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1、第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,麦比乌斯带（莫比乌斯带）,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动 目录 上页 下页 返回 结束,玩一玩： 莫比乌斯带, 单侧曲面,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有
2、向曲面,表示 :,其面积元素DS 在 xOy 面上的投影区域,DS在 xOy 面上的投影，记为( DS )xy ,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,约定,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量 .,分析: 若 是面积为S 的平面,则流量是底面积为S、斜高,法向量:,流速为常向量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为 的斜柱体体积:,如果S是曲面, 流速 不是常向量呢？,对一般的有向曲面 ,用“分割, 近似代替, 求和, 取极限”的思想,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束,设 为光滑的有向曲面,总存在，,其中R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,如果对于任意分割及任意选取的点，下列极限,2. 定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此，引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(1) 若,且 Si 之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算对坐标的曲面积分要注意积分曲面所取的侧.,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,
4、意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,也可如下定义.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)Dxy 取上侧，,是 上的连续函数, 则,证:,由于 取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 若,则有, 若,则有,(前侧取“+“ cosa 0; 后侧取“ cosa 0),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(右侧取“+“ cosb 0; 左侧取“ cosb 0
5、),(上侧取“+“ cosg 0; 下侧取“ cosg 0),例1. 计算,是以原点为中心, 边长为a的正立方体整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy, 其中,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、两类曲面积分的联系,设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)Dxy ，取
6、上侧，,是 上的连续函数, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有,于是 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,2. 常用计算公式及方法,曲面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 面积投影,第二类: 有向投影,(3) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当S: z = z (x, y), (x, y) Dxy 时,（上侧取“+”, 下侧取“”),(方程不同时分片积分),类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与,作业,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P229 3 (1)(2)(4) ; 4 (1)(2),