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1、按Esc键退出,返回目录,5.2 平面向量的基本定理 及坐标运算,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,知识梳理,1.平面向量基本定理,定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平 面内的任意向量a, 的一对实数1,2,使a= ,其中, 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为e1,e2.,答案：不共线 存在唯一 1e1+2e2 不共线的向量e1,e2,按Esc键退出,返回目录,2.平面向量的坐标表示,(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向 量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,存
2、在唯一的有序实数对(x,y), 使a=xi+yj,把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其 中 叫做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐 标,显然0=(0,0),i=(1,0),j=(0,1).,(2)设 =xi+yj,则 就是终点A的坐标,即若 =(x,y),则A点,坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).,答案：(1)(x,y) (x,y) x y,(2)向量 的坐标,按Esc键退出,返回目录,3.平面向量的坐标运算,(1)加法、减法、数乘运算,(2)向量坐标的求法,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 = ,即一个向量的坐标等于 .,(3)平面向量共线的坐标表示,设a=
3、(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a= .,按Esc键退出,返回目录,答案：(2)(x2-x1,y2-y1) 终点的坐标减去起点的坐标,(3)b x1y2-x2y1=0,按Esc键退出,返回目录,基础自测,1.若a=(3,2),b=(0,-1),则2b-a的坐标是( ).,A.(3,-4) B.(-3,4),C.(3,4) D.(-3,-4),答案：D,按Esc键退出,返回目录,A.x轴,B.第一、三象限的角平分线,C.y轴,D.第二、四象限的角平分线,2.已知向量a=(1,-m),b=(m2,m),则向量a+b所在的直线可能为( ).,答案：A,按Esc键退出,返回目
4、录,3.已知a=(4,5),b=(8,y)且ab,则y等于( ).,A.5 B.10,C. D.15,答案：B,按Esc键退出,返回目录,4.e1,e2是平面内一组基底,那么( ).,A.若实数1,2使1e1+2e2=0,则1=2=0,B.空间内任一向量a可以表示为a=1e1+2e2(1,2为实数),C.对实数1,2,1e1+2e2不一定在该平面内,D.对平面内任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2有无数对,答案：A,按Esc键退出,返回目录,思维拓展,1.向量的坐标与点的坐标有何不同?,提示:向量的坐标与点的坐标有所不同,相等向量的坐标是相同的,但 起点、终点的坐标却可以不同,以原点O
5、为起点的向量 的坐标与点 A的坐标相同.,2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件能表示成 = 吗?,提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,ab的充要条件也不 能错记为:x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.,按Esc键退出,返回目录,按Esc键退出,返回目录,一、平面向量基本定理的应用,【例1】 已知梯形ABCD,如图所示,2 = ,M,N分别为AD,BC的中 点.设 =e1, =e2,试用e1,e2表示 , , .,按Esc键退出,返回目录,
6、解:2 = ,2 =e2, = e2.,又 = + + , =-e2+e1+ e2=e1- e2.,又由 = + + ,得 = + + =- e1+e2+ (e1- e2)= e2.,按Esc键退出,返回目录,方法提炼应用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算, 共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,任一向量 的表示都是唯一的.,请做针对训练1,按Esc键退出,返回目录,二、平面向量的坐标运算,【例2】 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b, =c.,(1)求3a+b-3c;,(2)求满足a=m
7、b+nc的实数m,n.,解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).,(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).,(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5), 解得,按Esc键退出,返回目录,方法提炼1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化, 将数与形结合起来,从而使几何问题可转化为数量运算.,2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思 想的应用.,提醒:向量的坐标与点的坐标不同;向量平移后,其起点和终点的坐标 都变了,但向量的坐标不变.,请做针对训练2,按
8、Esc键退出,返回目录,三、平面向量共线的坐标表示,【例3-1】 已知a=(1,0),b=(2,1).,(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;,(2)若 =2a+3b, =a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.,按Esc键退出,返回目录,解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).,ka-b与a+2b共线,2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=- .,(2)A,B,C三点共线,存在实数,使 = ,即2a+3b=(a+mb)., 解得m= .,按Esc键退出,返回目录,【例3-2】 已知向量a=(sin
9、 ,2),b=(cos ,1),且ab,其中 .,(1)求sin 和cos 的值;,(2)若sin(-)= ,0 ,求cos 的值.,按Esc键退出,返回目录,解:(1)ab.,sin 1-2cos =0.,sin =2cos .sin2+cos2=1,4cos2+cos2=1,cos2= ., ,cos = ,sin = .,按Esc键退出,返回目录,(2)由sin(-)= ,有sin cos -cos sin = ,sin =2cos - ,sin2+cos2=5cos2-2 cos + =1,5cos2-2 cos - =0.,解得cos = 或cos =- .,0 ,cos = .,按Esc键退出,返回目录,方法提炼向量共线的坐标表示既可以判定两向量平 行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标 对应成比例来求解.,请做针对训练3,按Esc键退出,返回目录,本课结束 谢谢观看,