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1、2011届高数补习班课件,单班姓名：杨阳 通信11C4，学号：112231434,二、点到平面的距离,问题：,和平面外一点P0(x0,y0,z0)，,求点P0到该平面的距离d.,已知平面,如下图，,在该平面内任取一点P1（x1,y1,z1)，,则d就等于向量,在平面的法向量n=A,B,C上投,影的绝对值，,n,N,即,而,因此,即,这就是空间一点P0到平面的距离公式。,例1 求点P（-1,-2,1)到平面,的距离。,解：,例2 求两平行平面Y1:2x+y+2z-9=0和Y2:4x+2y+4z-15=0的距离。 解：求平面的距离，简单而言就也是求点到平面的距离。 在平面Y1上找一点M（4，1，0
2、） 则到平面Y2的距离为： d2=|AX0+By0+Cz0+D|2/A2+B2+C2 代入得=|4*4+2*1-15|/4*4+2*2+4*4 d2=32/36 =1/4 所以d=1/2 即y1到y2的距离是1/2.,三、两平面的夹角,定义：两平面的夹角为这两平面法向量的夹角，,如右图所示。,n1,n2,设两平面1，2的方程分别为：,于是两平面的法向量分别为：,故可得,两个结论：,练习 求两平面x+y+2z+3=0和x-2y-z+1=0的夹角,（夹角为60度）,例3 设平面过点M1（1,1,1)，M2（0,1,-1)，,且垂,直于平面,求此平面方程。,解：用待定系数法解决。,例4 求过点（1，
3、-2，1），且与两平面x-2y+z-3=0和x+y-z+2=0垂直的平面方程。,四.两直线的夹角,两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角.,s1=m1,n1,p1,s2=m2,n2,p2,L1,L2,设直线 L1的方向向量s1=m1,n1,p1, 设直线 L2的方向向量s2=m2,n2,p2, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：,两直线的夹角的余弦公式,两个结论：,1.若直线 L1与直线 L2平行，则有,两直线平行图示,两直线垂直图示,2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有,例题,已知直线,解 由所给方程知 s1=1，-4，1,s2=2，-2，-1， 代入
4、夹角公式可得,求两直线的夹角.,四.直线与平面的夹角,定义直线与平面的夹角 设直线 L的方向向量 s=m,n,p 设平面的法线向量 n =A,B,C 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面的夹角.记作., Ax+By+Cz+D=0,n=A,B,C,s=m,n,p,L,直线与平面的夹角（图示）,这是平面与直线L的交角,这是直线L与其在平面上投影的交角,四.直线与平面的夹角,夹角公式：,已知直线L的方向向量为（m, n, p） 平面的法向量为（A，B，C），则有,两个结论：,1.若直线 L与平面平行，则ns，于是,n=A,B,C,s=m,n,p,L / 图示,L：,s=m,n,p,Ax+By+C
5、z+D=0,2.若直线 L与平面 垂直，则则ns，于是,n=A,B,C,s=m,n,p,L：, ：Ax+By+Cz+D=0,平行,练习 思考 讨论,确定下面直线与平面的位置关系：,（1）4x-2y-2z=3与,（2）3x-2y+7z=8与,（3）x+y+z=3与,直线在平面上,垂直,求直线与平面交点,n=A,B,C, ：Ax+By+Cz+D=0,L：,s=m,n,p,M(x,y,z),图示,怎样才能求出交点M？,例题 已知平面 2x+y+z-6=0及直线 L,解 令直线方程,求其交点.,得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1） 代入平面方程， 得 2（2+t）+(3+t)+(4+2t)
6、-6=0 整理得5t=-5,即t=-1,将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2. 即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点,解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.,五.综合例题,解 （方法一） (1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量 n平行于直线方向向量s，即,n=2,0,-1,P(0,-1,1), 得平面方程 2x-z+1=0.,(2) 求直线与平面的交点，解方程组,y+2=0 x+2z-7=0 2x-z+1=0,即得 Q（1，-2，3）,(3) 即为所求.,x=1, y=-2, z=3.,图示,五.例题,解 （方法二） 以 |PQ|为高作一个平行四边形如图。则
7、d=|PQ|= 平行四边形的高。,(1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0).,(2)由上面知 s=2,0.-1,另作向量,于是有,M0,图示,续上,(3) 即为所求.,d 即为所求平行四边形的高PQ.,图示,由向量积的几何意义知： 平行四边形面积,3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中,答：共面.可以由前三个平面方程联立解得：x=4, y=5, z=-7, 代入第四个平面方程检验，满足该方程。,提示 任取三个平面方程联立，解出交点后代入并满足第四个平面方程，则两直线共面,4.证明两条直线 L1,L2相互垂直.其中,证明：由已知,先求出两条直线的方向向量，再由两个方向向量的数量积为零证得.提示,