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1、1,第 十 章 定 积 分 的 应 用 1 平 面 图 形 的 面 积 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 一 直角坐标系下平面图形的面积 ：,由定积分的几何意义，连续曲线,与直线：,轴所围成的曲边梯形的面积为：,2,3,x区域,y区域,4,如果平面区域既不是x型区域，也不是y型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x型,区域与y型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总 的面积等于各区域面积之和。如右下图：,上曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下曲线由两条不同
2、曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于 y轴的直线，则把平面区域分成4个x型区域。,y,5,所给的区域不是一个规范的x-域, 如图需将其切成两块, 即可化成x-形区域的面积问题。 第一块的面积 ：,第二块的面积 ：,总面积：,6,二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积,设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示,7,计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：,1）具体计算时常利用图形的几何特征,2）从 参数方程 定义域的分析确定,8,例3 求摆线 的一拱与x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分),由图看出,对应原点 (0 , 0 )
3、 ,对应一拱的终点,所以其面积为:,9,10,11,例4 求双扭线 所围成的平面图形的面积,12, 2 由平行截面面积求体积 1、已知平行截面面积（函数）求体积的公式 上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的面积公式 :,现在我们看右图一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为A(x)，可否利用类似于上节极坐标下推导面积公式的思想求出它的体积？,13,如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似 看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积,由此可得:,这里，体积的计算的关键是求截面面积A(x) , 常用
4、的方法先 画出草图，分析图象求出A(x).,例 1 求两圆柱:,所围的立体体积 .,14,解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？ 下图就是其在第一卦限部分立体：,15,该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形, 所以截面面积 。,16,2、旋转体体积公式,17,18,19,3. 平面曲线的弧长与曲率,本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式,一、平面曲线的弧长 1、平面曲线弧长的概念 我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到平面曲线弧长
5、的计算公式。,20,21,22,23,24,25,4 旋转曲面面积,一、微元法,26,27,28,29,星形线,30,5 定积分在的物理的某些应用 学习目标：能够运用定积分解决物理问题 学习要点：引力，变力沿直线所做的功 学习基础：微元法，分部积分法，换元法 定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。这里介绍几个有代表性的例子。 1 变力沿直线所作的功问题 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体,31,移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 ， 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功。,32,33,34,35,36,