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1、第三章：向量、向量空间,第一节：向量及其运算,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、 维向量的概念,例如,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,向 量,三、向量空间,空 间,叫做 维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,第二节：向量组的线性相关性,向量、向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的判定,若干
2、个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定理1,定义,从而,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,三、线性相关性的判定,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,下面举例说明定理的应用.,证明 （略）,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,说明,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明 （）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,