板的“筒形刚度”或“弯曲刚度”（

3、flexural rigity ),板面的最大正应力：,板条梁断面的弯曲正应力,沿断面高度线性分布,位于板的上下表面,y,x,q,l,T,T,筒形板的复杂弯曲,（a）,此时，板除受横载荷外，还在长边受到中面应力，据前分析 可得：,其中,求得板条梁的断面弯矩，可求得总应力如图：,例 设有一两端 自由支持的板条梁， , 受均布荷重 ，并有中面应力 ，计算此板条梁的最大应力。材料的弹性模数,解：,先假设中面力为拉力，计算 参数u:,故板条梁中点的最大弯矩为,最大弯曲应力为：,最大总 应力为：,如果此板不受中面力，则最大弯矩为：,最大弯曲应力为：,板条梁筒 形刚度：,中点挠度：,此值已大大超过一般钢材

4、的屈服极限，此板没有中面拉力不能承受 横载荷。亦不能承受中面拉力,此例说明： 中面拉力对板的承载 其了很大的作用： 如果没有中面力，板 在横荷重下会发生很大的应力与应变 ; 板似乎不能承受中面压力。,但对于船体板后两结论不正确 ，由于实际船体板的支持骨架 相当强，板在弯曲时其支持骨架总是阻止板边 （板条梁）的两端自由趋近，因此板本身就会因弯曲而拉长，从而发生中面拉伸力 。这种中面力不容忽视，否则会低估办得承载能力 。因此我们将在下节研究办的大挠度弯曲问题.,q,x,dx,dx,dw,x,z,ds,l,筒形板的大挠度弯曲,为研究板弯曲时因支座阻碍板边趋近而产生的中面力，先考虑板边完全不可趋紧的情

5、况。,在板条梁中取出一长度为地 dx微段 他在变形后的长度为 ds，如图：,微段变形后长为：,整个板条梁伸长为,（9-14）,所以：,板条长度方向的应变为：,将（9-14）代入：,上式联系了板条梁中面力T与挠度w之间的关系，但若要求出 T还要利用板条梁的复杂弯曲微分方程式 。,（9-15）,将（9-15）式中的T代入复杂弯曲微分方程式的解中求出挠曲线； 实际上我们可利用复杂弯曲梁的解的方式获得。（查表、初参数方法）,两个未知数两个方程完全可以求解具体方法是：,再把求的 W (x, y) 代回（9-15）,销去W，解出T。,(1)板条梁两端自由支持受均布荷重：,求出挠曲线,将w带入,（9-16）

6、,（9-17）,举例：,由 2-5（2-64），将其中EI用D代换得：,得：,该方程为超非线性方程，无法直接解方程，可采用数值解法。,（2）板条梁两端刚性固定受均布荷重：,同样由第二章公式：,代入（9-15)式中，可得：,由所得公式（9-17）及（9-19），当板的尺寸，材料及荷重已知时可解出 u,从而得板的中面力为,为了实际应用，已将公式（9-17）及（9-19）的关系画成曲线（见下页），并令,（9-18）,（9-19）,（9-20）,（9-21）,C,1.3,1.2,1.1,1.0,0.9,0.8,0.7,1.3,1.2,1.1,1.0,0.9,0.8,0.7,2.2,2.1,2.0,1.

7、9,1.8,1.5,1.7,1.6,1.4,1.3,1.2,4.0,3.5,3.0,2.5,2.0,2.0,1.5,1.0,3.0,2.5,2.0,0.9,0.9,3.5,0 1 2 3 4,8 9 10 11 12,4 5 6 7 8,0 1 2 3 4,4 5 6 7 8,(b),板条梁两端自由支持,板条梁两端刚性固定,A,B,C,C,B,A,曲线A-u由0到4 曲线B-u由4到8 曲线C-u由8到12,(a),例 设有一两端 自由支持的板条梁， , 受均布荷重 ，计算此板条梁的最大应力。材料 的弹性模数 。,解：先按公式（9-21）算出U：,查图(a)得u=2.60，故：,当u=2.60

8、 时，由附录B，得板条梁中点最大挠度与弯矩分别为,板最大弯曲应力为：,最大总应力为：,考虑了板自身弯曲而产生的中面力影响后，此板可承受 的外载荷重,，,，,，,，,，,结论,由公式（9-21）及图（a),(b)知,当板的柔性大且外力大时： U就小，这时u就小，表明中面拉力T大；,反之，如板的柔性小且外力小： 则U大，u小，表明中面拉力小,据此，在板的弯曲问题中长把 板分为以下几类：,（1）刚性板中面力对弯曲要素可以忽略不计的板；,（2）柔性板中面力对弯曲要素不可略不计的板；,（3）薄膜板的中面力远较弯曲力为大 ，板主要靠中面拉力承载 。,以上推导是在板边完全不能靠近时得到的，但实际的板条梁两端

9、不会绝对不能趋近，亦不会完全可以自由趋近。因此实际中的中面拉力比以上的结果要小。反映在公式中，将（9-17）菏（9-19）等号左边乘一个影响系数：,当 时，中面应力对板条梁弯曲要素的影响可以忽略不计,由,得,，,，,最终推得：,表明当板条梁受载荷时的最大挠度小与板厚的1/5时，可不计弯曲产生的中面力。 对两端刚性固定的情况亦可导得类似的结论：,（9-22）,9-3 刚性板的弯曲微分方程式,本节开始研究矩形板的一般弯曲，板只有横载荷，没有中面载荷，亦不考虑板变形而产生的中面。,如图:建立坐标系,y,o,x,z,t,a,b,基本假定：,直法线假定据此 板z方向的正应力与其他应力相比可忽略不计 不计

10、板中面的变形,1、根据变形的假定条件及几何关系式 求出应变 与挠度w之间的相互关系； 2、根据物理方程 与挠度w之间的相互关系； 3、一dxdy微块上断面的合力及合力矩， 与挠度w之间的相互关系； 4、微块上力的平衡条件得到进而得到外力q(xy)与挠度之间的关系。 即弯曲板微分方程式,求解刚性板弯矩微分方程的基本过程,z,o,x,弯曲微分方程式,刚性板的弯曲微分方程式 可以用梁的弯曲微分方程式相同方式建立：,（1）应变与位移 间的关系：,取微块dxdy, 如图,因此：,同理：,（9-24）,（9-23）,目的：通过几何变形分析找出 应变与挠度之间的关系,剪应变,的求解思路：,通过上两式求出位移

11、u（x，y）、v（x，y）,根据,求出,同理,板剪应变为：,（9-26）,根据刚性板弯曲中性面不发生面内位移及变形的假定：,带入上式得：,弯曲时应变与位移间的关系，可用矩阵写为：,或,式中：,（2）应力与应变间关系：,应用方程式（9-2)得：,将（9-28）代入上式，得,分析应力分布的特点： 沿板厚线性分布，在中性层处应力为零,（3）板单位宽度断面上的力和 力矩：,板中取一微块，微块断面上分别有应力 ，及,板边dx上单位宽度上断面上 力和力矩,由剪力互等定理 得：,板边dy上单位宽度上断面上 力和力矩,其中 通过力的平衡条件求得。,将应力代入得：,式中,为板的刚度矩阵 ，所以上式可表达为：,式

12、中：,D为薄板弯曲问题中的“弹性矩阵”,（4）静力平衡条件,建立板中面微块的平衡方程式，使所有力对Oy轴的合力矩为零，得：,如图：,从上式可以看到， 在列平衡是不能忽略， 因为它们直接构成域外荷重相平衡,略去三阶微量，并同除以dxdy得：,所有的力在Oz轴上的投影力为0，得：,此处 表示算子,刚性板一般弯曲的平衡微分方程式，也可写成：,这样，一旦求得板的挠曲函数w(x,y), 得板弯曲时的应力为,上式可简写为,求解w是关键：,边界条件的引入,边界条件,刚性板一般弯曲的微分方程式是两个变数的四阶线性偏微分方程式。解时要有八个任意常数。因此必须有八个边界条件。看一下四种情况：,板自由支持在刚性周界

13、上（如图）：,板刚性固定在刚性周界上（如图）：,此时板边缘挠度和弯矩均为零，因此在x=0和x=a处有,因边缘处板没有挠度，所以,从而：,同理：,y,b,z,o,x,在dx范围内所有的剪力,单位宽度上的合成力=,向下为正,b,在中间dx上的扭矩的等效合力,弹性支座边（弹性支座支持在刚性支座上）：,y,b,z,o,x,单位长度上等效合力,在边缘y=b处有：,弹性支座边（弹性支座支持在刚性支座上）：,在边缘x=a处有：,在边缘y=0处有：,单位长度上等效合力,y,b,z,o,x,b,一边为自由支持在刚性周边或弹性周边上时，边的两角会出现集中力,四边均为自由支持在刚性周边或弹性周边上时，四角会出现集中

14、力,板的边缘为自由边：,若y=b边为自由边，则该边应满足：,这样有三个边界条件，但在解弯曲微分时，只允许有两个边界条件，因此，把剪力与扭矩都为零的条件化为等效剪力为零的条件：,y,b,z,o,x,若x=a边也为自由边，则该边应满足：,x=a，y=b角点处应满足：,9-4 刚性板弯曲的解 满足两个基本条件条件,应用双三角级数解四边自由支持板的弯曲,对于四周自由支持的板，板的 挠曲线 在支持周边上必须适合下列条件,为求解微分方程式 （9-43），将w(x,y)写成下面的形式,（9-51）,（9-52）,y,x,将该函数带入力的平衡条件求解,可见该函数自然满足边界条件,（9-53）,（9-54）,将

15、外载荷用三角级数展开：,其中：,（1）若板上有均布载荷 ,这样：,(2)若板受集中力P,作用点坐标为 ， 如图：,o,y,x,a,b,在集中力作用处，取边长为 的矩形微块，并认为此 微块作用着强度为：,分布荷重。用公式（9-58），得：,当 趋于零时，其极限为,于是：,说明当P作用在 处，则在板任意点（x,y)处引起的挠度就等于P作用在板上任意点(x,y)处在 处所产生的挠度，这就是位移互等定理。,应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”。,P,y,x,应力单三角级数解一对边自由支持的弯曲,一对边(x=0,x=a的边)为自由支持，另一对边为任意固定的板,可将弯曲微分程式的解取单三角级数形

16、式：,为y的任意函数,此时设定的函数自然满足x边的边界条件，计算求解需 利用力的平衡条件及y的边界条件,满足 x = 0 , x = a 的边界条件,其中：,把荷重q(x,y)展开成相应的单三角函数：,式中：,得：,求解上式的通解和它的特解组成。,（9-66）,解： （1）代入弯曲微分方程式,得：,（2）,利用公式,特点是y的单值函数,通解可将 代入方程（9-66）得特征方程式：,求解上式的通解和它的特解组成。,通解齐次方程：,（3）,特解方程依具体外载形式而定,本解特点（1）y 的单值函数； （2）4个待定参数。,此特征方程式有成对的重根： 于是齐次方程的通解可以写成下面的形式：,或用双曲线

17、函数表示成：,从而微分方程式（9-65）的一般解为：,式中 为特解,（9-67）,（9-68）,（9-69）,o,x,y,a,例 试决定自由支持在边缘 x=0与x=a处及刚性固定在边缘y=+b/2的挠曲线（如图）。板上受均布荷重 q0,解：由于板的挠曲面对称于OX轴，因而函数 中的奇函数项的系数应等于零，及,于是,其中特解 可以这样求得。因为,（9-70）,积分常数 可以由 处的边界条件来决定。,所以,从此方程中看到，只要取特解为常数就能成为方程的解,当 时，,即：,将式（9-70）代入此边界条件得：,式中 。由此解得 ：,将求得之常数代入(9-70), 得：,于是板挠曲函数为：,（9-71）

18、,a,y,o,b,x,四边刚性固定的板的解,如图：,板中点挠度,板中点，与短边平行的断面（垂直于x轴的断面）中的弯矩：,板中点，与长边平行的断面（垂直于y轴的断面）中的弯矩：,板短边中点的弯矩：,板短边中点的弯矩：,以上公式中的系数k1 、k2、k3、k4及k随板的边长变化，见下页(a)图。有板上下表面的弯曲正应力的按下式计算：,由(a)图可知 k5最大，因此板总是在长边中点的弯矩最大，因此该处应力以最大。当a/b相当大时， k5=0.0833, 由此得长边中点断面的最大弯曲应力为：,（9-72）,（9-73）,（9-74）,（9-75）,（9-76）,（9-77）,由(a)图可知 k5最大，

19、因此板总是在长边中点的弯矩最大，因此该处应力以最大。当a/b相当大时， k5=0.0833, 由此得长边中点断面的最大弯曲应力为：,2.8,2.4,1.8,0.08,0.07,0.06,0.05,0.04,0.03,0.02,0.01,1.0,0.09,1.2,1.4,2.2,1.6,2.0,2.6,3.0,k5,k4,k3,k1,k2,以上公式中的系数 k1 、k2、k3、k4及k 随板的边长变化， 见图。,板上下表面的弯曲正应力的按下式计算：,o,y,x,s,(b),纵骨架式船体板（ab)，当边长比相当大时，取k2=0.0125,k4=0.0571, 分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的

20、应力（9-77）为：,横骨架式船体板（如图），设短边长度为s ,当边长比相当大时，取k3=0.0417,k5=0.0833, 分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为：,从此例题获得的结论：,习题1,矩形水平薄板OABC的OA边和OC边 为简支边，AB边和CB为自由边, 在B点上受集中铅直力P作用。 试证w=mxy 满足一切条件，并求出挠度 、弯矩和角点反力。,x,y,o,A,B,C,a,b,P,习题2,x,y,o,A,B,C,a,b,简支边受到均布弯矩M、两个自由边受到 均布弯矩M作用。 试证:w=f(x,y)满足一切条件并求出挠度。,M,M,M,M,习题3,2,一椭圆形薄板，边界方程为 试取挠度的表达式为 其中m为任意常数，求挠度表达式。,a,b,x,y,习题1 解,满足条件1）力的平衡条件 2）边界条件 ,习题2 解,满足条件1）力的平衡条件,2）边界条件 ,求出参数后代入y=0及y=b 的边界条件进行验证。,习题3 解,满足条件1）边界条件 当 时： ,2）力的平衡条件 求得 m,李兹法求解板弯曲问题,势函数,板弯曲应变能,对Z积分,格林函数积分：设C为域D的边界曲线，P（x , y）,Q( x , y ),及其偏导数,在简单闭域D以及边界上C单值连续，那么有公式：,矩形板四周支持在刚性支座上，板的四边的挠度等于0时， 上式积分=0,板弯曲应变能,