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1、,2 等可能概型与几何概型 目 录 索 引,等可能概型（古典概型） 几何概型,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,1 等可能概型（古典概型）,比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,e1,ek, ,A,3,4,北,南,西,东,e2,en,2,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性
2、，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,例 1 将一枚硬币抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。, A1为
3、“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录, 事件 A2为“至少有一次出现正面”，,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两
4、只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,无放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只
5、球, 共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-D 件正品中取 n
6、-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,2） 有放回抽样,从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为二项分布的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 5 在 1200
7、0 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15
8、名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有,每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2) 3 名优秀生分配
9、到同一个班级的概率为：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已 知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问 是否可以推断接待时间是有规定的？,解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么 ，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003， 即千万分之三。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是
10、每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 8 袋中有 a 只白球，b 只黑球从中任意 取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的 概率,解： 设：A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 9 一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率 解：设 A= 10卷文集按先后顺序排放 ,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例10 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A= 5 颗骰子不同点 ； B=
11、 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ； C= 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例10（续）,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 11 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 个数的乘积能被 10 整除； B= 取出的 n 个数至少有一个偶数 ； C =取出的n 个数至少有一个 5 则 A=BC,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,二 几何概型,几何概型考虑的是有穷多个等可能无结果的随机试验。 首先看下面的例子。,例
12、1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,.M(X,Y),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x
13、,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。 如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a0) 。向平面任意投一长为 l (la) 的针，试求针与一条平行线相交的概率。,l,M,x,解 ：设
14、 x 是针的中点 M 到最近的平行线的距离， 是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域 D 取点的几何概型。,M,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,x,D,A,0,第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,思考题 1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电 台报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的概率。 (1/6) 2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4) 3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 (0.121),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数，求下列事件的概率： (1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ； (3/4, 1/4) (2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8) (3) 两数之积小于 1/4 。 (0.5966),第一章 概率论的基本概念,几何概型,返回主目录,