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1、初三数学二次函数的最值问题解析 例1. 已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值是2， （1）求：二次函数图象的解析式 （2）设此二次函数图象的顶点为P，求：ABP的面积 分析：与几何知识结合的函数问题，要注意几何量的大小与点的坐标间的关系。 解：（1）二次函数的图象与x轴交于点A（2，0），B（3，0） 设解析式为 即 所求解析式为 另解：图象过（2，0），（3，0） 对称轴为 顶点为（） 设，把代入即可 （2）， AB边上的高即P到x轴的距离，为函数最大值2 例2. 如图，在矩形ABCD中，BD20，ADAB，设ABD，已知sin是方程的一个实数根，点E、
2、F分别是BC、DC上的点，ECCF8，设BEx，AEF的面积等于y （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当E、F两点在什么位置时，y有最小值？并求出最小值 解：（1）解方程可得 在RtABD中，ADBDsin 设BE为x，则有， （2） 当时，y有最小值是46 故当BE10，CF2时，y有最小值是46 例3. 如图，ABC中，BC4，B45，M、N分别是AB、AC上的点，MNBC，设MN为x，MNC的面积为S。 （1）求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （2）是否存在平行线段MN，使MNC的面积等于2，若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由。 解：（1）过点A作AD
3、BC，垂足为D， 则有 设MNC的MN上的高为h MNBC （2）若存在这样的平行线段MN，使则方程必有实数解，即方程必有实数解，但该方程的判别式，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN，使 例4. 某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。 （1）试求y与x之间的关系式 （2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利
4、润是多少元？ 解：（1）设，依题意，得 解得： （2）设月利润为w，则 ，w有最大值。 当时，w最大，最大利润为1920元。 例5. 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式： （1）讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低
5、达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：（1）当时，当时， 讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中 （2）当时，该图像的对称轴为，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当时，y有最大值240，当时，y随t的增大而减小，所以，当时，y有最大值240 所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟 （3）当时，令 当时，令， 所以，学生注意力在180以上的持续时间为（分钟） 所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。 例6. 已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C（
6、0，4），与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，求：此抛物线的解析式。 解：（1）当A、B两点在原点同侧时，如图1图1 ， C（0，4），OC4，OB1 B（1，0） A（5，0） 设二次函数解析式，由于抛物线过点C ， 即二次函数解析式 （2）当A、B两点在原点异侧时，如图2图2 又C（0，4），OC4，OB1，B（1，0） 由 即AB4，A（3，0） 设二次函数解析式为，由于抛物线过点C 即二次函数解析式为 例7 已知一次函数 （1）根据表中给出的x值，计算对应的函数值，并填在表格中： （2）观察第（1）问表中有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数
7、值均成立。 （3）试问：是否存在二次函数，其图象经过点（5，2），且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。 解：（1） （2）证明： 当自变量x取任意实数时，均成立。 （3）由经过（5，2），得 依题意，有 由、可得 恒大于0， 则满足： 令恒大于0，则： 满足 综上，可得 解析式为 例8 已知二次函数的图象经过点A（3，6），并与x轴交于点B（1，0）和点C，顶点为P （1）求这个二次函数的解析式 （2）设D为线段OC上一点，满足DPCBAC，求：点D的坐标 （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的
8、直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。 解：（1）将A（3，6），B（1，0）代入 得 （2）过A作AEx轴，垂足为E， 设抛物线的对称轴交x轴于F， 则AEC、CFP均为等腰直角三角形 则EACFPC DPCBAC，EABFPD AEBPFD ，易求 （3）存在：过M作MHAC，MGPC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T SCT是等腰直角三角形，M是SCT的内切圆圆心 MGMHON，且OMMCOC ，得， 在x轴的负半轴上，存在一点M， 同理： 得 ，即在x轴上存在满足条件的两个点。【模拟试题】一、填空题： （1）抛物线的顶点坐标是_ （
9、2）抛物线的对称轴是_，有最_值是_ （3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图1所示），则此抛物线的解析式为_图1 （4）二次函数的图象如图2所示，则函数值时，对应x的取值范围是_图2 （5）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，则C点的坐标为_ （6）已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标是2和6，图象与y轴交点到原点的距离是3，则这个二次函数是_ （7）把配方成的形式是_ （8）抛物线与x轴只有一个交点，则m为_二、选择题： （1）二次函数的图象如图3所示，则下列结论正确的是（ ）图3 A. B. C. D. （2）二次函数的图象与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）图4 （3）把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ） A. B. C. D. 三、解答题： （1）已知二次函数的图象过点（0，5） 求m的值，并写出二次函数的解析式 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和最值 （2）抛物线经过点P（4，5），与x轴交于A（，0），B（，0）两点， 求抛物线的解析式 在抛物线上是否存在点Q，使得PAQ和PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由