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1、13.5 数学归纳法 要点梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,2.数学归纳法 (1)数学归纳法：设Pn是一个与正整数相关的 命题集合，如果证明起始命题P1（或P0) 成立；在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1 也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 (归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题 成立. (归纳递推）假设 (kn0,kN+)时命题 成立，证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0
2、开始 的所有正整数n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基础自测 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1 (a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项 为( ) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,C,2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 条时，第一 步检验第一个值n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0 解析 边数最少的凸n边形是三角形.,C,3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立. 若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是( ) A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n
3、都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 解析 归纳奠基是：n=2成立. 归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立. p（n）对所有正偶数n都成立.,B,4.某个命题与自然数n有关，若n=k(kN+)时命题 成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立 解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当 n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有 n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. 方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题
4、不成 立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不 成立”“n=4时不成立”.,C,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,则当 n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( ) A.k2+1 B.（k+1）2 C. D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2 解析 当n=k时，左边=1+2+3+k2， 当n=k+1时， 左边=1+2+3+k2+（k2+1）+（k+1）2， 当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2.,C,知能迁移1 用数学归纳法证明： 证明 （1）当n=1时，等式左边 等式右边 所以等式成立. （2）假
5、设n=k（kN+）时等式成立， 那么当n=k+1时，,即n=k+1时等式成立. 由（1）（2）可知，对任意nN+等式均成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (nN+） 能被a2+a+1整除. 解 （1）当n=1时， a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除. （2）假设n=k(kN+)时， ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，,验证n=1时命题是否成立,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题成立,得结论,则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a
6、+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除， (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除， ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除， 即n=k+1时命题也成立， 对任意nN+原命题成立. 证明整除问题的关键是“凑项”，而 采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.,知能迁移2 求证：（3n+1）7n-1 (nN+)能被9 整除. 证明 (1)当n=1时,(3n+1)7n-1=27能被
7、9整除. (2)假设n=k (kN+)时命题成立，即 (3k+1)7k-1能被9整除， 那么n=k+1时： 3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)+3(1+6)7k-1 =(3k+1)7k-1+(3k+1)67k+217k =(3k+1)7k-1+3k67k+(6+21)7k. 以上三项均能被9整除. 则由（1）（2）可知，命题对任意nN+都成立.,题型三 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然 数，不等式 均成立. 应注意到题目条件，第一步应验证 n=2时不等式成立. 证明 （1）当n=2时，左边 左边右边，不等式成立. （2）假设n=k (k2,且kN+)时不等式
8、成立，,则当n=k+1时， 当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等 式都成立.,在由n=k到n=k+1的推证过程中，应用放 缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证明不等 式问题时，从n=k到n=k+1的推证过程中，证明不等 式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩 法等.,知能迁移3 已知函数f(x)=x-sin x,数列an满足: 00, 所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0，1上连续， 从而f(0)f(ak)f(1),即0ak+11-sin 11.,故当n=k+1时，结论成立. 由()()可知，0an1对一切正整数都成立. 又因为
9、0an1时， an+1-an=an-sin an-an=-sin an0, 所以an+1an. 综上所述,0an+1an1. （2）设函数g(x)=sin x-x+ 由（1）知，当0x1时，sin xx. 从而g(x)=,所以g(x)在（0，1）上是增函数. 又g(x)在0，1上连续，且g(0)=0， 所以当00成立. 于是g(an)0,即,题型四 归纳、猜想、证明 （12分）已知等差数列an的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前 n项和为Tn，且 （1）求数列an、bn的通项公式； （2）设数列an的前n项和为Sn，试比较 与 Sn+1的大小，并说明理
10、由. (1)由a2、a5是方程的根，求出an，再 由 求出bn. (2)先猜想 与Sn+1的大小关系，再用数学归纳 法证明.,解 又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.,5分,6分,下面用数学归纳法证明： 当n=4时，已证.,9分,=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12 =S(k+1)+1,11分,12分,（1）归纳猜想证明是高考重点 考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和 存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况 入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一 般规律. （2）数列是定义在N+上的函数，这与数学归纳法 运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归
11、纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用 数学归纳法解决.,知能迁移4 如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、 、Pn（xn，yn）（0y1y2yn）是曲线C： y2=3x（y0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1， 2，3，n）在x轴的正半轴上，且Ai-1AiPi是 正三角形（A0是坐标原点）. (1)写出a1、a2、a3； (2)求出点An（an，0）（nN+）的横坐标an关于 n的表达式并证明.,解 （1）a1=2,a2=6,a3=12. (2)依题意，得 即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由（1）可猜想：an=n(n+1) (nN+). 下面用数学归纳法
12、予以证明： 当n=1时，命题显然成立； 假设当n=k(kN+)时命题成立,即有an=k(k+1), 则当n=k+1时，由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1, 即(ak+1)2-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)（k1）（k+2）=0， 解之得，ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)ak不合题意, 舍去)，即当n=k+1时，命题成立. 由知，命题成立.,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行 严格的证明. 2.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式 问题. 3.利
13、用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等 式问题. 4.利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时 常常利用凑数、凑多项式等恒等变形. 5.利用数学归纳法可以证明几何问题.,失误与防范 1.数学归纳法仅适应于与正整数有关的数学命题. 2.严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是 对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或 两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是 归纳假设的基础. 3.注意n=k+1时命题的正确性. 4.在进行n=k+1命题证明时，一定要用n=k(kN+) 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法 不是数学归纳法.,一、选择题 1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能
14、被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是( ) A.假设n=k(kN+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(kN+)，证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立 解析 A、B、C中，k+1不一定表示奇数,只有D 中k为奇数，k+2为奇数.,D,定时检测,2.用数学归纳法证明“ (nN+,n1)”时，由n=k(k1)不等式成立， 推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ( ) A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 解析 增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)= 2k+1-2k=2k
15、.,C,3.对于不等式 (nN+)，某同学用数学归纳法 的证明过程如下： （1）当n=1时， 不等式成立. （2）假设当n=k(kN+)时，不等式成立， 即 则当n=k+1时， 所以当n=k+1时，不等式成立，则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 解析 在n=k+1时，没有应用n=k时的假设,不是数 学归纳法.,D,4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9 整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开 ( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3
16、+(k+2)3 解析 假设当n=k时，原式能被9整除,即k3+(k+1)3 +(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面 的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即 可.,A,5.证明 当n=2时， 左边式子等于 ( ) A.1 B. C. D. 解析 当n=2时，左边的式子为,D,6.用数学归纳法证明不等式 (n2,nN+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等 式左边 ( ) A.增加了一项 B.增加了两项 C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对,解析 答案 C,二、填空题 7.若f(n)=12+22+32+(2
17、n)2,则f(k+1)与f(k)的递推 关系式是 . 解析 f(k)=12+22+(2k)2， f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2， f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.,f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,8.用数学归纳法证明 (nN,且 n1),第一步要证的不等式是 . 解析 n=2时，左边,9.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3), (2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5), (2,4)，则第60个数对是 . 解析 本题规律：2=1+1；3=
18、1+2=2+1； 4=1+3=2+2=3+1； 5=1+4=2+3=3+2=4+1； ； 一个整数n所拥有数对为(n-1)对. 设1+2+3+(n-1)=60, n=11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7， 第60个数对为（5，7）.,(5,7),三、解答题 10.已知数列an中， (nN+).证 明：0anan+11. 证明 (1)n=1时， 0a1a21,故结论成立. (2)假设n=k（kN+）时结论成立， 即0akak+11,即0ak+1ak+21, 也就是说n=k+1时，结论也成立. 由(1)(2)可知，对一切nN+均有0anan+1
19、1.,11.用数学归纳法证明对于任意正整数n,(n2-1)+ 2(n2-22)+n(n2-n2)= 证明 （1）当n=1时，左式=12-1=0, 所以等式成立. （2）假设n=k(kN+)时等式成立, 即(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2) 那么(k+1)2-1+2(k+1)2-22+k(k+1)2 -k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2,=(k2-1)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+k) 所以当n=k+1时等式成立. 由（1）（2）知对任意nN+等式成立.,12.在数列an、bn中，a1=2,b1=4,且an,bn，an+1成 等差数列，bn,a
20、n+1,bn+1成等比数列（nN+），求 a2,a3,a4与b2,b3,b4的值，由此猜测an,bn的通 项公式，并证明你的结论. 解 由条件得2bn=an+an+1, =bnbn+1. 又a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16, a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明： 当n=1时，a1=2,b1=4,结论成立.,假设当n=k （kN+）时结论成立，即ak=k(k+1),bk=（k+1）2，那么当n=k+1时， ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+1)+1, 所以当n=k+1时，结论也成立. 由知，an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都 成立.,返回,